της «σύνθεσης κινήσεων» Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Προβληματισμοί κατά τη διδασκαλία της «σύνθεσης κινήσεων» (β΄ μέρος)

«Σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων»

Επαλληλία εξισώσεων κίνησης απλών αρμονικών ταλαντώσεων Στα παρακάτω θα προτιμάται η διατύπωση Επαλληλία εξισώσεων κίνησης απλών αρμονικών ταλαντώσεων

της απλής αρμονικής ταλάντωσης μπορεί να δοθεί με τρεις μορφές, Η εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης μπορεί να δοθεί με τρεις μορφές, που είναι μαθηματικώς ισοδύναμες. Διδακτικά όμως η αξία τους διαφοροποιείται δραματικά κατά περίπτωση

x=Α·ημ(ω t+φ) x=A·συν(ω t+θ) x=x0· συνω t + · ημω t 1η μορφή: όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης και φ η αρχική φάση στη συγκεκριμένη εξίσωση ταλάντωσης 2η μορφή: x=A·συν(ω t+θ) όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης και θ η αρχική φάση στη συγκεκριμένη εξίσωση ταλάντωσης 3η μορφή: x=x0· συνω t + · ημω t όπου x0 η αρχική θέση και υ0 η αρχική ταχύτητα. Εδώ δεν έχει νόημα η έννοια της φάσης

Σκοπός αυτής της σειράς διαφανειών είναι να αναδείξει την αξία που έχει η γνώση των ιδιαίτερων δυνατοτήτων της κάθε μιας από τις τρεις παραπάνω μορφές, γεγονός που θα μας προστατεύσει από παρανοήσεις

ακριβώς την ίδια «διαδρομή» με την επαλληλία εξισώσεων Θα ακολουθήσουμε ακριβώς την ίδια «διαδρομή» με την επαλληλία εξισώσεων ευθυγράμμων ομαλών κινήσεων

Κάποτε αναρωτήθηκα, αν έχει αξία να διδαχτεί μια ενότητα με τον τίτλο «Επαλληλία εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας (το «γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας» δεν έχει αξία γιατί δεν αναιρεί ΤΙΠΟΤΕ από όσα θα ακολουθήσουν)

Ας το δούμε αρχικά με την έννοια του αν είναι δυνατόν ένας παρατηρητής μόνος του (χωρίς δηλαδή να επικαλεστεί τη βοήθεια άλλου παρατηρητή) να εξετάσει μια κίνηση και να καταλήξει ότι ή εξίσωσή της είναι επαλληλία εξισώσεων δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων

Το πρόβλημα που προέκυψε αμέσως, ήταν ποια εξίσωση απλής αρμονικής ταλάντωσης θα χειριστώ... Για να γίνω πιο σαφής, θα επιλέξω δύο τρόπους διδασκαλίας χρησιμοποιώντας κάθε φορά άλλη εξίσωση κίνησης

με τη χρήση της εξίσωσης 1ος τρόπος διδασκαλίας με τη χρήση της εξίσωσης x= x0 συνωt + ημωt όπου x0 η αρχική θέση και υ0 η αρχική ταχύτητα

Ένας παρατηρητής ΜΟΝΟΣ του ( χωρίς δηλαδή να επικαλεστεί τη βοήθεια ή τις μετρήσεις κάποιου άλλου παρατηρητή ) μελετά την κίνηση κάποιου υλικού σημείου...

Για να καταλήξει στο συμπέρασμα ότι το υλικό σημείο εκτελεί κίνηση που η εξίσωσή της είναι επαλληλία των εξισώσεων δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας π.χ. της και της

θα πρέπει να έχει λόγους να πιστεύει ότι βρήκε «φυσικό φαινόμενο» που επιβάλλει ως εξίσωση κίνησης την x=x1+x2= ( + ( ) Δηλαδή επιβάλλει την x=(2+1)συν5t+(3+4)ημ5t

Το «φαινόμενο» αυτό δηλαδή που ανακάλυψε και κατά συνέπεια η Φύση, «επιβάλλει» να φαίνονται οι προσθέσεις 2+1 και 3+4 στην εξίσωση κίνησης x=(2+1)συν5t+(3+4)ημ5t αλλά να μην εκτελεστούν!!!

Γιατί αν εκτελεστούν οι προσθέσεις, θα χαθεί μαζί τους και ...η επαλληλία (σύνθεση, πρόσθεση) των εξισώσεων κίνησης των απλών αρμονικών ταλαντώσεων

αλλά «απαγορεύει» τη μορφή Το να επιμένει όμως ο παρατηρητής μας σε κάτι τέτοιο, είναι σα να δέχεται ότι η Φύση «επιβάλλει» σε εξίσωση κίνησης τη μορφή x=(2+1)συν5t + (3+4)ημ5t ώστε να μας κάνει να βλέπουμε επαλληλία εξισώσεων δύο κινήσεων, αλλά «απαγορεύει» τη μορφή x=3συν5t + 7ημ5t με την οποία θα αποκαλυφθεί ότι τελικά πρόκειται για μια μόνο απλή αρμονική ταλάντωση και όχι για δύο

Όπως καταλαβαίνουμε όμως, δεν είναι δυνατό να υπάρξει φυσικό φαινόμενο, που «θα μας πει»...

...ότι στην εξίσωση κίνησης «δε θέλω» αλλά 2+1 την αρχική θέση να τη «λέτε» 3, αλλά 2+1 το λόγο αρχικής ταχύτητας προς κυκλική συχνότητας να τον «λέτε» 7, αλλά 3+4

«ούτε θέλω» την αρχική ταχύτητα να τη «λέτε» 7.5=35, αλλά 3.5+4.5 , δηλαδή 15+20 ! (Μη ξεχνάτε ότι η εξίσωση κίνησης είναι η και συνεπώς μια εξίσωση x=3συν5t + 7ημ5t σημαίνει αρχική θέση 3 και αρχική ταχύτητα 7∙5=35)

Θα είναι σαν να τρέχουμε με το αυτοκίνητο με 60 Km/h , το κοντέρ να δείχνει 60, να βλέπουμε το 60, να μας ρωτά κάποιος με ποια ταχύτητα τρέχουμε και ... η Φύση να μας απαγορεύει να του πούμε με 60, αλλά με 20+40

Το να μας επιβάλει η Φύση να μη λέμε 60 αλλά 20+40, να μας επιβάλλει δηλαδή να λέμε ένα απλό «πράμα», με δύο απλά «πράματα» και συγχρόνως να επιβάλλει να μείνει ανεκτέλεστη μια πράξη ανάμεσά τους είναι νομίζω πολύ παράλογο!!!

Η χρήση λοιπόν της εξίσωσης μας προφυλάσσει και δεν θα μας επιτρέψει να μιλήσουμε για επαλληλία εξισώσεων κίνησης α.α.τ, γιατί θα είναι σα να «σπάμε» το x0 σε πολλές αρχικές θέσεις και σα να «σπάμε» το υ0 σε πολλές αρχικές ταχύτητες, χωρίς κανένα μα κανένα λόγο.

Δηλαδή είναι σα να έχουμε μια αρχική θέση και μια αρχική ταχύτητα και εμείς να θέλουμε να βλέπουμε δύο και τρεις αρχικές συνθήκες μόνο και μόνο για να μην θέλουμε να κάνουμε την τελική πρόσθεση.

Τελικά επιλέγοντας ως εξίσωση κίνησης της απλής αρμονικής ταλάντωσης την ποτέ η μελέτη μας δε θα οδηγηθεί στην επαλληλία (σύνθεση) εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων, γιατί ο παραλογισμός της «σύνθεσης» που επιδιώκουμε να διδάξουμε, θα γίνει αμέσως αντιληπτός.

Η χρήση της εξίσωσης αποκαλύπτει ότι η διδασκαλία της «σύνθεσης δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων» είναι όχι απλά περιττή, αλλά τελείως ανεπίτρεπτη διότι

θα εκτελεστούν αμέσως από το μαθητή, ο οποίος με αυτόν τον τρόπο, Οι προσθέσεις που θα εμφανιστούν θα εκτελεστούν αμέσως από το μαθητή, ο οποίος με αυτόν τον τρόπο, ΜΟΝΟΣ ΤΟΥ θα εξαφανίσει τη «σύνθεση» που επιχειρούμε να του διδάξουμε ως «φυσικό φαινόμενο»! Θα είναι αδύνατο να τον πείσουμε ότι μια απλή πρόσθεση, είναι δυνατό να αποτελεί φαινόμενο!

Συνεπώς ένας παρατηρητής δεν είναι δυνατό να καταλήξει ΠΟΤΕ σε επαλληλία εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας

η σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων ή καλύτερα η επαλληλία εξισώσεων Και τούτο γιατί η σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων ή καλύτερα η επαλληλία εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων είναι μια ανεκτέλεστη πρόσθεση.. Δεν είναι φυσικό φαινόμενο!!!

Ένα ύποπτο ερώτημα

και η επαλληλία εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων Πώς θα μπορούσε να γίνει παρανόηση και η επαλληλία εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, να αρχίσει να διδάσκεται ως σύνθετη εξίσωση κάποιας πολύπλοκης κίνησης;

της επαλληλίας εξισώσεων α.α.τ» επιλέξω μια ακατάλληλη Απάντηση: Αν για τη διδασκαλία της επαλληλίας εξισώσεων α.α.τ» επιλέξω μια ακατάλληλη γι’ αυτόν τον σκοπό εξίσωση.

προκειμένου να διδάξουμε επαλληλία εξισώσεων α.α.τ. Αν για παράδειγμα, προκειμένου να διδάξουμε επαλληλία εξισώσεων α.α.τ. επιλέξουμε την εξίσωση με και

και γεμάτα παρανοήσεις ...τα πράγματα θα γίνουν πολύ δύσκολα και γεμάτα παρανοήσεις

(επαλληλίας δύο εξισώσεων α.α.τ) με τη χρήση της εξίσωσης 2ος τρόπος διδασκαλίας (επαλληλίας δύο εξισώσεων α.α.τ) με τη χρήση της εξίσωσης και

της απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι Αποδεικνύεται (!) ότι η εξίσωση κίνησης της απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι με και

Έστω(!) λοιπόν ότι υλικό σημείο εκτελεί σύνθετη κίνηση από δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας

x1=Α1·ημ(ωt+φ1) και x2= Α2·ημ(ωt+φ2)

Αποδεικνύεται (!) ότι η σύνθετη αυτή κίνηση x=x1+x2 είναι απλή αρμονική ταλάντωση ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας με τις συνιστώσες κινήσεις

ότι η x η σύνθετη δηλαδή ταλάντωση δίνεται από τη σχέση Αποδεικνύεται(!) ότι η x η σύνθετη δηλαδή ταλάντωση δίνεται από τη σχέση όπου

Οι συνιστώσες απλές αρμονικές ταλαντώσεις Η σύνθεσή τους x=x1+x2 είναι απλ. αρμ. ταλ. όπου Οι συνιστώσες απλές αρμονικές ταλαντώσεις x1=Α1·ημ(ωt+φ1) και x2= Α2·ημ(ωt+φ2)

Με τόσα «αποδεικνύεται» χωρίς όμως καμιά απόδειξη, με ένα λανθασμένο «έστω» (μιας και καμιά κίνηση δεν έχει εξίσωση επαλληλία εξισώσεων δύο α.α.τ) και με τόσο δύσκολες σχέσεις, η «σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων» ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας έχει σκοτεινιάσει πάρα πολύ.

Τόσο πολύ που διδάσκεται στη Φυσική Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, ως προερχόμενη από «φυσικό φαινόμενο» ή το χειρότερο ως αποτελούσα η ίδια η σύνθεση το «φυσικό φαινόμενο» !!!

δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας, Κάθε φορά που διδάσκω στη Γ΄ Λυκείου επαλληλία εξισώσεων δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας, νιώθω λύπη… Μεγάλη λύπη… Νιώθω τη Φύση να μαζεύει τις μαγείες της…

Τα παιδιά νομίζουν ότι τους διδάξω Φυσική, ότι τους δίνω καινούριες γνώσεις, ότι τους μαθαίνω καινούρια φαινόμενα…

Μα εγώ ξέρω ότι κατά βάθος, δε διδάσκω απολύτως τίποτε στα παιδιά... ότι απλά με βάζουν να τα «κοροϊδεύω» ότι τους έκρυψα την απλή πρόσθεση που μπορούσαν να κάνουν και μόνα τους…

Μια «διδασκαλία» επαλληλίας εξισώσεων δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας που θα στηριχτεί στην εξίσωση

είναι μια σωστή μαθηματικά «διδασκαλία», αλλά σκοτεινιάζει τελείως το μάθημα, κρύβει το γεγονός ότι δεν είναι «νόμιμη» γιατί δεν αφορά κανένα φαινόμενο, καθιστά ανίκανο το μαθητή και... γίνεται πολύ δεσμευτική για την ψυχή του,

η οποία, καθώς καθίσταται απόλυτα εξαρτημένη από τόσα πολλά και παράξενα «αποδεικνύεται» και από λανθασμένα «έστω», θα χάσει όλους τους μηχανισμούς αντίδρασης.

Ο μαθητής θα δεχτεί ό,τι και να του πούμε!!! Θα γαντζωθεί πάνω μας, για να του μάθουμε «τεχνικές» αντιμετώπισης ασκήσεων επαλληλίας εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων, έστω και αν στη Φύση δεν θα υπάρχουν αυτά που θα του λέμε!

Ας το πω αλλιώς: Μια «διδασκαλία» επαλληλίας εξισώσεων δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας που θα στηριχτεί στην εξίσωση

ποτέ δε θα αφήσει την ψυχή του μαθητή να «χορέψει» ελεύθερα...

τους ξετρέλανε όλους με το χορό της. Σε κάποιο πάρτι που δόθηκε στο δάσος, η σαρανταποδαρούσα τους ξετρέλανε όλους με το χορό της.

Μαγεμένος ο βάτραχος την πλησίασε και τη ρώτησε: Πώς τα κατάφερες τόσο καλά με τόσα πόδια που έχεις;

και στις χορευτικές σου φιγούρες... Πρέπει να έκανες φοβερή ανάλυση στα βήματα και στις χορευτικές σου φιγούρες...

τώρα σηκώνω το 14ο πόδι, τώρα λυγίζω το 35ο, Σκεφτόσουν τώρα σηκώνω το 14ο πόδι, τώρα λυγίζω το 35ο, τώρα βγάζω έξω το 27ο, μετατοπίζω αριστερά το 2ο, ενώ λυγίζω λίγο δεξιά το 18ο.

Έτσι δε σκεφτόσουν; είπε ο βάτραχος

Δε σκεφτόμουν έτσι, λέει η σαρανταποδαρούσα. Εγώ απλά χόρευα. Μόνο που χόρευα με την ψυχή μου.

Όταν έφυγε ο βάτραχος, η σαρανταποδαρούσα σκέφτηκε τα λόγια του και θέλησε να χορέψει, όπως της είπε.

Έκανε και ξαναέκανε όλες τις κινήσεις που της είπε ο βάτραχος, μα χορός δεν έβγαινε.

Η σαρανταποδαρούσα όσο και να προσπάθησε, ποτέ μα ποτέ δε ξαναχόρεψε.

Μαθηματικά ισοδύναμες. Δύο εξισώσεις Μαθηματικά ισοδύναμες. Με δραματικά όμως διαφορετικά «προσόντα» για τη «διδασκαλία της σύνθεσης απλών αρμονικών ταλαντώσεων»

απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας Με την εξίσωση η επαλληλία εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και συχνότητας από κάτι ανύπαρκτο, αποκτά ψεύτικη ύπαρξη, γίνεται δήθεν «φυσικό φαινόμενο» και οδηγεί σε παραλογισμούς

παύει να «χορεύει» πια…. Τη θέση της έκφρασης, Η ψυχή του μαθητή παύει να «χορεύει» πια…. Τη θέση της έκφρασης, παίρνει μια ακολουθία εξαρτημένων και τυποποιημένων κινήσεων γεμάτων αβεβαιότητα. Ο μαθητής ούτε ξέρει πια τι κάνει, ούτε μπορεί να ελέγξει ό,τι και να του πούμε

Όλα γίνονται διάφανα στα μάτια του μαθητή Με την εξίσωση η επαλληλία εξισώσεων απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας αυτοαποκαλύπτεται και αυτοκαταργείται Όλα γίνονται διάφανα στα μάτια του μαθητή

Χωρίς να του διδάξουμε τίποτε, ο μαθητής θα κάνει ΜΟΝΟΣ ΤΟΥ ό,τι πρέπει να κάνει και θα δει ΜΟΝΟΣ ΤΟΥ ό,τι πρέπει να δει. Η ψυχή του μαθητή θα «χορέψει» ελεύθερα Τις προσθέσεις που θα εμφανιστούν μπροστά του απλά θα τις εκτελέσει ως αυτονόητη κίνηση

μήπως κάνει λάθος τα βήματα γιατί απλά… δε θα κάνει λάθος! …και ΠΟΤΕ ΜΑ ΠΟΤΕ δε θα μας κοιτάξει, μήπως κάνει λάθος τα βήματα του χορού, γιατί απλά… δε θα κάνει λάθος! (συνεχίζεται) Πήλιο, 14 Νοεμβρίου 2012 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας