Διανομή έκτασης με ευθεία διερχόμενη από σταθερό σημείο

Για μια έκταση γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών Για μια έκταση γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών. Επομένως είναι εύκολο να υπολογίσουμε το εμβαδό της. Ζητείται η διανομή της έκτασης σε δύο ισεμβαδικά τμήματα με μια ευθεία που θα διέρχεται από γνωστό σημείο (ας υποθέσουμε από το σημείο 1). Η ζητούμενη ευθεία θα αρχίζει από το σημείο 1 και θα καταλήγει σε ένα σημείο (έστω Μ), το οποίο θα βρίσκεται σε κάποια άλλη πλευρά της περιμέτρου της έκτασης. Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε σε ποια πλευρά θα βρίσκεται το Μ.

Ξεκινώντας από το σημείο 1, ξεχωρίζουμε το πρώτο τρίγωνο και εξετάζουμε αν λύνει το πρόβλημά μας. (Σημειώνεται ότι για το τρίγωνο 1-2-3 είναι εύκολο να υπολογίσουμε το εμβαδό, αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών του.) Αν το τμήμα αυτό έχει εμβαδό μικρότερο του ζητούμενου, τότε προχωρούμε τον έλεγχο ξεχωρίζοντας μεγαλύτερο τμήμα.

Παίρνουμε επιφάνεια ίση με το τετράπλευρο που ορίζεται από τα 4 πρώτα σημεία της έκτασης. (Και πάλι το εμβαδό υπολογίζεται εύκολα από τις συντεταγμένες). Αν και το τμήμα αυτό έχει εμβαδό μικρότερο του ζητούμενου, τότε προχωρούμε τον έλεγχο ξεχωρίζοντας ακόμη μεγαλύτερο τμήμα.

Τώρα το τμήμα που αποχωρίσαμε είναι ένα πεντάγωνο. (Κανένα πρόβλημα, το εμβαδό του υπολογίζεται από τις συντεταγμένες των κορυφών). Και πάλι διαπιστώνουμε ότι δεν έχουμε φτάσει στο επιθυμητό εμβαδό, άρα προχωρούμε με ένα ακόμη μεγαλύτερο τμήμα. Σημειώνουμε ότι η έκταση διανομής θα είναι μεγαλύτερη του πολυγώνου 1-2-3-4-5.

Αυτό το τμήμα ορίζεται από τα 6 πρώτα σημεία της έκτασης. (Και πάλι, το εμβαδό του υπολογίζεται από τις συντεταγμένες των κορυφών). Τώρα διαπιστώνουμε ότι το εμβαδό είναι μεγαλύτερο του ζητούμενου. Επομένως η έκταση διανομής θα είναι μικρότερη από το πολύγωνο 1-2-3-4-5-6.

Αφού η έκταση διανομής θα είναι μεγαλύτερη του πολυγώνου 1-2-3-4-5 και μικρότερη του πολυγώνου 1-2-3-4-5-6, συμπεραίνουμε ότι το ζητούμενο σημείο Μ θα βρίσκεται στην πλευρά 5-6 της έκτασης.

Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων xM, yM σχηματίζουμε το σύστημα εξισώσεων: 1. Το εμβαδό του 1-2-3-4-5-Μ θα είναι ίσο με το μισό του εμβαδού της έκτασης. 2. Το σημείο Μ θα βρίσκεται στην πλευρά 5-6 της έκτασης. Λύνοντας το παραπάνω σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους, βρίσκουμε τις συντεταγμένες του δεύτερου σημείου της ευθείας διανομής.

Διανομή έκτασης με ευθεία με γνωστή διεύθυνση

Για μια έκταση γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών Για μια έκταση γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών. Επομένως είναι εύκολο να υπολογίσουμε το εμβαδό της. Ζητείται η διανομή της έκτασης σε δύο ισεμβαδικά τμήματα με μια ευθεία που θα έχει γνωστή διεύθυνση (ας υποθέσουμε παράλληλη στον άξονα y). Για τη ζητούμενη ευθεία δεν έχουμε κανένα γνωστό σημείο. Αν η ζητούμενη ευθεία είναι η ΜΝ, τότε τα σημεία Μ και Ν θα βρίσκονται πάνω σε δύο πλευρές, που πρέπει να αναζητήσουμε.

Φέρουμε ευθεία παράλληλη στον άξονα y που διέρχεται από την κορυφή 3. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. (Το xK = x3, αφού προβάλλονται στο ίδιο σημείο του άξονα x. To yK θα ικανοποιεί την εξίσωση της ευθείας 1-2). Αν το τμήμα 2-3-Κ έχει εμβαδό μικρότερο του ζητούμενου, τότε προχωρούμε τον έλεγχο ξεχωρίζοντας μεγαλύτερο τμήμα (με ευθεία πάντα παράλληλη στον y).

Φέρουμε ευθεία παράλληλη στον άξονα y που διέρχεται από την κορυφή 1. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. Αν και το τμήμα αυτό έχει εμβαδό μικρότερο του ζητούμενου, τότε προχωρούμε τον έλεγχο ξεχωρίζοντας ακόμη μεγαλύτερο τμήμα.

Φέρουμε ευθεία παράλληλη στον άξονα y που διέρχεται από την κορυφή 4. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. Και πάλι διαπιστώνουμε ότι δεν έχουμε φτάσει στο επιθυμητό εμβαδό, άρα προχωρούμε με ένα ακόμη μεγαλύτερο τμήμα.

Φέρουμε ευθεία παράλληλη στον άξονα y που διέρχεται από την κορυφή 9. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. Τώρα διαπιστώνουμε ότι το εμβαδό είναι μεγαλύτερο του ζητούμενου.

Συνεπώς η ευθεία διανομής θα βρίσκεται κάπου ανάμεσα στις δύο τελευταίες δοκιμαστικές ευθείες και θα είναι παράλληλη με τον άξονα y. Το σημείο Μ θα βρίσκεται στην πλευρά 4-5 και το σημείο Ν στην πλευρά 1-9.

Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων xM, yM, xΝ, yΝ σχηματίζουμε το σύστημα εξισώσεων: Το εμβαδό του 1-2-3-4-Μ-Ν θα είναι ίσο με το μισό του εμβαδού της έκτασης. Το σημείο Μ θα βρίσκεται στην πλευρά 4-5 της έκτασης. Το σημείο Ν θα βρίσκεται στην πλευρά 1-9. Οι τετμημένες των σημείων Μ και Ν ταυτίζονται. Λύνοντας το παραπάνω σύστημα 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των δύο σημείων της ευθείας διανομής.