F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0 συνθήκες σε μια συνήθη δ.ε. F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0 Πρόβλημα Αρχικών Τιμών οι συνθήκες δίνονται μόνο σε ένα σημείο x=x0 του θεμελιώδους πεδίου Ω της ΣΔΕ Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών οι συνθήκες δίνονται σε διαφορετικά σημεία του θεμελιώδους πεδίου Ω της ΣΔΕ 1

Άσκηση1. : Δίνεται η δ.ε. y΄ = 2x 1. Να βρεθεί η γενική λύση της δ.ε. 2. Να γίνει η γραφική παράσταση της γ. λύσης 3. Να προσδιοριστεί μια λύση της δ.ε. τέτοια ώστε για x=2, y=-3 Λύση: 2

Λύση: μονοπαραμετρικη οικογένεια καμπύλων στο επίπεδο y=x2 y=x2+10 y=x2+100 B(0,100) Ο(0,0) Α(0,10) y=x2-50 Δ(0,-10) y=x2-10 y=x2-500 Ε(0,-500) Γ(0,-50) y=x2+500 Η(0,1000) y=x2+1000 Θ(0,-500) Λύση: μονοπαραμετρικη οικογένεια καμπύλων στο επίπεδο 3

3. Πρόβλημα αρχικών τιμών ή Πρόβλημα Cauchy: Να βρεθεί μια λύση της y΄ = 2x που να ικανοποιεί τις συνθήκες: x=2, y=-3 ισοδύναμα: Να βρεθεί ποια καμπύλη διέρχεται από το σημείο Α(2,-3) σημείο Α(2,-3) 4

η συνάρτηση y=x2-7 αποτελεί μια μερική λύση της δ.ε. y΄= 2x Απάντηση: Στην γενική λύση της δ.ε. δίνουμε τις τιμές x=2 και y=-3 και προσδιορίζουμε την τιμή του σταθερού όρου, δηλαδή, -3 = 22 + c  c = -7 Τελικά, μερική λύση της δ.ε. είναι: y = x2-7 Β(0,-7) Α(2,-3) η συνάρτηση y=x2-7 αποτελεί μια μερική λύση της δ.ε. y΄= 2x 5

F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0 Ταξινόμηση των Σ.Δ.Ε. ανάλογα με τις μεθόδους και τις διαδικασίες επίλυσής των. συνήθεις δ.ε. F(x,y(x),y΄(x), y΄΄(x), y΄΄΄(x), …, y(n)(x)) = 0 μη-γραμμικές γραμμικές με σταθερούς συντελεστές με μεταβλητούς συντελεστές 6

Ορισμός: μια δ.ε. n-τάξης, λέγεται γραμμική αν έχει την μορφή: όπου αi(x),,i=0,…,n είναι συναρτήσεις μόνο του x, και b(x) είναι επίσης μία συνάρτηση μόνο του x, δηλαδή, αποτελεί ένα γραμμικό συνδυασμό της άγνωστης συνάρτησης y=y(x) και των παραγώγων της (με συντελεστές συναρτήσεις μόνο του x). F(x,y(x),y΄(x),y΄΄(x),y΄΄΄(x),…,y(n)(x)) = 0  an(x)y(n)(x)+an-1(x)y(n-1)(x)++a1(x)y(1)(x)+a0(x)y(x) = b(x) 7

Παραδείγματα γραμμικών ΣΔΕ x3y(4)(x) = - e4xy΄(x)+ 4x2   x3y(4)(x) + 0y(3)(x)+0y(2)(x)+e4xy(1)(x)+0y(x) = 4x2 είναι γραμμική 4ης τάξης e2xy(2)(x) = -x2 [y΄(x)]2   e2xy(2)(x) + x2 [y΄(x)]2 = 0 Δεν είναι γραμμική ([y΄(x)]2 ) y(x)y΄(x)=x2y΄΄(x)+exy΄΄΄(x)+sinx   exy΄΄΄(x)+x2y΄΄(x)-y(x)y΄(x) = -sinx Δεν είναι γραμμική (y(x)y΄(x)) 8

Ορισμός: μια δ.ε λέγεται μη-γραμμική αν δεν είναι γραμμική, δηλαδή δεν έχει την προηγούμενη μορφή. παραδείγματα y+5y΄+ 6y2 = 0 το y είναι 2ου βαθμού y+ 5y+ 8(y)2 = 0 η πρώτη παράγωγος της y είναι 2ου βαθμού y+ 5yy +8y = 0 εμφανίζεται το γινόμενο y με την y΄ y΄΄΄ - 5y= ey εμφανίζεται η y στην μορφή ey y΄΄ + συνy = 0 εμφανίζεται η y στην μορφή συνy

Ορισμοί Μια γραμμική συνήθης δ.ε. λέγεται με σταθερούς συντελεστές αν η y=y(x) και οι παράγωγοί της έχουν σταθε-ρούς συντελεστές παράδειγμα: y΄΄+ 5y΄+ 6y = 0  Μια γραμμική συνήθης δ.ε. λέγεται με μεταβλητούς συντελεστές αν οι συντελεστές της y=y(x) και των παραγώγων της είναι πολυώνυμα παράδειγμα: y΄΄΄΄+ x2y΄΄΄+ x3y΄ = xe4x

Ομογενείς (*) Ο γραμμικός συνδυασμός των λύσεων είναι επίσης λύση συνήθεις δ.ε. γραμμικές Ομογενείς (*) Ο γραμμικός συνδυασμός των λύσεων είναι επίσης λύση Μη-ομογενείς Δεν ισχύει η ιδιότητα (*) 11

Μια γραμμική συνήθης δ.ε. λέγεται ομογενής αν b(x)=0 Ορισμοί Μια γραμμική συνήθης δ.ε. λέγεται ομογενής αν b(x)=0 an(x)y(n)(x)+an-1(x)y(n-1)(x)+ +a1(x)y(1)(x)+a0(x)y(x) = 0  Μια γραμμική συνήθης δ.ε. λέγεται μη-ομογενής αν b(x)0  διαφέρουν μόνο στο δεξί μέρος ενώ το αριστερό (κύριο μέρος της ΣΔΕ) είναι το ίδιο 12

Σχέση των λύσεων της ομογενούς και της αντίστοιχης μη-ομογενούς σ.δ.ε. Σχέση των λύσεων της ομογενούς και της αντίστοιχης μη-ομογενούς σ.δ.ε. Η γενική λύση της μη-ομογενούς y(x) Ισούται με την γενική λύση της ομογενούς yΓΕΝ. ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ(x) + μια ειδική λύση της μη-ομογενούς YΕΙΔΙΚΗ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ(x) y(x) = yΓΕΝ.ΟΜΟΟΓΕΝΟΥΣ(x) + yΕΙΔΙΚΗ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ(x) 13

y΄΄-y = x, με y(0)=0 και y΄(0)=0. Άσκηση 2. Να βρεθεί η γενική λύση της ομογενούς δ.ε. y΄΄-y = 0. ii) Να λυθεί το πρόβλημα των αρχικών τιμών (π.α.τ) της μη-ομογενούς σ.δ.ε. y΄΄-y = x, με y(0)=0 και y΄(0)=0. Λύση: Ξέρουμε ότι «ο γραμμικός συνδυασμός των λύσεων είναι επίσης λύση». Επειδή y΄΄-y = 0  y΄΄=y, αναζητούμε μια λύση y=y(x) τέτοια ώστε «η δεύτερη παράγωγος είναι η ίδια η y=y(x), δηλ. y΄΄=y». Τέτοιες συναρτήσεις είναι : y1=y1(x)=ex και y2=y2(x)=e-x 14

y = yΓΕΝΙΚΗ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ + yΕΙΔΙΚΗ ΜΗ-ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Πράγματι, Άρα, η Γενική Λύση της ομογενούς είναι ο γραμμικός συνδυασμός των δύο προηγούμενων λύσεων, δηλαδή, y=y(x) = c1ex+c2e-x, c1,c2R (Ι). ii) Για να απαντήσουμε στο δεύτερο ερώτημα, θα αναζητήσουμε πρώτα την γενική λύση της μη-ομογενούς, δηλαδή της y΄΄-y=x. Ξέρουμε ότι y = yΓΕΝΙΚΗ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ + yΕΙΔΙΚΗ ΜΗ-ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ 15

Υποθέτουμε ότι αυτή έχει την μορφή τότε Επειδή στο ερώτημα (i) προσδιορίσαμε ήδη την γενική λύση (Ι) της ομογενούς, έπεται ότι θα αναζητήσουμε στη συνέχεια μια μερική λύση της μη-ομογενούς y΄΄-y=x . Υποθέτουμε ότι αυτή έχει την μορφή yΕΙΔΙΚΗ ΜΗ-ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ = ax+b τότε Επειδή η yΕΙΔΙΚΗ ΜΗ-ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ = ax+b επαληθεύει την y΄΄-y=x, έχουμε δηλαδή, yΕΙΔΙΚΗ ΜΗ-ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ = ax+b = -x 16

γενική λύση μη-ομογενούς Επαλήθευση, την επαληθεύει! Τελικά, y = c1ex + c2e-x-x, c1,c2R γενική λύση μη-ομογενούς Αρχικές συνθήκες : Από (1),(2) έπεται ότι : c1=1/2 και c2=-1/2 και τελικά η ζητούμενη λύση του π.α.τ. είναι : 17

τέλος της γενικής θεώρησης 18

συστηματική μελέτη των σ.δ.ε. 1ης τάξης 2ης ή ανώτερης τάξης 19

1ης τάξης συνήθεις δ.ε. F(x,y(x),y΄(x))=0 (1)  Λυμένη μορφή της (1): y΄(x) = f(x,y), (1*)  Διαφορική μορφή της (1): P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, (1**) Οι μορφές (1*) και (1**) είναι ισοδύναμες (1*)(1**): y΄(x) = f(x,y) y΄(x)dx = f(x,y)dx  dy= f(x,y)dx  f(x,y)dx-dy=0  P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, όπου P(x,y)=f(x,y) και Q(x,y)=-1 20

συνήθεις δ.ε. 1ης τάξης (1**)(1*) : P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0  21

 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις 1ης τάξης 1. Χωριζόμενων μεταβλητών 2. Ομογενείς ως προς τις μεταβλητές τους 3. Ακριβείς ή Τέλειου Διαφορικού 4. Μη-ακριβείς δ.ε. 5. Γραμμικές σ.δ.ε. 1ης τάξης που μετατρέπονται σε γνωστές μορφές 6. Bernoulli 7. Ricatti 22

1. χωριζόμενων μεταβλητών 1. χωριζόμενων μεταβλητών  1.1 y΄= f(x) (λυμένη μορφή)  1.2 y΄= f(y) (λυμένη μορφή) 1.3 y΄= F(x,y), όπουF(x,y)=F1(x)F2(y) (λυμένη μορφή) 1.4 F1(x)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy = 0 (διαφορική μορφή)

διάλειμμα - interval 24

Η πιο απλή δ.ε. έχει την μορφή y΄=f(x) (1.1) (ψ(x))΄= f(x) ή F(x,ψ(x),ψ΄(x))=0 Η γενική λύση της δ.ε. λέγεται και ολοκλήρωμα Τρόπος υπολογισμού:  Χωρίζουμε τις μεταβλητές  Ολοκληρώνουμε  Προκύπτει η γενική λύση της δ.ε.

τρόπος υπολογισμού: Γενική λύση

Άσκηση 3. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y΄(x)-3x2-x=0. Λύση : προφανώς αναζητούμε την γενική λύση της δ.ε. η οποία ισοδύναμα γράφεται χωριζόμενων μεταβλητών γενική λύση της δ.ε. 27

Άσκηση 4. Το Παράδειγμα αναφοράς είναι της μορφής 1.1 S΄=S(h) δηλαδή,

οι μεταβλητές χωρίζονται 1.2 y΄=f(y) οι μεταβλητές χωρίζονται

Άσκηση 5.: Να υπολογιστεί η δ.ε. y΄=y2 Λύση: Προϋπόθεση: y=y(x)0 την περίπτωση y=y(x)=0 θα την εξετάσουμε ως ιδιάζουσα λύση! Γενική λύση της δ.ε. με την μορφή x=g(y) Γενική λύση της δ.ε. με την μορφή y=f(x,c) 30

Εξετάζουμε στην συνέχεια αν η y=y(x)=0 επαληθεύει την δ. ε Εξετάζουμε στην συνέχεια αν η y=y(x)=0 επαληθεύει την δ.ε. Πράγματι, 0΄=02=0 και επειδή η y=y(x)=0 δεν προκύπτει από την γενική λύση της δ.ε., έπεται ότι αποτελεί μια ιδιάζουσα λύση της δ.ε. Τελικά, η Πλήρης λύση της δ.ε. είναι το σύνολο: 31

οι μεταβλητές χωρίζονται 1.3 y΄=F(x,y)=F1(x)F2(y) οι μεταβλητές χωρίζονται Έχουμε, Τότε, G2(y)=G1(x)+c1-c2, όπου c1,c2R Τελικά, G2(y)=G1(x)+c, όπου cR γενική λύση

οι μεταβλητές χωρίζονται 1.4 F1(x)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 οι μεταβλητές χωρίζονται Αν, F2(x)Φ1(y)0, τότε Τότε, P(x)dx + Q(y)dy = 0, όπου είναι χωριζόμενων μεταβλητών !

επίλυση : γενική λύση της δ.ε.

Άσκηση 6.:Να λυθεί η δ.ε. x2(y+1)+y2(x-1)y΄=0 Λύση : η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται τότε, x2(y+1)dx+y2(x-1)dy = 0 (I), δηλαδή Δεν είναι Ομογενής ως προς τις μεταβλητές της!!! F1(x)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 Υποθέτουμε ότι, (x-1)(y+1)0, δηλαδή, x-10 και y+10 ισοδύναμα, x1 και y-1 την περίπτωση y=y(x)=-1 θα την εξετάσουμε ως ιδιάζουσα λύση! διαιρούμε και τα δυο μέλη της (Ι) με το (x-1)(y+1)

διαίρεση πολυωνύμων x2 : (x-1) = x+1+(1/x-1) άρα,

διαίρεση πολυωνύμων x2 : (x-1) Άρα, 37

γενική λύση της δ.ε. όταν x1 και y-1 διαίρεση πολυωνύμων y2: (y+1) = y-1+(1/y+1) άρα, Επομένως, γενική λύση της δ.ε. όταν x1 και y-1

Εξετάζουμε στην συνέχεια αν η y=y(x)=-1 επαληθεύει την δ. ε Εξετάζουμε στην συνέχεια αν η y=y(x)=-1 επαληθεύει την δ.ε. Πράγματι, x2(-1+1)+(-1)2(x-1)(-1)΄=00+0=0 την επαληθεύει και επειδή η y=y(x)=-1 δεν προκύπτει από την γενική λύση της δ.ε., έπεται ότι αποτελεί μια ιδιάζουσα λύση της δ.ε. 39

(1+ex)ydy = exdx  exdx-(1+ex)ydy = 0 Άσκηση 7: Να λυθεί το πρόβλημα των αρχικών τιμών (1+ex)yy΄= ex και y(0)=1. Λύση: (1+ex)ydy = exdx  exdx-(1+ex)ydy = 0 Δεν είναι Ομογενής ως προς τις μεταβλητές της! είναι της μορφής F1(x)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 όπου F1(χ)= ex, Φ1(y)=1, F2(x)= -(1+ex), Φ2(y)=y Έχουμε ότι, 1+ex0. Πράγματι, ex>0  1+ex>0. Επομένως,

y2 = 2ln(ex+1) + c, cR γενική λύση της δ.ε. ισοδύναμα

από την γενική λύση της δ.ε.: y2 = 2ln(ex+1) + c, cR έχουμε: Αρχικές συνθήκες: y(x=0) = 1. Επομένως, 12 = 2ln(e0+1)+c  1 = 2ln2+c, cR Άρα, c = 1-2ln2 = 1-2 0,69325 = -0,4 Μερική λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y2 = 2ln(ex+1)+1-2ln2, δηλαδή

από τις αρχικές συνθήκες έχουμε: (i) x=0, y1=1 άρα, η λύση είναι δεκτή (ii) x=0, y2=1 άρα, η λύση απορρίπτεται Τελικά,

διάλειμμα - interval 44