ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Ανάλυση : κεφάλαιο 3 Ο Ρ Ι Σ Μ Ε Ν Ο Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α

Περιεχόμενα 1ο Μέρος : Εύρεση Εμβαδού μη Γεωμετρικής περιοχής 1ο Μέρος : Εύρεση Εμβαδού μη Γεωμετρικής περιοχής 2ο Μέρος : Ορισμός Εμβαδού 3ο Μέρος :Η έννοια του Ορισμένου Ολοκληρώματος

1ο Μέρος : Εύρεση Εμβαδού μη Γεωμετρικής περιοχής

Κάποια βασικά γεωμετρικά σχήματα με γνωστό τύπο για το Εμβαδόν τους Τετράγωνο : Ε=α2 Κύκλος : Ε=πρ2 Ορθογώνιο : Ε=αβ Τρίγωνο : Εξάγωνο Ρόμβος : ….και φυσικά πολλά άλλα

Βασικό μας εργαλείο Η γνωστή μας Γεωμετρία

1

Εμβαδόν παραβολικού χώρου Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x2, τον άξονα των x’x και τις ευθείες x=0 και x=1 (Παραβολικό χωρίο).

Μια προφανή μέθοδο, που ίσως δουλέψει…

Χωρίζουμε το διάστημα [0,1] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους Δx=1/ν , με άκρα τα σημεία: .....

Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη την ελάχιστη τιμή της f σε καθένα από αυτά. Μια προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είναι το άθροισμα, των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων. Δηλαδή, το:

ΚΑΝΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ!!! Θα μπορούσε όμως να γίνει και αλλιώς….! Γιατί τα ορθογώνια να τα σχηματίζουμε με την ελάχιστη τιμή της f και όχι από την μέγιστη ΚΑΝΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ!!!

Μια διαφορετική εικόνα αλλά τόσο όμοια με την προηγούμενη

Δηλαδή : Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα και ύψη την μέγιστη τιμή της f σε καθένα απ’ αυτά, τότε το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού. Είναι όμως,

Θυμηθείτε οτι ψάχναμε ένα εμβαδόν . Παρατηρήστε τι έχουμε μπροστά μας. Ποιο είναι το εμβαδόν της ζητούμενης περιοχής;

Τελικά παίρνουμε ως εμβαδόν της ζητούμενης περιοχής Το ζητούμενο, όμως, εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ των και . Δηλαδή ισχύει , οπότε Επειδή , έχουμε . Θα το λέγαμε και Κάτω Άθροισμα Θα το λέγαμε και Άνω Άθροισμα Τελικά παίρνουμε ως εμβαδόν της ζητούμενης περιοχής

Όλα καλά, εκτός και αν τα δύο όρια δεν βγαίνουν ίδια. Δηλαδή αν δεν ισχύει : [To be continued...]

Γιατί τέτοια ταλαιπωρία με τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές ? με τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές ? Ας κάνουμε τη ζωή μας πιο εύκολη, μια και είναι μέρες νηστείας και οι δυνάμεις μας λιγοστεύουν

Θα έχουμε : Οπότε θα ισχύει : Δηλαδή : Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα , και ύψη την τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο, , καθενός διαστήματος, τότε το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού, και επειδή Θα έχουμε : Οπότε θα ισχύει : Δηλαδή :

2ο Μέρος : Ορισμός Εμβαδού 2ο Μέρος : Ορισμός Εμβαδού Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β],με για κάθε και Ω το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και τις ευθείες x=α, και x=β. Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω εργαζόμαστε όπως και νωρίτερα

Χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους με τα σημεία Σε κάθε υποδιάστημα επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο και σχηματίζουμε τα ορθογώνια, που έχουν βάση Δx και ύψη Το άθροισμα των εμβαδώντων ορθογωνίων αυτών είναι 3. Υπολογίζουμε το Αποδεικνύεται ότι το υπάρχει στο IR και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των σημείων ξ. Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επίπεδου χωρίου Ω και συμβολίζεται με Ε(Ω). Ε ι ν α ι φ α ν ε ρ ό ό τ ι

3ο Μέρος : Η έννοια του Ορισμένου Ολοκληρώματος

Το οποίο συμβολίζουμε με Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [α,β], με τα σημεία Χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν ισομήκη διαστήματα μήκους Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα για κάθε Και στη συνέχεια σχηματίζουμε το άθροισμα Το οποίο συμβολίζουμε με

Αποδεικνύεται ότι : Άθροισμα Riemann “Το όριο του αθροίσματος , δηλαδή το υπάρχει στο IR και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων ”. Το παραπάνω όριο ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β, συμβολίζεται με και διαβάζεται “ολοκλήρωμα της f από το α στο β”. Δηλαδή,

Gottfried Wilhelm von Leibniz [1646-1716] Το σύμβολο οφείλεται στον κύριο ….. Gottfried Wilhelm von Leibniz [1646-1716] και ονομάζεται σύμβολο ολοκλήρωσης. Αυτό είναι επιμήκυνση του αρχικού γράμματος S της λέξης Summa (άθροισμα). Οι αριθμοί α και β ονομάζονται όρια (άκρα) της ολοκλήρωσης. Η έννοια “όρια” εδώ δεν έχει την ίδια έννοια του ορίου του 2ου κεφαλαίου Στην έκφραση το γράμμα x είναι μια μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα. Έτσι, για παράδειγμα, οι εκφράσεις , συμβολίζουν το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμα και είναι πραγματικός αριθμός, σε αντίθεση με το που είναι ένα σύνολο συναρτήσεων.

Είναι, όμως, χρήσιμο να επεκτείνουμε τον παραπάνω ορισμό και για τις περιπτώσεις που είναι α>β ή α=β, ως εξής: Να μη ξεχαστούν Π ο τ έ !!!

Από τους ορισμούς του εμβαδού και του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει ότι: Αν για κάθε , τότε το ολοκλήρωμα δίνει το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα x΄x και τις ευθείες x=α και x=β. Δηλαδή,

Επομένως : Αν τότε

Ε φ α ρ μ ο γ ή Aπόδειξη Να αποδειχθεί ότι c ανήκει στο IR 1) Αν α=β τότε 2) Αν α<β τότε τότε επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] 3) Αν α>β τότε

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος Με τη βοήθεια του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώματος αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα. ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο Έστω f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] και λ,μ ανήκουν στο IR. Τότε

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο Αν f σ υ ν ε χ ή σε διάστημα Δ και α,β,γ ανήκουν στο Δ. Τότε Σχόλιο Το σημείο γ που ‘κόβει’ το ολοκλήρωμα σε άθροισμα δύο ολοκληρώματων δεν είναι υποχρεωτικό και απαραίτητο να βρίσκεται ανάμεσα στα α και β

Για παράδειγμα αν και Τότε : ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο Για παράδειγμα αν και Τότε : ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα [α,β]. Αν για κάθε x που ανήκει στο [α,β] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό τότε

Τέλος