Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης

Μέση Ισχύς για νομοτελειακά σήματα ισχύος. Για νομοτελειακά σήματα ισχύος: Η μέση ισχύς ορίζεται ως:

Μέση χρονική τιμή αυτοσυσχέτισης. Για νομοτελειακά σήματα ισχύος: Η μέση χρονική τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης: Αν το νομοτελειακό σήμα είναι περιοδικό με περίοδο Τ0, η χρονική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης υπολογίζεται και από μία περίοδο του σήματος:

Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος Μπορεί εύκολα να δειχτεί ότι ο μετασχηματισμός Fourier της <RXX(τ)> ικανοποιεί: Γι’ αυτό ο μετασχηματισμός Fourier SXX(f) ορίζεται και ως πυκνότητα φάσματος ισχύος

Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος για WSS Τ.Σ. Για στατικά τυχαία σήματα, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης υπολογίζεται παίρνοντας το μέσο όρο όχι ως προς το χρόνο, αλλά ως προς τις πιθανές πραγματοποιήσεις του τυχαίου σήματος: Η πυκνότητα φάσματος ισχύος (PSD) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (Wiener-Khinchine): Αντίστροφα:

Ιδιότητες PSD Η συνάρτηση SXX(f) είναι πραγματική και μη αρνητική: Η αναμενόμενη ισχύς του X(t) είναι:

Ιδιότητες PSD Αν το σήμα Χ(t) είναι πραγματικό, τότε η Rxx(t) είναι άρτια συνάρτηση και επομένως η Sxx(f) είναι επίσης άρτια συνάρτηση

Βαθυπερατά και Ζωνοπερατά Σήματα Η ισχύς ενός στατικού υπό την ευρεία έννοια τυχαίου σήματος σε μια ζώνη συχνοτήτων [f1, f2]: Ένα βαθυπερατό σήμα έχει ισχύ (μη μηδενική πυκνότητα φάσματος ισχύος) στη ζώνη συχνοτήτων: | f | ≤ B Β είναι το εύρος ζώνης (bandwidth). Ένα ζωνοδιαβατό σήμα έχει ισχύ (μη μηδενική πυκνότητα φάσματος ισχύος) στη ζώνη συχνοτήτων:

PSD Τυχαίων Σημάτων διακριτού χρόνου H PSD ενός Τ.Σ. διακριτού χρόνου X(nTs) με συχνότητα δειγματοληψίας Ts=1 ισούται με το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (Discrete-time Fourier Transform): Όπου: Από τον ορισμό προκύπτει ότι η Sxx(f) είναι περιοδική με περίοδο 1.

PSD Τυχαίων Σημάτων διακριτού χρόνου Αντίστροφα: Αν το σήμα Χ(n) είναι πραγματικό, τότε η Rx(n) είναι άρτια και επομένως:

Παράδειγμα (1) Υπολογίζουμε την Αυτοσυσχέτιση: Η PSD θα είναι: Βρείτε και σχεδιάστε την πυκνότητα φάσματος ισχύος του τυχαίου σήματος Χ(t) = 10 cos(2000 πt + Θ), όπου Θ είναι Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. Υπολογίζουμε την Αυτοσυσχέτιση: Η PSD θα είναι:

Παράδειγμα (1) Η PSD θα είναι: και Οπότε: Ιδιότητα Μετασχηματισμού Fourier: Τελικά:

Παράδειγμα (2) Βρείτε και σχεδιάστε την πυκνότητα φάσματος ισχύος του τυχαίου δυαδικού σήματος που μελετήθηκε σε προηγούμενο παράδειγμα. Είχαμε υπολογίσει την αυτοσυσχέτιση του σήματος: Η PSD είναι:

Παράδειγμα (3) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας στατικής υπό την ευρεία έννοια διαδικασίας είναι Rxx(τ) = Α exp(-α|τ|), Α, α>0. Βρείτε την πυκνότητα φάσματος ισχύος. Λύση:

Παράδειγμα (3) οπότε:

Παράδειγμα (4) Λύση: Έστω Β=500Hz. Η αυτοσυσχέτιση είναι: Η πυκνότητα φάσματος ισχύος μιας κανονικής (Gaussian) στοχαστικής διαδικασίας με μηδενική μέση τιμή δίδεται από: Βρείτε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και δείξτε ότι οι Τ.Μ. Χ(t) και X(t + 1ms) είναι ασυσχέτιστες και επομένως και ανεξάρτητες Λύση: Έστω Β=500Hz. Η αυτοσυσχέτιση είναι:

Παράδειγμα (4)  Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα: Τελικά: Για τ=1ms:

Παράδειγμα (5) Από προηγούμενο παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους: Το X(t) είναι ένα στατικό τυχαίο σήμα με πυκνότητα φάσματος ισχύος: Το Χ(t) πολλαπλασιάζεται με το Τ.Σ. Y(t) = A cos (2πfct + Θ), fc>>B, όπου Θ είναι Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [-π,π]. Αν Χ(t), Y(t) είναι ανεξάρτητα, βρείτε την PSD του Z(t) = X(t)Y(t). Από προηγούμενο παράδειγμα: Διαμόρφωση εύρους: Έχουμε δείξει ότι Ζ(t) είναι WSS με αυτοσυσχέτιση:

Παράδειγμα (5) Η PSD θα είναι: όπου: