Εισαγωγή στη Μηχανική των Ρευστών Εισαγωγή στη Μηχανική των Ρευστών Ζαχαριάδου Αικατερίνη ΤΕΙ Πειραιά

Δυνάμεις άνωσης & η αρχή του Αρχιμήδη

Δυνάμεις άνωσης & η αρχή του Αρχιμήδη Όταν ένα σώμα είναι εν μέρει ή εξ’ ολοκλήρου βυθισμένο σε ένα ρευστό, το ρευστό εξασκεί στο σώμα μια δύναμη προς τα επάνω ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται από το σώμα Το ρευστό ισορροπεί ΣF’y=0 m η μάζα του ρευστού μέσα στην επιφάνεια ΣFy=mg Η ευθεία κατά μήκος της οποίας δρα η συνισταμένη των y-συνιστωσών των επιφανειακών δυνάμεων θα πρέπει να περνά από το κέντρο βάρους αυτού του τμήματος του ρευστού (γενικά δεν συμπίπτει με το κέντρο βάρους του σώματος) Το άθροισμα των ροπών πρέπει να είναι μηδέν Αφαιρούμε το ρευστό από τη φανταστική επιφάνεια και το αντικαθιστούμε με στερεό σώμα ιδίου ακριβώς σχήματος Η πίεση σε κάθε σημείο της επιφάνειας του σώματος θα είναι η ίδια mεκτ η μάζα του ρευστού που εκτοπίστηκε ΣFy=mεκτ g ΑΝΩΣΗ Α=mεκτ g=ρυγρVεκτ g

Ειδικό Βάρος Μονάδες του ειδικού βάρους 1 Kp είναι η δύναμη που ασκεί μια μάζα 1Κg s(για g=9.8 m/s2 1kp =9.8 N

η αριθμητική τιμή της πυκνότητας ενός σώματος σε Ισούται με την αριθμητική τιμή του ειδικού βάρους του σε Για το νερό: το ειδικό βάρους του νερού είναι

Δυνάμεις άνωσης & η αρχή του Αρχιμήδη Δυναμική βυθισμένου σώματος Έστω σώμα (όγκου V και πυκνότητας ρ’) βυθισμένο εξ΄ ολοκλήρου σε υγρό πυκνότητας ρ . Πώς θα κινηθεί; Η φορά της ολικής δύναμης εξαρτάται από το πρόσημο Όταν το σώμα είναι πιο πυκνό από το υγρό, το σώμα βυθίζεται Όταν το σώμα είναι πιο αραιό από το υγρό, το σώμα ανέρχεται Όταν οι πυκνότητες είναι ίσες το σώμα ισορροπεί βυθισμένο

Δυνάμεις άνωσης & η αρχή του Αρχιμήδη Ανεξάρτητα από το σχήμα και το βάρος του σώματος !!! W A Ισορροπία σώματος που επιπλέει ρ’ To σώμα ισορροπεί ρ Το ποσοστό του όγκου του σώματος πάνω από την επιφάνεια: Εφαρμογή: Μόνο το 10% ενός παγόβουνου είναι ορατό (πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας)

Δυνάμεις άνωσης & η αρχή του Αρχιμήδη Ένα ολόχρυσο άγαλμα βάρους 15 Κg ανυψώνεται από βυθισμένο πλοίο. Πόση η τάση του καλωδίου α) όταν το άγαλμα είναι εντελώς βυθισμένο β) όταν βρίσκεται εκτός νερού. Τ mg Α Πρέπει να βρεθεί η άνωση Α (η οποία ισούται με το βάρος του εκτοπιζόμενου όγκου νερού): Βάρος εκτοπισμένου όγκου νερού: Όγκος χρυσού αγάλματος: Αυτό το βάρος ισούται με τη δύναμη άνωσης Α Όταν το άγαλμα είναι έξω από το νερό: Η τάση του καλωδίου όταν το άγαλμα είναι έξω από το νερό είναι περίπου ίση με το βάρος του αγάλματος

Εύρηκα του Αρχιμήδη Πώς μπορεί να βρεθεί η πυκνότητα της κορώνας που έχει ακανόνιστο σχήμα?? Μύθος: Η κορώνα είναι χρυσή ?? Βάρος της κορώνας στον αέρα Βάρος της κορώνας στο νερό Λόγος βάρους προς απώλεια βάρους:

Βυθίζουμε στο νερό: α) 1 lt αλουμινίου και 1 lt χαλκού β) 1Kgr αλουμινίου και 1Kgr χαλκού. Βρείτε σε κάθε περίπτωση ποιό σώμα έχει τη μεγαλύτερη άνωση. Α) Και στις δύο περιπτώσεις το ειδικό βάρους του υγρού είναι ίδιο καθώς και ο όγκος του εκτοπιζόμενου υγρού (=1lt) άρα οι ανώσεις είναι ίδιες και στις δύο περιπτώσεις Β) Οι βυθιζόμενοι όγκοι είναι: Άρα οι ανώσεις είναι:

Κυλινδρικό σιδερένιο σωλήνας ύψους 6 cm ισορροπεί με τον άξονά του κατακόρυφο εντός δοχείου υδραργύρου .Ζητείται το βάθος μέχρι το οποίο βυθίζεται ο σωλήνας σωλήνας ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του και της άνωσης που δέχεται το βυθισμένο μέρος του h=6cm x S l=10cm

Στο εσωτερικό ενός κοματιού γυαλιού ειδικού βάρους ε=2 Στο εσωτερικό ενός κοματιού γυαλιού ειδικού βάρους ε=2.6p/cm3 υπάρχει κοιλότητα. Το κοματι αυτό ζυγίζει 23.4 p στον αέρα και 3.9p όταν βυθίζεται στο νερό . Να βρεθεί ο όγκος της κοιλότητας Ο ολικός όγκος του σώματος ισούται με τον όγκο του γυαλιού και τον όγκο της κοιλότητας Ο όγκος του γυαλιού μπορεί να υπολογιστεί από : Ο όγκος του σώματος μπορεί να υπολογιστεί από : την άνωση και το ειδικό βάρους του νερού Η άνωση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των δύο ζυγίσεων Β και Β’ στον αέρα και στο νερό

Αερόστατα Για να ανέβει πρέπει: Ικανή αλλά όχι αναγκαία συνθήκη

Ολική δύναμη στη σφαίρα: Βάρος σφαίρας: Άνωση σφαίρας: Ολική δύναμη στη σφαίρα: F1=ma1 Ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Για τη δεύτερη σφαίρα: Η πιο πυκνή σφαίρα θα φτάσει πρώτη στον πυθμένα

Το σώμα ισορροπεί στη θέση x=0 Το ταλαντούμενο σώμα εκτελεί ταλάντωση με περίοδο: Ανεξάρτητη από την πυκνότητα του υγρού που περιβάλλει το σώμα

Βάρος κυλίνδρου: Άνωση στη θέση x=0 To σώμα ισορροπεί Άνωση στη θέση x>0 Το σώμα εκτελεί κατακόρυφη αρμονική ταλάντωση

Στο σύστημα δεξαμενή + νερό δρουν οι εξωτερικές δυνάμεις: Το βάρος w Η αντίδραση στην άνωση Α η δύναμη F από τη ζυγαριά στη δεξαμενή (=ένδειξη ζυγαριάς) Το σύστημα ισορροπεί: Στην περίπτωση που του ξύλου που επιπλέει: A=w’ Η βυθισμένη πέτρα είτε είναι κρεμασμένη είτε ελεύθερη δέχεται την ίδια άνωση:

Επιφανειακή τάση Οι ελκτικές δυνάμεις που ασκούνται σε ένα μόριο που βρίσκεται στο εσωτερικό ενός υγρού από τα γειτονικά του μόρια αλληλοαναιρούνται και συνεπώς η συνισταμένη τους είναι μηδενική. Αντίθετα, στα μόρια της ελεύθερης επιφάνειας ασκούνται δυνάμεις μόνο από τα μόρια που βρίσκονται στο εσωτερικό του υγρού, άρα ελκονται προς το εσωτερικό. Οι ενδομοριακές δυνάμεις έχουν μικρή εμβέλεια και συνεπώς τα μόρια του υγρού αλληλεπιδρούν μόνο με τους άμεσους γείτονές του, άρα η δυναμική ενέργεια που σχετίζεται με ένα σύνολο μορίων είναι ανάλογο του αριθμού τους. Συνεπώς, η δυναμική ενέργεια των μορίων στο εσωτερικό ενός υγρού είναι ανάλογη του όγκου του υγρού ενώ η δυναμική ενέργεια των μορίων στην ελεύθερη επιφάνεια είναι ανάλογη του εμβαδού της επιφανείας.

Η δυναμική ενέργεια είναι ανάλογη της επιφάνειας Μ καθορισμένη ποσότητα υγρού ελεύθερη από εξωτερικές επιδράσεις θα παίρνει το σχήμα σφαίρας, δεδομένου ότι η σφαίρα έχει την ελάχιστη επιφάνεια σε σχέση με όλα τα σχήματα ιδίου όγκου. Όπως γνωρίζουμε, κάθε φυσικό σύστημα τείνει αυθόρμητα προς την κατάσταση ελάχιστης δυναμικής ενέργειας. Η τάση αυτή των υγρών να ελαχιστοποιούν την επιφάνειά τους ονομάζεται επιφανειακή τάση Το γεγονός ότι η στην κατάσταση ισορροπίας είναι ελάχιστη, προκειμένου να την αυξήσουμε πρέπει να καταναλώσουμε έργο. Το έργο αυτό ανά μονάδα επιφάνειας ds ονομάζεται συντελεστής επιφανειακής τάσης γ : Συντελεστής επιφανειακής τάσης γ

Εάν το σύστημα αυτό βυθιστεί σε διάλυμα σαπουνιού και στη συνέχεια ανυψωθεί θα παρατηρήσουμε ότι δημιουργείται ένα λεπτότατο στρώμα υγρού (υμένιο) και ότι το νήμα έλκεται προς την κορυφή του μεταλλικού πλαισίου έτσι ώστε να ελαττωθεί η επιφάνεια του υμενίου. Η δύναμη F που απαιτείται να ασκήσουμε έτσι ώστε το νήμα να ισορροπεί ισούται με την επιφανειακή τάση, Το έργο που παράγεται κατά τη μετατόπιση κατά dx είναι: Ο συντελεστής επιφανειακης τάσης είναι Δηλαδή η επιφανειακή τάση γ είναι η δύναμη ανά μονάδα μήκους που ασκείται από το υμένιο κάθετα προς την πλευρά του Μονάδες: Ν/m Μονάδες: Ν/m

Επιφανειακή τάση σε καμπύλες επιφάνειες Ενώ η πίεση στις δύο πλευρές μιας επίπεδης επιφάνειας ενός υγρού είναι ίσες, σε μια καμπύλη επιφάνεια, η επιφανειακή τάση προκαλεί μεταβολή της πίεσης στο εσωτερικό του υγρού. Έτσι σε μια κυρτή επιφάνεια η πίεση είναι μικρότερη στο εσωτερικό του υγρού ενώ σε μια κοίλη επιφάνεια η πίεση στο εσωτερικό είναι μεγαλύτερη.

Παράδειγμα: Φυσαλίδα αέρα μέσα σε υγρό Έστω μια σφαιρική φυσαλίδα αέρα μέσα σε υγρό, η επιφανειακή τάση δημιουργεί μια υπερπίεση στο εσωτερικό της. Έστω διαστολή κατά dR Το ολικό έργο που παράγεται κατά τη διαστολή της φυσαλίδας είναι:

Παράδειγμα: Φυσαλίδα αέρα μέσα σε υγρό Δεύτερος τρόπος υπολογισμού της υπερπίεσης: η δύναμη που ασκείται στη φυσαλίδα λόγω διαφοράς πίεσης είναι: είναι ίση με την επιφανειακή τάση κατά μήκος της περιφέρειας ενός μέγιστου κύκλου

Παράδειγμα 2 : Σαπουνόφουσκα Στο εσωτερικό της διαχωριστικής μεμβράνης μεταξύ υγρού και ατμόσφαιρας επικρατεί υπερπίεση R δR ΔP1 ΔP2 αέρας Εξάλλου η πίεση του αέρα στο εσωτερικό της σαπουνόφουσκας είναι μεγαλύτερη από την πίεση στο εσωτερικό της μεβράνης κατά αέρας Άρα η υπερπίεση στο εσωτερικό της σαπουνόφουσκας σε σχέση με το περιβάλλον είναι Διαχωριστική μεμβράνη (υγρό)

Τριχοειδή φαινόμενα Αν ένα σωλήνας μικρής διατομής (τριχοειδής) είναι εν μέρει βυθισμένος σ' ένα υγρό το ύψος του υγρού στο σωλήνα σε σχέση με την ελεύθερη επιφάνεια του υπόλοιπου υγρού καθορίζεται από τα φαινόμενα επιφανειακής τάσης Το βάρος της στήλης του υγρού αντισταθμίζεται από την ολική κατακόρυφη συνιστώσα της επιαφανειακής τάσης κατά μήκος της περιμέτρου: Πώς σχετίζεται η ανύψωση του υγρού με την ακτίνα του σωλήνα;

Τριχοειδή φαινόμενα Η σχέση αυτή προκύπτει επίσης αν θεωρήσουμε την υπερπίεση στο εσωτερικό του μηνίσκου Η υπερπίεση αυτή πρέπει να ισούται με την υδροστατική πίεση:

Τριχοειδή φαινόμενα Μια μακρά ορθογώνια πλάκα κείται πάνω στην επιφάνεια ενός υγρού που τη διαβρέχει, στη συνέχεια ανυψούται έτσι που ορισμένη ποσότητα υγρού παρασύρεται μαζί της Βρείτε το μέγιστο ύψος στο οποίο ανέρχεται η πλάκα χωρίς να αποκοπεί το υγρό υμένιο Η πίεση στο Α (x,y) είναι: pgy dy + γ ημφ dφ = 0 pgy dx + γ συνφ dφ = 0