(χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης) που μετατρέπονται διαφορικές εξισώσεις σε γνωστές μορφές (χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης) Riccati Bernoulli
Bernoulli διαφορική εξίσωση n=0 0n1 n=1 γραμμική αντικατάσταση 1ης τάξης n=1 αντικατάσταση z(x) = y1-n χωριζόμενων μεταβλητών
για n = 0 γραμμική 1ης τάξης γενική λύση
χωριζόμενων μεταβλητών για n = 1 χωριζόμενων μεταβλητών γενική λύση
y-n (1-n)-1 z΄(x) + P(x) z(x) = Q(x) θέτουμε: z(x) = y1-n τότε z΄(x) = (1-n)y1-n-1 y΄ y-n y΄ = (1-n)-1 z΄(x) η εξίσωση (Ι) γίνεται γραμμική 1ης τάξης (1-n)-1 z΄(x) + P(x) z(x) = Q(x) z΄(x) + (1-n) P(x) z(x) = (1-n) Q(x) (II) διότι έχει την μορφή: όπου R(x) = (1-n) P(x) και W(x) = (1-n)Q(x)
Κατά συνέπεια η γενική λύση της δ.ε. είναι: z(x) = y1-n έχουμε Από την σχέση γενική λύση
Άσκηση: Να λυθεί η δ.ε. xy΄ + y = y2lnx, x>0 διότι έχει την μορφή dy/dx + P(x)y = Q(x)yn όπου P(x)=x-1, Q(x)=lnx/x και n=2 είναι δ.ε. Bernoulli y-2 y-2 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της (Ι) με y-2
dz/dx+R(x)z=W(x), R(x)=-x-1 και W(x)=-lnxx-1 Θέτουμε: z(x) = y1-2 z(x) = y-1 Παραγωγίζουμε: z΄(x) = -y-2 y΄ Δηλαδή, y-2(dy/dx) = -(dz/dx) η εξίσωση (ΙΙ) γίνεται Γραμμική 1ης τάξης dz/dx+R(x)z=W(x), R(x)=-x-1 και W(x)=-lnxx-1 γενική λύση (ΙΙΙ)
ολοκλήρωση κατά παράγοντες όπου
άρα και επομένως η (ΙΙΙ) γίνεται:
και επομένως y = lnx + xc3 + 1 = y-1 Επομένως η γενική λύση της δ.ε. γίνεται : z(x) = y-1 δηλαδή, lnx + xc3 + 1 = y-1 και επομένως y = γενική λύση
Άσκηση: Να λυθεί η δ.ε. διότι έχει την μορφή dy/dx + P(x)y = Q(x)yn Λύση: διαιρούμε με x (x0, διότι στην περίπτωση που x=0 δεν έχουμε δ.ε.) διότι έχει την μορφή dy/dx + P(x)y = Q(x)yn όπου P(x)=-4x-1, Q(x)=x και n=1/2 είναι δ.ε. Bernoulli y-1/2 y-1/2 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της (Ι) με y-1/2
dz/dx+R(x)z=W(x), R(x)=-2/x και W(x)=x/2 Θέτουμε: z(x) = y1-1/2 z(x) = y1/2 Παραγωγίζουμε: z΄(x) = 1/2y-1/2 y΄ Δηλαδή, y-1/2(dy/dx) = 2dz/dx και η εξίσωση (ΙΙ) γίνεται Γραμμική 1ης τάξης dz/dx+R(x)z=W(x), R(x)=-2/x και W(x)=x/2 γενική λύση (ΙΙΙ)
και η γενική λύση γίνεται,
Επομένως η γενική λύση της δ.ε. γίνεται :
z(x) = y1/2 δηλαδή, γενική λύση