Εφαρμογές Χρονολογικών Σειρών και στις Προβλέψεις Τα στοιχεία χρονολογικών σειρών συλλέγονται για την ίδια παρατηρήσιμη μονάδα, για πολλαπλές χρονικές περιόδους Συνολική Κατανάλωση και ΑΕΠ μιας χώρας (π.χ., τριμηνιαίες παρατηρήσεις για 20 χρόνια = 80 παρατηρήσεις). Συναλλαγματικές ισοτιμίες: Γιεν/δολάριο, αγγλική λίρα/δολάριο και Ευρώ/δολάριο: (ημερήσια στοιχεία για 1 χρόνο = 365 παρατηρήσεις). Κατά κεφαλήν κατανάλωση τσιγάρων σε μία πόλη.

Στοιχεία χρονολογικών σειρών Παράδειγμα 1: ο ρυθμός πληθωρισμού των ΗΠΑ

Παράδειγμα 2: το ποσοστό ανεργίας στις ΗΠΑ

Γιατί χρησιμοποιούμε στοιχεία χρονολογικών σειρών; Για την ανάπτυξη υποδειγμάτων πρόβλεψης: Για την εκτίμηση δυναμικών αιτιωδών αποτελεσμάτων: Άλλωστε, σε κάποιες περιπτώσεις δεν έχουμε άλλη επιλογή… Ποιος αναμένεται να είναι ο ρυθμός πληθωρισμού τον επόμενο χρόνο; Αν η Κεντρική Τράπεζα αυξήσει το επιτόκιο κατατεθειμένων διαθεσίμων σήμερα, πώς θα διαμορφωθούν τα επίπεδα πληθωρισμού και ανεργίας σε 3 μήνες από τώρα; σε 12 μήνες; Ποιο είναι το διαχρονικό αποτέλεσμα στην κατανάλωση τσιγάρων από μια αύξηση της φορολογίας τσιγάρων; Τα επίπεδα πληθωρισμού και ανεργίας στις ΗΠΑ, μπορούν να παρατηρηθούν μόνο διαχρονικά.

Από τα δεδομένα χρονολογικών σειρών προκύπτουν νέα, τεχνικού χαρακτήρα ζητήματα: Χρονικές υστερήσεις. Διαχρονική συσχέτιση (σειριακή συσχέτιση ή αυτοσυσχέτιση). Υποδείγματα πρόβλεψης που δεν έχουν καμία αιτιώδη ερμηνεία (αποτελούν εξειδικευμένα εργαλεία για πρόβλεψη): Συνθήκες υπό τις οποίες μπορούν να εκτιμηθούν τα δυναμικά αποτελέσματα, καθώς και οι τρόποι με τους οποίους αυτά εκτιμώνται. Υπολογισμός των τυπικών σφαλμάτων, στην περίπτωση που αυτά εμφανίζουν αυτοσυσχέτιση. Αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα (σχήματα) (AR) Αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα κατανεμόμενων υστερήσεων (ADL)

Χρησιμοποίηση Υποδειγμάτων Παλινδρόμησης για τη Διενέργεια Προβλέψεων Η πρόβλεψη και η εκτίμηση των αιτιωδών αποτελεσμάτων είναι δύο τελείως διαφορετικές εργασίες. Όσον αφορά την πρόβλεψη, ο διορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού παίζει πολύ σημαντικό ρόλο! η μεροληψία από παραλειπόμενες μεταβλητές δεν αποτελεί πρόβλημα! στα υποδείγματα πρόβλεψης δεν μας απασχολεί να ερμηνεύσουμε τους συντελεστές. η εξωτερική ισχύς είναι κυρίαρχη: το εκτιμηθέν με τα αρχικά στοιχεία υπόδειγμα θα πρέπει να ισχύει μέχρι το (εγγύς) μέλλον.

Στοιχεία Χρονολογικών Σειρών και Σειριακή Συσχέτιση: εισαγωγή Θα πρέπει, πρώτα, να εισαγάγουμε κάποια ορολογία, αλλά και κάποιους συμβολισμούς. Συμβολισμοί για τα στοιχεία χρονολογικών σειρών Yt = η τιμή του Y την περίοδο t. Σύνολο στοιχείων: Y1,…,YT = T παρατηρήσεις για την τ.μ.Y Εξετάζουμε μόνο τις διαδοχικές, κατανεμημένες κατά ίσα χρονικά διαστήματα, παρατηρήσεις, π.χ., κατά μήνα, από το 1960 έως το 1999, δίχως να παραλείπουμε μήνες (διαφορετικά, η παλινδρόμηση, γίνεται ακόμα πιο περίπλοκη).

Μετασχηματίζουμε τις μεταβλητές χρονολογικών σειρών χρησιμοποιώντας χρονικές υστερήσεις, πρώτες διαφορές και ρυθμούς αύξησης.

Παράδειγμα: τριμηνιαία στοιχεία ρυθμού πληθωρισμού των ΗΠΑ σε ετήσια βάση. Δείκτης Τιμών Καταναλωτή (ΔΤΚ) για το πρώτο τρίμηνο του 1999, 1999:I = 164.87 ΔΤΚ για το δεύτερο τρίμηνο του 1999, 1999:II = 166.03 Ποσοστιαία μεταβολή του ΔΤΚ μεταξύ πρώτου και δευτέρου τριμήνου του 1999, 1999:I - 1999:II Ποσοστιαία μεταβολή του ΔΤΚ μεταξύ πρώτου και δευτέρου τριμήνου του 1999 σε ετήσια βάση, 1999:I - 1999:II (ποσοστό ανά έτος).

Το επίπεδο του πληθωρισμού συνηθίζεται να μετράται σε ετήσια βάση, όπως, άλλωστε, συμβαίνει και με το επίπεδο των επιτοκίων. Εφαρμόζοντας τη λογαριθμική προσέγγιση στις ποσοστιαίες μεταβολές, παίρνουμε:

Παράδειγμα: ΔΤΚ και ρυθμός πληθωρισμού στις ΗΠΑ

·Η αυτοσυνδιακύμανση πρώτης τάξης του Yt είναι: cov(Yt,Yt–1) Άρα: Αυτοσυσχέτιση Όταν οι τιμές μιας χρονοσειράς συσχετίζονται με τις τιμές των χρονικών υστερήσεων της σειράς, εμφανίζεται το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης ή σειριακής συσχέτισης. ·Η αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης του Yt είναι: corr(Yt,Yt–1). ·Η αυτοσυνδιακύμανση πρώτης τάξης του Yt είναι: cov(Yt,Yt–1) Άρα: Αυτές είναι οι συσχετίσεις στον πληθυσμό – περιγράφουν την πληθυσμιακή από κοινού κατανομή των (Yt,Yt–1).

Δειγματικές αυτοσυσχετίσεις Η jοστή δειγματική αυτοσυσχέτιση αποτελεί μια εκτίμηση της jοστής αυτοσυσχέτισης του πληθυσμού: όπου όπου είναι ο δειγματικός μέσος του Yt , υπολογισμένος με t = j+1,…,T παρατηρήσεις. Παρατήρηση: το άθροισμα είναι από t=j+1 μέχρι T (γιατί;)

Παράδειγμα: οι αυτοσυσχετίσεις: (1) του τριμηνιαίου ρυθμού πληθωρισμού των ΗΠΑ. (2) της μεταβολής από τρίμηνο σε τρίμηνο του τριμηνιαίου ρυθμού πληθωρισμού των ΗΠΑ.

Ο ρυθμός πληθωρισμού εμφανίζει υψηλή σειριακή συσχέτιση (1= .85) Ο ρυθμός πληθωρισμού του τελευταίου τριμήνου περιέχει σημαντική πληροφόρηση για το ρυθμό πληθωρισμού αυτού του τριμήνου. Το διάγραμμα κυριαρχείται από πολυετείς μεταβολές. Υπάρχουν, όμως, και μη αναμενόμενες μεταβολές!

Περισσότερα παραδείγματα χρονολογικών σειρών και μετατροπών:

Περισσότερα παραδείγματα χρονολογικών σειρών και μετατροπών (συνέχεια):

Στασιμότητα: η βασική ιδέα για εξωτερική εγκυρότητα της παλινδρόμησης χρονολογικών σειρών. Η στασιμότητα υποδηλώνει ότι το παρελθόν είναι σαν το παρόν και το μέλλον, τουλάχιστον υπό μία πιθανοθεωρητική έννοια. Θα επικεντρώσουμε την ανάλυσή μας στην περίπτωση που η Yt είναι στάσιμη.

Αυτοπαλίνδρομα σχήματα Λογικό σημείο αφετηρίας σε ένα υπόδειγμα πρόβλεψης θα ήταν να χρησιμοποιήσουμε παρελθούσες τιμές του Y (δηλαδή, Yt–1, Yt–2,…) για να προβλέψουμε το Yt. Ως αυτοπαλίνδρομο σχήμα ορίζεται ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης στο οποίο η εξαρτημένη μεταβλητή παλινδρομείται επάνω στις τιμές των δικών της χρονικών υστερήσεων, δηλαδή αυτοπαλινδρομείται. Το πλήθος των υστερήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής του υποδείγματος, αποτελούν τις ερμηνευτικές του μεταβλητές, και καλείται τάξη του αυτοπαλίνδρομου σχήματος. Σε ένα αυτοπαλίνδρομο σχήμα 1ης τάξης, το Yt παλινδρομείται επάνω στο Yt–1. Σε ένα αυτοπαλίνδρομο σχήμα τάξης p, το Yt παλινδρομείται επάνω στα Yt–1,Yt–2,…,Yt–p.

Αυτοπαλίνδρομο σχήμα 1ης τάξης: AR(1) Οι συντελεστές του υποδείγματος 0 και 1 δεν έχουν αιτιώδεις ερμηνείες. Αν 1 = 0, τότε το Yt–1 δεν είναι χρήσιμο για την πρόβλεψη της τιμής του Yt. Το AR(1) μπορεί να εκτιμηθεί αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο OLS για την παλινδρόμηση του Yt στο Yt–1. Αν θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση ότι το Yt–1 δεν είναι χρήσιμο για την πρόβλεψη της τιμής του Yt, προβαίνουμε στον παρακάτω έλεγχο:

Παράδειγμα: Αυτοπαλίνδρομο σχήμα 1ης τάξης για τη μεταβολή του πληθωρισμού (ΔInf). Στοιχεία από το Α΄ Τρίμηνο του 1962 έως το Δ΄ Τρίμηνο του 1999, 1962:I – 1999:IV: Μπορεί η υστέρηση πρώτου βαθμού της μεταβολής του πληθωρισμού να προβλέψει την τιμή της τρέχουσας μεταβολής του πληθωρισμού; t = .211/.106 = 1.99 > 1.96 οπότε, απορρίπτουμε την H0: 1 = 0 στο 5% επίπεδο σημαντικότητας. Άρα, η υστέρηση πρώτου βαθμού της μεταβολής του πληθωρισμού είναι χρήσιμη στην πρόβλεψη της τιμής της τρέχουσας μεταβολής του πληθωρισμού (η τιμή του , όμως, είναι χαμηλή!)

Παράδειγμα: το υπόδειγμα AR(1) για τον πληθωρισμό – STATA

Παράδειγμα: το υπόδειγμα AR(1) για τον πληθωρισμό – STATA (συνέχεια)

Παράδειγμα: το υπόδειγμα AR(1) για τον πληθωρισμό – STATA (συνέχεια)

Πρόβλεψη και σφάλματα πρόβλεψης Παρατηρήσεις αναφορικά με την ορολογία: Η προβλεπόμενη τιμή αναφέρεται στην τιμή του Y που προβλέφθηκε (από την παλινδρόμηση) για μια παρατήρηση στο δείγμα, το οποίο χρησιμοποιήθηκε για να εκτιμήσει την παλινδρόμηση– αυτός είναι ο συνήθης ορισμός. H πρόβλεψη αφορά το μέλλον και, άρα, δε γίνεται να έχει χρησιμοποιηθεί στην εκτίμηση της παλινδρόμησης.

Προβλέψεις: συμβολισμοί Yt|t–1 = πρόβλεψη για το Yt με βάση τις τιμές των Yt–1,Yt–2,…, χρησιμοποιώντας τους (πραγματικούς, αλλά άγνωστους) συντελεστές του πληθυσμού. = πρόβλεψη για το Yt με βάση τις τιμές των Yt–1,Yt–2,…, χρησιμοποιώντας τους εκτιμημένους με στοιχεία μέχρι την περίοδο t–1 συντελεστές. Για ένα υπόδειγμα AR(1), ισχύουν ότι: Yt|t–1 = 0 + 1Yt–1 και , όπου τα και εκτιμήθηκαν με στοιχεία μέχρι την περίοδο t–1.

Σφάλματα πρόβλεψης Σφάλμα πρόβλεψης για μια περίοδο μπροστά = Η διάκριση ανάμεσα στο σφάλμα πρόβλεψης και στα κατάλοιπα είναι η ίδια με αυτή μεταξύ της πρόβλεψης και της προβλεπόμενης τιμής: το κατάλοιπο είναι «στο δείγμα». το σφάλμα πρόβλεψης είναι «εκτός δείγματος»

Η τετραγωνική ρίζα του μέσου τετραγωνικού σφάλματος πρόβλεψης (RMSFE) Το RMSFE μπορεί να συγκριθεί με την τυπική απόκλιση του ut, αν εξαιρέσουμε, όμως, ότι αυτό εστιάζει ξεκάθαρα στο σφάλμα πρόβλεψης χρησιμοποιώντας εκτιμημένους συντελεστές, και όχι τη γραμμή παλινδρόμησης του πληθυσμού. Το RMSFE μετρά το μέγεθος ενός τυπικού «λάθους» στην πρόβλεψη.

Παράδειγμα: χρησιμοποιούμε ένα AR(1) υπόδειγμα για να προβλέψουμε τον πληθωρισμό Εκτιμούμε το υπόδειγμα AR(1) χρησιμοποιώντας στοιχεία από το Α΄ Τρίμηνο του 1962 έως το Δ΄ Τρίμηνο του 1999, 1962:I – 1999:IV: Inf1999:III = 2.8 (οι μονάδες μέτρησης εκφράζονται σε ποσοστά σε ετήσια βάση) Inf1999:IV = 3.2 Inf1999:IV = 0.4 Άρα, η πρόβλεψη για το Inf2000:I είναι, οπότε

Αυτοπαλίνδρομο σχήμα τάξης p: AR(p) Το υπόδειγμα AR(p) χρησιμοποιεί p υστερήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής Y ως ερμηνευτικές μεταβλητές. Το υπόδειγμα AR(1) αποτελεί μια ειδική περίπτωση. Οι συντελεστές δεν έχουν αιτιώδη ερμηνεία. Για τον έλεγχο της υπόθεσης ότι η σειρά Yt–2,…,Yt–p , πέρα από το Yt–1, δε βοηθά περαιτέρω στο να προβλέψουμε το Yt, χρησιμοποιούμε ένα F-test. Χρησιμοποιούμε είτε t- είτε F-tests για να καθορίσουμε το βαθμό υστέρησης p. Ή, καλύτερα, καθορίζουμε το p χρησιμοποιώντας ένα «κριτήριο πληροφορίας».

Παράδειγμα: ένα υπόδειγμα AR(4) για τον πληθωρισμό Η τιμή της F-στατιστικής για τον έλεγχο των υστερήσεων 2,3,4 ισούται με 6.43 (p-value < .001). Ο διορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού αυξήθηκε από .04 σε .21 μετά την πρόσθεση στο υπόδειγμα των υστερήσεων 2, 3, 4. Πέρα από την πρώτη υστέρηση, οι υστερήσεις 2, 3, 4 (από κοινού) βοηθούν στο να προβλέψουμε τη μεταβολή του πληθωρισμού.

Παράδειγμα: το υπόδειγμα AR(4) για τον πληθωρισμό – STATA

Παράδειγμα: το υπόδειγμα AR(4) για τον πληθωρισμό – STATA (συνέχεια) Παρατήρηση: κάποια από τα χαρακτηριστικά των χρονολογικών σειρών του STATA διαφέρουν μεταξύ STATA v. 7 και STATA v. 8…

Γιατί, λοιπόν, χρησιμοποιούμε το Inft και όχι το Inft ; Παρέκκλιση: γιατί χρησιμοποιούμε το Inf, και όχι το Inf στα αυτοπαλίνδρομα σχήματα; Το υπόδειγμα AR(1) για το ΔInft–1 είναι το ίδιο με το υπόδειγμα AR(2) για το Inft–1: ή ή οπότε Γιατί, λοιπόν, χρησιμοποιούμε το Inft και όχι το Inft ;

Το AR(1) για το Inf: Inft = 0 + 1Inft–1 + ut Το AR(2) για το Inf: Inft = 0 + 1Inft + 2Inft–1 + vt Όταν το Yt εμφανίζει υψηλή σειριακή συσχέτιση, ο εκτιμητής OLS του AR συντελεστή είναι μεροληπτικός γύρω από το μηδέν. Στην ακραία περίπτωση που ο AR συντελεστής ισούται με τη μονάδα , το Yt δεν είναι στάσιμο: τα ut συσσωρεύονται και τότε το Yt εκρήγνυται. Αν το Yt δεν είναι στάσιμο, η θεωρία της παλινδρόμησης με την οποία δουλεύουμε εδώ καταρρέει. Εδώ, το Inft εμφανίζει υψηλή σειριακή συσχέτιση – οπότε για να παραμείνουμε εντός ενός θεωρητικού πλαισίου κατανοητού σε εμάς, οι παλινδρομήσεις προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας το Inf.

Παλινδρόμηση Χρονολογικών Σειρών με Πρόσθετες Ερμηνευτικές Μεταβλητές και Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα Κατανεμόμενων Χρονικών Υστερήσεων (ADL Model) Έως τώρα έχουμε εξετάσει υποδείγματα πρόβλεψης που χρησιμοποιούν μόνο παρελθούσες τιμές του Υ. Μπορούμε να προσθέσουμε στο υπόδειγμα και άλλες μεταβλητές (Χ) που ενδέχεται να φανούν χρήσιμες για την πρόβλεψη της τιμής του Y: Αυτό είναι ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα κατανεμόμενων χρονικών υστερήσεων - autoregressive distributed lag (ADL) model.

Παράδειγμα: χρονικές υστερήσεις της ανεργίας και του πληθωρισμού Σύμφωνα με την «καμπύλη Phillips», αν η ανεργία υπερβεί το επίπεδο ισορροπίας (ή «φυσικό» ποσοστό ανεργίας, όπως, συνήθως ονομάζεται), ο ρυθμός πληθωρισμού αυξάνεται. Θα πρέπει, δηλαδή, η σχέση που συνδέει το Inft με τις τιμές υστέρησης του ποσοστού ανεργίας να είναι αρνητική. Εκείνο το ποσοστό ανεργίας στο οποίο ο πληθωρισμός παραμένει αμετάβλητος, καλείται, συνήθως, “non-accelerating rate of inflation” ή κατόπιν συντμήσεως NAIRU. Εμφανίζεται η σχέση μεταξύ πληθωρισμού και ανεργίας που περιγράψαμε πιο πάνω στα οικονομικά στοιχεία των ΗΠΑ; Μπορούμε να «εκμεταλλευτούμε» τη σχέση αυτή προκειμένου να προβλέψουμε τον πληθωρισμό;

Η εμπειρική «καμπύλη Phillips»

Το NAIRU είναι η τιμή του u για την οποία παίρνουμε Inf = 0 Παράδειγμα: το υπόδειγμα ADL(4,4) για τον πληθωρισμό = 0.35 – τιμή που είναι βελτιωμένη σημαντικά σε σύγκριση με την αντίστοιχη τιμή του διορθωμένου συντελεστή προσδιορισμού του υποδείγματος AR(4) για τον πληθωρισμό που ήταν ίση με .21

Παράδειγμα: dinf και unem – STATA

Παράδειγμα: το υπόδειγμα ADL(4,4) για τον πληθωρισμό – STATA (συνέχεια).

Ο έλεγχος της από κοινού υπόθεσης ότι κανένα από τα Χ δεν είναι χρήσιμο στην πρόβλεψη της τιμής του Υ, εκτός από τις τιμές υστέρησης του ίδιου του Υ, ονομάζεται έλεγχος αιτιότητας κατά Granger. Ο όρος «αιτιότητα» δεν είναι ιδιαίτερα εύστοχος στην παρούσα ανάλυση: ο έλεγχος της αιτιότητας κατά Granger αναφέρεται απλώς στην (οριακή) προβλεπτική ικανότητα μιας ερμηνευτικής μεταβλητής του υποδείγματος.

Σύνοψη: Προβλεπτικά Υποδείγματα Χρονολογικών Σειρών Οι ανάγκες μιας πρόβλεψης δεν απαιτούν συντελεστές που να έχουν αιτιώδη ερμηνεία! Απλές και αξιόπιστες προβλέψεις μπορούν να παραχθούν χρησιμοποιώντας αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα τάξεως p, AR(p). Αυτά αποτελούν κοινά προβλεπτικά υποδείγματα αναφοράς, βάσει των οποίων πιο περίπλοκα υποδείγματα πρόβλεψης δύνανται να αξιολογηθούν. Είναι δυνατό να προστεθούν επιπλέον ερμηνευτικές μεταβλητές (Χ) στο υπόδειγμα. Από την πρόσθεση αυτή προκύπτει ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα κατανεμόμενων χρονικών υστερήσεων (ADL). Στάσιμα καλούνται τα υποδείγματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν εκτός του πεδίου των δεδομένων για τα οποία εκτιμήθηκαν. Τώρα, λοιπόν, διαθέτουμε τα εργαλεία που απαιτούνται ώστε να εκτιμήσουμε δυναμικά αιτιώδη αποτελέσματα…