Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

Περιγραφή της Κυκλικής Κίνησης ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ομαλή Κυκλική Κίνηση Περιγραφή της Κυκλικής Κίνησης Παράμετροι Κυκλικής κίνησης Ανώμαλη Κυκλική Κίνηση

Τι σημαίνει Ομαλή Κυκλική Κίνηση Είναι κίνηση σε κυκλική τροχιά: 𝝊 𝟏 = 𝝊 𝟐 = 𝝊 𝟑 =𝝊 𝝊 𝟐 𝝊 𝟏 𝝊 𝟑 Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι σταθερό. Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. 𝒓 𝟏 𝒓 𝟐 𝒓 𝟑 𝒓 𝟏 = 𝒓 𝟐 = 𝒓 𝟑 =𝒓

Πως περιγράφεται η Κυκλική Κίνηση Απαιτείται ένα Σύστημα Συντεταγμένων 1. Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων x y Προσδιορισμός θέσης: (x, y) x y 𝝊 υy 𝐲−𝚺𝛖𝛎𝛊𝛔𝛕𝛚𝛔𝛂: 𝝊 𝒚 =𝝊 sin 𝝋 υx 𝒙−𝚺𝛖𝛎𝛊𝛔𝛕𝛚𝛔𝛂: 𝝊 𝒙 =𝝊 cos 𝝋 𝒓 𝜽 𝚫𝛊𝛂𝛎𝛖𝛔𝛍𝛂 𝛉𝛆𝛔𝛈𝛓: 𝒓 =𝒙 𝒊 +𝒚 𝒋 Προσδιορισμός ταχύτητας: (υx, υy) 𝝋 𝚳𝛆𝛕𝛒𝛐 𝛕𝛐𝛖 𝒓 : 𝒓= 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒙−𝚺𝛖𝛎𝛊𝛔𝛕𝛚𝛔𝛂: 𝒙=𝒓 cos 𝜽 𝐲−𝚺𝛖𝛎𝛊𝛔𝛕𝛚𝛔𝛂: 𝒚=𝒓 sin 𝜽 𝚫𝛊𝛂𝛎𝛖𝛔𝛍𝛂 𝛕𝛂𝛘𝛖𝛕𝛈𝛕𝛂𝛓: 𝝊 = 𝝊 𝒙 𝒊 + 𝝊 𝒚 𝒋 𝚳𝛆𝛕𝛒𝛐 𝛕𝛈𝛓 𝝊 : 𝝊= 𝝊 𝒙 𝟐 + 𝝊 𝒚 𝟐

Πως περιγράφεται η Κυκλική Κίνηση Απαιτείται ένα Σύστημα Συντεταγμένων 2. ….. Ή ένα Σύστημα Συντεταγμένων (r, t, z) – Πολικό Σύστημα Όπου: 1. Η αρχή Ο των αξόνων ταυτίζεται με τη θέση του σώματος που περιστρέφεται. Ο z 4. Ο z-άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς. 𝒛 t 3. Ο t-άξονας (εφαπτομενικός) είναι εφαπτόμενος στην κυκλική τροχιά και δείχνει στην ccw διεύθυνση. 𝒕 2. Ο r-άξονας (ακτινικός)έχει διεύθυνση και φορά από το σωματίδιο προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. r 𝒓 𝝊

Καρτεσιανό Σύστημα ΕΝΑΝΤΙΟΝ Πολικού Συστήματος r 𝒓 𝝊 t 𝒕 𝝊 x y 𝒓 𝜽 𝝋 υy υx Το διάνυσμα θέσης 𝒓 μεταβάλλεται με το χρόνο διατηρώντας το μέτρο του σταθερό Το διάνυσμα 𝒓 δεν μεταβάλλεται με το χρόνο. Παραμένει πάντα παράλληλο και ομόρροπο με το 𝒓 Το διάνυσμα 𝝊 της ταχύτητας μεταβάλλεται με το χρόνο Το διάνυσμα 𝝊 της ταχύτητας δεν μεταβάλλεται με το χρόνο. Παραμένει πάντα παράλληλο με το 𝒕 Οι γωνίες θ και φ μεταβάλλονται με το χρόνο . Το πιο βολικό Σύστημα για τη μελέτη της κυκλικής κίνησης είναι το Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων

Το Σύστημα Συντεταγμένων (r, t, z) z t Ο r 𝒌 𝒕 𝒓 Παράμετροι Κυκλικής Κίνησης Περίοδος Κυκλικής Κίνησης: Τ Είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο το κινητό διανύει μια πλήρη περιστροφή. Συχνότητα Κυκλικής Κίνησης: 𝒇= 𝟏 𝑻 Είναι ο αριθμός των περιστροφών που διανύει το κινητό σε ένα δευτερόλεπτο (1 s). Γωνία σε ακτίνια: (rad) Γωνιακή Ταχύτητα: ω Κεντρομόλος Επιτάχυνση: αr Γωνιακή Επιτάχυνση: αω Επιτρόχιος Επιτάχυνση: αt

Παράμετροι Κυκλικής Κίνησης Γωνιακή Ταχύτητα στην Κυκλική Κίνηση Γωνία σε Ακτίνια (rad) Γωνιακή Ταχύτητα: 𝝎= 𝒅𝜽 𝒅𝒕 Έχει μέτρο: 𝝎 Είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς με φορά τη φορά του δεξιόστροφου κοχλία t+dt r θ r t Δs ccw cw dθ r r t+dt 𝜽 𝐫𝐚𝐝 = 𝚫𝐬 𝒓 𝟏 𝐫𝐚𝐝 𝐬 Έχει μονάδα το:

Επιτρόχια ή Εφαπτομενική Ταχύτητα Παράμετροι Κυκλικής Κίνησης Επιτρόχια ή Εφαπτομενική Ταχύτητα στην Κυκλική Κίνηση ccw Σημείο Αναφοράς: Το κέντρο της κυκλικής τροχιάς Πάνω στον άξονα της κυκλικής τροχιάς ccw 𝝊 𝝎 𝝎 t+dt ds 𝝊 φ 𝒓 𝒓 𝒐 r t dθ 𝒅𝜽= 𝒅𝒔 𝒓 𝝊= 𝒓 𝟎 𝝎 𝒅𝒔=𝒓 𝒅𝜽 𝜐= 𝑟 sin 𝜑 𝜔 𝒅𝒔 𝒅𝒕 =𝒓 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ⇒ 𝝊=𝒓𝝎 𝜐= 𝜔 𝑟 sin 𝜃 𝝊 = 𝝎 × 𝒓

Παράμετροι Κυκλικής Κίνησης Κεντρομόλος Επιτάχυνση στην Κυκλική Κίνηση θ 𝝊 +𝒅 𝝊 𝝊 𝚷𝛂𝛒𝛂𝛌𝛌𝛈𝛌𝛈 𝛍𝛆𝛕𝛂𝛕𝛐𝛑𝛊𝛔𝛈 𝛕𝛚𝛎 𝝊 𝛋𝛂𝛊 𝝊 +𝒅 𝝊 𝝊 +𝒅 𝝊 𝒅 𝝊 𝚪𝛊𝛂 𝛕𝛐𝛎 𝛑𝛒𝛐𝛔𝛅𝛊𝛐𝛒𝛊𝛔𝛍𝛐 𝛕𝛐𝛖 𝒅 𝝊 𝝊 θ 𝒓 +𝒅 𝒓 Τα τρίγωνα ακτίνων και ταχυτήτων είναι όμοια (γιατί;) 𝒅 𝒓 𝒓 𝒅 𝝊 𝒅 𝒓 = 𝝊 𝒓 ⇒ 𝒅𝝊 𝒅𝒓 = 𝝊 𝒓 ⇒ αr υ 𝝊 𝜶 𝒓 𝒅𝝊 𝒅𝒕 = 𝝊 𝒓 𝒅𝒓 𝒅𝒕 𝒅𝝊= 𝝊 𝒓 𝒅𝒓 ⇒ 𝒂 𝒓 = 𝝊 𝟐 𝒓 𝜶 𝒓 = 𝝊 𝒓 𝝊 (ισχύει: υ = ω r) Κεντρομόλος Επιτάχυνση: 𝒂 𝒓 =𝝎𝝊 𝒂 𝒓 = 𝝎 𝟐 𝒓

Ανώμαλη Κυκλική Κίνηση Το μέτρο της ταχύτητας υ δεν είναι σταθερό ccw 𝝊 𝒓 φ 𝝎 𝒂 𝝎 𝒂 𝒕 Πρέπει να υπάρχει επιτρόχια επιτάχυνση: 𝒂 𝒓 Υπάρχει η κεντρομόλος επιτάχυνση: Συνολική επιτάχυνση: 𝒂 = 𝒂 𝒕 + 𝒂 𝒓 𝒂 Αποδείξαμε ότι: 𝝊 = 𝝎 × 𝒓 𝒂 = 𝒅 𝝊 𝒅𝒕 = Γωνιακή επιτάχυνση: 𝜶 𝝎 = 𝒅 𝝎 𝒅𝒕 Μονάδα Γωνιακής επιτάχυνσης: 1rad/s2 𝒅 𝝎 × 𝒓 𝒅𝒕 = 𝒅 𝝎 𝒅𝒕 × 𝒓 + 𝝎 × 𝒅 𝒓 𝒅𝒕 Ταχύτητα: 𝝊 = 𝒅 𝒓 𝒅𝒕 𝒂 = 𝜶 𝝎 × 𝒓 + 𝝎 × 𝝊

Κεντρομόλος επιτάχυνση Ανώμαλη Κυκλική Κίνηση Αποδείξαμε: 𝒂 = 𝜶 𝝎 × 𝒓 + 𝝎 × 𝝊 𝒂 = 𝜶 𝒕 + 𝒂 𝒓 Επιτρόχια επιτάχυνση 𝒂 𝒕 Κεντρομόλος επιτάχυνση 𝒂 𝒓 ccw 𝝎 𝜶 𝝎 𝝊 𝜶 𝒕 𝒓 ccw 𝝎 𝜶 𝝎 𝝊 𝜶 𝒕 𝒓 Eιδική περίπτωση: Σημείο αναφοράς στο κέντρο της κυκλικής τροχιάς 𝜶 𝝎 ⊥ 𝒓 𝝎 ⊥ 𝝊 και Επιτρόχιος Επιτάχυνση: 𝒂 𝒕 = 𝜶 𝝎 × 𝒓 ⇒ cw 𝝎 𝜶 𝝎 𝜶 𝒕 𝝊 𝒓 𝒂 𝒕 = 𝒂 𝝎 𝒓 Κεντρομόλος Επιτάχυνση: 𝒂 𝒓 = 𝝎 × 𝝊 cw 𝝎 𝜶 𝝎 𝝊 𝜶 𝒕 𝒓 𝒂 𝒓 =𝝎𝝊 𝒂 𝒓 = 𝝊 𝟐 𝒓 𝒂 𝒓 = 𝝎 𝟐 𝒓

Αντιστοίχιση Φυσικών Μεγεθών & Εξισώσεων Μεταφορική Κίνηση Κυκλική Κίνηση Διάστημα: x ή y ή z ή s Γωνία: θ Ταχύτητα: υ Γωνιακή Ταχύτητα: ω Επιτάχυνση: α Γωνιακή Επιτάχυνση: αω Μάζα: m Ροπή Αδράνειας: Ι Δύναμη: F = ma Ροπή : τ = Iαω Ορμή: p = mυ Στροφορμή : L = Iω Κινητική Ενέργεια: 𝑲= 𝟏 𝟐 𝒎 𝝊 𝟐 𝑲 𝝎 = 𝟏 𝟐 𝑰 𝝎 𝟐 Εξισώσεις Κίνησης: 𝝊= 𝝊 𝟎 +𝜶𝒕 𝝎= 𝝎 𝟎 + 𝒂 𝝎 𝒕 x= 𝒙 𝟎 + 𝝊 𝟎 𝒕+ 𝟏 𝟐 𝜶 𝒕 𝟐 𝜽= 𝜽 𝟎 + 𝝎 𝟎 𝒕+ 𝟏 𝟐 𝜶 𝝎 𝒕 𝟐 𝝊 𝟐 =𝝊 𝟎 𝟐 +𝟐𝜶(𝚫𝒙) 𝝎 𝟐 = 𝝎 𝟎 𝟐 +𝟐 𝜶 𝝎 (𝜟𝜽)