Keller: Stats for Mgmt & Econ, 7th Ed April 2, 2017 Κεφάλαιο 13-Β Συμπερασματολογία για Έναν Πληθυσμό Copyright © 2006 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

Συμπερασματολογία για Έναν Πληθυσμό … Αναγνωρίζουμε την παράμετρο που πρόκειται να εκτιμηθεί ή να ελεγχθεί. Καθορίστε την εκτιμήτρια της παραμέτρου και την δειγματοληπτική της κατανομή. Υπολογίστε την εκτιμήτρια του διαστήματος και το στατιστικό στοιχείο.

Συμπερασματολογία για Έναν Πληθυσμό … Θα αναπτύξουμε τεχνικές για την εκτίμηση και τον έλεγχο τριών παραμέτρων του πληθυσμού: Την Μέση Τιμή του πληθυσμού μ Την Διακύμανση του πληθυσμού σ2 Αναλογία του πληθυσμού ρ

Συμπερασματολογία με Γνωστή Διακύμανση … Προηγμένος, είδαμε την εκτίμηση και τον έλεγχο της μέσης τιμής του πληθυσμού όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού (σ) είναι γνωστή ή δοσμένη: Αλλά πόσο συχνά γνωρίζουμε την πραγματική διακύμανση του πληθυσμού; Όταν η διακύμανση είναι άγνωστη χρησιμοποιούμε το Student, t, στατιστικό στοιχείο, το οποίο είναι:

Συμπερασματολογία με Άγνωστη Διακύμανση … Όταν η σ είναι άγνωστη, χρησιμοποιούμε την εκτιμήτρια s και το z στατιστικό στοιχείο αναπληρώνεται από το t στατιστικό στοιχείο, με βαθμούς ελευθερίας ν=n–1.

Έλεγχος του μ όταν η σ είναι άγνωστη … Όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι άγνωστη και ο πληθυσμός είναι κανονικός, το στατιστικό τεστ για τον έλεγχο υποθέσεων σχετικά με το μ είναι: Το οποίο ακολουθεί Student t κατανομή με ν = n–1 βαθμούς ελευθερίας. Η εκτιμήτρια του διαστήματος εμπιστοσύνης του μ είναι:

Παράδειγμα 13.3… Οι καινούργιοι εργάτες θα πετύχουν το 90% του επίπεδου των έμπειρων εργατών σε μία εβδομάδα από τη στιγμή που θα προσληφθούν και θα εκπαιδευτούν; Έμπειροι εργάτες μπορούν να επεξεργαστούν 500 πακέτα την ώρα, έτσι εάν η εικασία μας είναι σωστή, αναμένουμε οι νέοι εργάτες να είναι ικανοί να επεξεργαστούν .90(500) = 450 πακέτα την ώρα. Ισχύει αυτό σύμφωνα με τα δεδομένα;

Παράδειγμα 13.3… ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ Ο αντικειμενικός μας στόχος είναι να περιγράψουμε των αριθμών των πακέτων του πληθυσμού που επεξεργάστηκαν σε μία ώρα από νέους εργάτες, δηλαδή θέλουμε να ξέρουμε εάν η παραγωγικότητα των νέων εργατών είναι μεγαλύτερη από 90% από αυτή των έμπειρων εργατών. Έτσι έχουμε: H1: μ > 450 Εκ τούτου αναθέτουμε την σύνηθες μηδενική υπόθεση σε: H0: μ = 450

Παράδειγμα 13.3… Το στατιστικό μας τεστ είναι: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ Το στατιστικό μας τεστ είναι: Με n=50 δεδομένα, έχουμε n–1=49 βαθμούς ελευθερίας. Η υπόθεση μας υπό έλεγχο είναι: H1: μ > 450 Η περιοχή απόρριψης γίνεται: Έτσι θα απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση για την εύνοια της εναλλακτικής εάν το υπολογιζόμενο στατιστικό τεστ πέσει σε αυτή την περιοχή.

Παράδειγμα 13.3… ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ Από τα δεδομένα, υπολογίζουμε, = 460.38, s =38.83 και έτσι: Αφού Απορρίπτουμε την H0 για την εύνοια της H1, δηλαδή, υπάρχει επαρκή μαρτυρία να συμπεράνουμε ότι οι νέοι εργάτες παράγουν τουλάχιστον το 90% του μέσου όρου των έμπειρων εργατών.

Παράδειγμα 13.4 … Εναλλακτικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ το t-test:Mean Tools > Data Analysis Plus στο Excel… : Περιοχή απόρριψης

Παράδειγμα 13.4 … ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ Επιπροσθέτως στο υπολογισμένο t-στατιστικό και την κριτική τιμή του t (μία ουρά), θα μπορούμε να κοιτάξουμε την π-τιμή (0.0323) και να δούμε ότι είναι «μικρή» (~3%), έτσι ξανά, απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση για την εύνοια της εναλλακτικής … Π-τιμή

Παράδειγμα 13.4 … ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ Μπορούμε να εκτιμήσουμε την απόδοση μιας επένδυσης για εταιρίες που κερδίζουν βραβεία ποιότητας; Θεωρήστε ένα τυχαίο δείγμα από n = 83 τέτοιες εταιρίες. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση απόδοση, δηλαδή, ποιο είναι;

Παράδειγμα 13.4 … Από τα δεδομένα, υπολογίζουμε: Για αυτόν τον όρο ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ Από τα δεδομένα, υπολογίζουμε: Για αυτόν τον όρο Και έτσι:

Παράδειγμα 13.4 … ΕΡΜΗΝΕΨΤΕ Είμαστε κατά 95% σίγουροι ότι η μέση τιμή του πληθυσμού, μ, δηλαδή η μέση απόδοση από όλες τις εισηγμένες εταιρίες που κερδίζουν βραβεία ποιότητας, κυμαίνεται μεταξύ 13.20% και 16.84% Tools > Data Analysis Plus > t-Estimate: Mean Είναι μία εναλλακτική στον υπολογισμό με το Χέρι …

Ελέγξτε Αναγκαίες Υποθέσεις … Η Student t κατανομή είναι ανθεκτική (robust), το οποίο σημαίνει ότι εάν ο πληθυσμός είναι μη κανονικός, τα αποτελέσματα του t-τεστ και της εκτιμήτριας του διαστήματος εμπιστοσύνης παραμένουν έγκυρα δεδομένου ότι ο πληθυσμός «δεν είναι ακραία μη κανονικός». Για να ελέγξουμε αυτό το αίτημα, σχεδιάστε ένα ιστόγραμμα των δεδομένων και δείτε κατά πόσο «το σχήμα της καμπάνας» σχηματίζεται στο σχήμα. Εάν το ιστόγραμμα είναι ακραία λοξό (ας πούμε όπως στην περίπτωση της εκθετικής κατανομής), αυτό θα θεωρούνταν «ακραία μη κανονικό» και εκ τούτου τα t-στατιστικά στοιχεία δεν θα ήταν έγκυρα σε αυτή την περίπτωση.

Εκτιμώντας Αθροίσματα Πεπερασμένων Πληθυσμών… Μεγάλοι πληθυσμοί ορίζονται οι «πληθυσμοί που είναι τουλάχιστον 20 φορές μεγαλύτεροι σε μέγεθος από τα δείγματα» Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εκτιμήτρια του διαστήματος εμπιστοσύνης για την μέση τιμή για να παράγουμε μία εκτιμήτρια του διαστήματος εμπιστοσύνης για το άθροισμα του πληθυσμού: Όπου N είναι το μέγεθος του πεπερασμένου πληθυσμού.

Εκτιμώντας Αθροίσματα Πεπερασμένων Πληθυσμών… Για παράδειγμα, ένα δείγμα 500 νοικοκυριών (σε μία πόλη 1 εκατομμυρίων νοικοκυριών) δίνει μία εκτίμηση, ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης, ότι το μέσο νοικοκυριό ξόδεψε για γλυκίσματα στο Halloween (απόκριες) μεταξύ $20 & $30. Μπορούμε να εκτιμήσουμε το συνολικό ποσό που σπαταλήθηκε στην πόλη πολλαπλασιάζοντας το κάτω και πάνω όριο του διαστήματος με το σύνολο του πληθυσμού: Έτσι εκτιμούμε ότι το συνολικό ποσό που σπαταλήθηκε στο Halloween στην πόλη κυμαίνεται μεταξύ $20 εκατομμυρίων και $30 εκατομμυρίων.

Συμπερασματολογία: Αναλογία Πληθυσμού… Όταν τα δεδομένα είναι ονομαστικά, μετράμε τον αριθμό των περιστατικών από κάθε τιμή και υπολογίζουμε αναλογίες. Έτσι, η παράμετρος που μας ενδιαφέρει για να περιγράψουμε έναν πληθυσμό με ονομαστικά δεδομένα είναι η αναλογία του πληθυσμού ρ. Αυτή η παράμετρος ήταν βασισμένη στο διωνυμικό πείραμα. Ανακαλέστε την χρήση αυτού του στατιστικού: Όπου το ρ-καπελάκι ( ) είναι η αναλογία του δείγματος x επιτυχίων σε ένα δείγμα μεγέθους n αντικειμένων.

Συμπερασματολογία: Αναλογία Πληθυσμού… Όταν np και n(1–p) είναι και τα δύο μεγαλύτερα του 5, η δειγματοληπτική κατανομή της είναι προσεγγιστικά κανονική με Μέση τιμή: Τυπική απόκλιση: Έτσι:

Συμπερασματολογία: Αναλογία Πληθυσμού… Τεστ στατιστικό για ρ: Η εκτιμήτρια του διαστήματος εμπιστοσύνης για ρ δίνεται ως: (και τα δύο απαιτούν ότι np>5 και n(1–p)>5)

Παράδειγμα 13.5… ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ Σε μία σφυγμομέτρηση κατά την έξοδο ψηφοφόρων ρωτούνται από ένα κεντρικό δίκτυο εάν ψήφισαν Δημοκρατικούς (κωδικός=1) ή Ρεπουμπλικάνους (κωδικός=2). Βασισμένοι στα μικρά τους δείγματα, μπορεί το δίκτυο να συμπεράνει ότι ο Ρεπουμπλικάνος υποψήφιος θα κερδίσει τις εκλογές; Δηλαδή: H1: p > .50 και εκ τούτου η μηδενική υπόθεση γίνεται: H0: p = .50

Παράδειγμα 13.5… Αφού η ερευνητική μας υπόθεση είναι: H1: ρ > .50 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ Αφού η ερευνητική μας υπόθεση είναι: H1: ρ > .50 Η περιοχή απόρριψης γίνεται: Από τα δεδομένα, υπολογίζουμε ότι 407 (από τους 765) ψηφοφόρους έχουν κωδικό=2. Εκ τούτου, υπολογίζουμε το στατιστικό τεστ ως ακολούθως …

Παράδειγμα 13.5… ΕΡΜΗΝΕΨΤΕ Αφού: …απορρίπτουμε την H0 για την εύνοια της H1, δηλαδή, υπάρχει αρκετή μαρτυρία να υποστηρίξουμε ότι οι Ρεπουμπλικάνοι κερδίζουν τις εκλογές. Παρομοίως με το Excel: Συγκρίνουμε αυτές… …ή κοιτάμε την π-τιμή

Άσκηση 13.3 Ελέγξτε εάν ο μέσος των παρακάτω δεδομένων είναι 14: 15, 22, -19, 0, 1, 2, 4, 3, -3, 7. Λύση: Θέλουμε να ελέγξουμε ότι: Η0: μ=14 έναντι της Η1: μ≠14 χρησιμοποιώντας το t-τεστ

Άσκηση 13.3 (συνέχεια) 10 τρόπος: Με επίπεδο εμπιστοσύνης α=0.05, από τον πίνακα της t κατανομής ta/2,n-1= t0.025,9=2.262 < |t|= =|-3.15|=3.15 → απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση και επομένως δεν δεχόμαστε ότι ο μέσος είναι ίσος με 14. Από το EXCEL->Functions->TINV(0.05,9)=2.262 (για μονόπλευρα τεστ πολλαπλασιάζουμε το α (π.χ. 0.05) επί 2.

Άσκηση 13.3 (συνέχεια) 20 τρόπος: Από τον πίνακα της t κατανομής μπορούμε να βρούμε φράγματα για την π-τιμή. Αφού 2.821<3.15<3.250 και τα φράγματα αντιστοιχούν σε επίπεδα σημαντικότητας 0.02 και 0.01 συμπεραίνουμε ότι η 0.01<π-τιμή <0.02. Από το EXCEL->Functions->TDIST(3.15,9,2)= =π-τιμή=0.0117 (για μονόπλευρα τεστ διαιρούμε την π-τιμή δια 2.