Καθηγήτρια Μαθηματικών Δημητρίου Τέρψα Η ΒΕΛΟΝΑ ΤΟΥ BUFFON… ΤΑ ΜΥΡΜΗΓΚΙΑ... ΚΑΙ ΤΟ Π !!! Μαθητές του Λυκείου Λινόπετρας Ανδρέου Μαρίνα - Νικολάου Ειρήνη – Οδυσσέως Νίκος - Παλάζης Κυριάκος – Χαραλάμπους Νεκταρία – Χ’’Παναγή Στέλλα – Χριστοδούλου Χρυστάλλα Καθηγήτρια Μαθηματικών Δημητρίου Τέρψα

Το πρόβλημα της βελόνας του Buffon. Μπορεί να υπολογιστεί ο αριθμός π μέχρι κάποια δεκαδικά ψηφία χρησιμοποιώντας οδοντογλυφίδες και ένα ριγέ τραπεζομάντιλο; Με ποιο τρόπο τα μυρμήγκια μπορούν να μετρούν το εμβαδόν μικρών ρωγμών στο έδαφος, όπου θα μπορούσαν να εγκαταστήσουν τη μυρμηγκοφωλιά τους; Τα πιο πάνω ερωτήματα, αν και φαινομενικά ασύνδετα, βασίζονται στην ίδια μαθηματική αρχή: Το πρόβλημα της βελόνας του Buffon.

1.1. Η βελόνα του Βuffon Η βελόνα του Βuffon είναι από τα παλαιοτέρα προβλήματα στον τομέα της γεωμετρικής πιθανότητας. Διατυπώθηκε αρχικά το 1733 από τον Γάλλο φυσιογνώστη και μαθηματικό George-Louis Lecrerc de Buffon (1707-1788) και παρουσιάστηκε με λύση από τον ίδιο το 1777. Διατυπώθηκε αρχικά το 1733 από τον Γάλλο φυσιογνώστη και μαθηματικό George-Louis Lecrerc de Buffon (1707-1788) και παρουσιάστηκε με λύση από τον ίδιο το 1777.

Το πρόβλημα περιλαμβάνει:  την ρίψη μιας βελόνας μήκους ℓ σε μια επιφάνεια με ισοδιάστατες παράλληλες ευθείες με απόσταση d  και τον υπολογισμό της πιθανότητας η βελόνα να τέμνει μια από τις παράλληλες γραμμές.

Εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η εξίσωση: (3) Για ℓ < d, τότε (1) Αν ρίξουμε κ οδοντογλυφίδες και έχουμε λ επιτυχίες, τότε η πιθανότητα δίνεται από τον τύπο: (2) Εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η εξίσωση: (3) Αν το μήκος της βελόνας δεν είναι μεγαλύτερο από την απόσταση των παραλλήλων, η πιθανότητα της βελόνας να αγγίζει ή να τέμνει μια ευθεία ισούται με δύο φορές το μήκος της βελόνας l, δια το γινόμενο της απόστασης d επί τον αριθμό π δηλαδή : (1) Αυτό σημαίνει ότι αν ρίξουμε κ οδοντογλυφίδες μήκους l σ’ ένα ριγέ τραπεζομάντιλο όπου οι παράλληλες ευθείες ισαπέχουν μεταξύ τους απόσταση d (με l £d) και διαπιστώσουμε ότι λ οδοντογλυφίδες τέμνονται με τις παράλληλες γραμμές του τραπεζομάντιλου τότε η πιθανότητα μία οδοντογλυφίδα να τέμνει κάποια παράλληλη, σύμφωνα με τον κλασσικό ορισμό πιθανότητας είναι : (2) . Εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η εξίσωση: (3) Πολλοί ερευνητές-Μαθηματικοί προσπάθησαν να εκμεταλλευτούν το παραπάνω αποτέλεσμα για να προσδιορίσουν (πειραματικά βέβαια) την τιμή του αριθμού π. Αν θέλετε εκτελέστε το πιο κάτω πείραμα: πετάξτε πολλές οδοντογλυφίδες (μερικές χιλιάδες τουλάχιστον) σε μία οριζόντια επιφάνεια από ισαπέχουσες παράλληλες (π.χ ένα ριγέ τραπεζομάντιλο ή ένα πάτωμα με παράλληλες γραμμές ) ώστε d¡Â§¤ όπως παραπάνω. Αν μετρήσετε τον αριθμό των τομών με τις παράλληλες μπορείτε να προσδιορίσετε μία προσέγγιση του π μέχρι κάποια δεκαδικά ψηφία με χρήση του τύπου (3).

Προσπάθειες μαθηματικών για υπολογισμό του π Ερευνητής Μήκος Βελόνας Ρίψεις Επιτυχίες Τιμή του π Wolf (1856) 0,8 5000 2,532 3,15955 De Morgan 1 600 382 3,14136 Smith (1855) 0,6 3204 1218 3,15665 Fox 0,75 1030 489 3,1494 Lazzarini (1901) 0,83 3408 1808 3,12902 Reina 0,5419 2520 859 3,17947 Gridgeman 0,7857 2 3,1428 Πολλοί ερευνητές-Μαθηματικοί προσπάθησαν να εκμεταλλευτούν το παραπάνω αποτέλεσμα της εξίσωσης 3 για να προσδιορίσουν (πειραματικά βέβαια) την τιμή του αριθμού π.

Απόσταση μεταξύ ευθειών = ℓ 1.2. Η απλούστερη περίπτωση ℓ =1, d=1 Μεταβλητές: 1) Γωνία θ (0 ≤ θ ≤ π) 2) Απόσταση D του μέσου της βελόνας από την πιο κοντινή γραμμή, με ▪ Η βελόνα θα τέμνει τη γραμμή αν Απόσταση μεταξύ ευθειών = ℓ Απόσταση στην κοντινότερη ευθεία (D) ½ ημθ Μήκος βελόνας = 1 Ας πάρουμε την πιο απλή περίπτωση πρώτα, όπου: l =1, d=1 Το πιο κάτω γράφημα απεικονίζει αυτήν την κατάσταση. Υπάρχουν δύο μεταβλητές: 1) η γωνία θ με την οποία η βελόνα πέφτει, με 0 è=π 2)και η απόσταση D του μέσου της βελόνας από την πιο κοντινή γραμμή , με Είναι φανερό ότι η βελόνα θα τέμνει τη γραμμή αν η προβολή της μισής βελόνας στη κάθετη προς τις παράλληλες ευθείες είναι μεγαλύτερη από την απόσταση D δηλαδή:

Ποια η πιθανότητα να κτυπήσει τη γραμμή; Η πιθανότητα μιας επιτυχίας ισούται με τον λόγο Εσκιασμένο / Εορθογωνίου Απόσταση κέντρου βελόνας - κοντινότερης ευθείας f(x) = ½ ημθ Πιθανές τιμές του θ Ποια η πιθανότητα να κτυπήσει τη γραμμή; Η πιθανότητα μιας επιτυχίας, όταν δηλαδή ισούται με τον λόγο του εμβαδού της σκιασμένης περιοχής προς το εμβαδόν του ορθογωνίου. Ποιες είναι αυτές οι τιμές; Έστω P(θ) : η πιθανότητα να κτυπήσει η βελόνα τις γραμμές

1.3. Οι άλλες περιπτώσεις Για ℓ ≤ d όπου συνφ0 = d/ℓ Για ℓ ≥ d

Πέντε ανεξάρτητες σειρές ρίψεων μιας βελόνας με ℓ = d/3. Εκτιμητής για το π: με διακύμανση r = ℓ /d, n: αριθμός ρίψεων, Ν: αριθμός τεμνόμενων γραμμών. Διάφορες προσπάθειες έχουν γίνει για να καθοριστεί πειραματικά το π με ρίψη βελόνας. Το π υπολογισμένο από πέντε ανεξάρτητες σειρές ρίψεων μιας βελόνας απεικονίζεται πιο πάνω για ένα εκατομμύριο ρίψεις, σε κάθε δοκιμή το l = d/3. Ένας ασυμπτωτικά αμερόληπτος εκτιμητής για το π από το πείραμα με τις ρίψεις της βελόνας είναι με διακύμανση r = §¤ /d, n: είναι ο αριθμός ρίψεων, Ν: είναι ο αριθμός τεμνόμενων γραμμών.

2.1 Η προσομοίωση του πιο πάνω προβλήματος με Η.Υ. http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/m262/buffon/buffon.html

3.1. Τα μυρμήγκια που ξέρουν το θεώρημα του Buffon !!! Nigel Franks Βιολόγος Eamonn Mallon Βιολόγος Leptothorax Albipennis

1η Επίσκεψη 2η Επίσκεψη Κοινά σημεία Φερομόνη

Εκτιμώμενο εμβαδόν οποιασδήποτε επίπεδης επιφάνειας Όπου Μ, Ν : συνολικά μήκη των δύο τεθλασμένων γραμμών Κ : αριθμός κοινών σημείων διαδρομών

3.2. Μαθηματικά και ζωή Τα μαθηματικά είναι πιο ενδιαφέροντα και δραματικά από ότι συνήθως οι περισσότεροι άνθρωποι νομίζουν. Βρίσκονται πλησιέστερα στην ζωντάνια και ενεργητικότητα της ίδιας της φύσης, αποτελώντας αναπόσπαστο κομμάτι της, παρά σε μία αποστεωμένη αυστηρότητα με την οποία συχνά συγχέονται. Η Φύση έχει ένα μοναδικό και ανεξήγητο τρόπο να χρησιμοποιεί Μαθηματικά.

3.3. Η Φύση στη διδακτική των Μαθηματικών Η φύση με την ομορφιά και την ζωντάνια της θα μπορούσε να δώσει πολλά παραδείγματα για τη διδασκαλία πολλών μαθηματικών εννοιών, με τρόπο ιδιαίτερα ελκυστικό. Στην Μαργαρίτα Μπέλα (Bellis perenis), υπάρχουν 21 έλικες προς την μία κατεύθυνση και 34 προς την άλλη. Στα κουκουνάρια υπάρχουν 8 έλικεςπρος την μία κατεύθυνση και 13 προς την άλλη.

Ηλιοτρόπιο Κυψέλες Τυχαίο Λουλούδι Μπρόκολο Romanesque

«Όλα τα αποτελέσματα στη φύση δεν είναι παρά οι μαθηματικές συνέπειες λίγων αναλλοίωτων νόμων» P.S. Laplace «Ο Θεός Γεωμετρεί» για άλλη μια φορά μπροστά στα έκπληκτα μάτια του ανθρώπου, που το πολύ που μπορεί να κάνει είναι να ανακαλύψει αυτές τις κρυμμένες αρμονίες του Σύμπαντος.

Τελικά, μάλλον τα φυτά ξέρουν καλά μαθηματικά και όπως φαίνεται η Φύση ολόκληρη υπακούει σε μαθηματικές αρμονίες…

ΤΕΛΟΣ «Χωρίς μουσική, η ζωή θα ήταν λάθος» έγραφε ο Νίτσε Χωρίς Μαθηματικά; «Δεν θα είχαμε νιώσει την ηδονή της ανακάλυψης του πολυδιάστατου και πανέμορφου κόσμου που μας περιβάλλει» Αθανάσιος Φωκάς Ελευθεροτυπία Αθηνών ΤΕΛΟΣ

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ... ΛΕΜΕΣΟΣ 2005