11 Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Συστήματα αναφοράς στη γεωδαισία δορυφόρων

G = παγκόσμια σταθερά της έλξης Οι νόμοι του Kepler Iισχύουν για «κεντρικό πεδίο δυνάμεων» Δημιουργείται από: υλικό σημείο, ομογενή σφαίρα,ή σφαίρα με ομογενείς στιβάδες (πυκνότητα συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο) Δύναμη ανά μονάδα μάζας Μ = μάζα της γης, G = παγκόσμια σταθερά της έλξης = διάνυσμα θέσης του δορυφόρου = ακτινική απόσταση δορυφόρου = κλίση δυναμικού έλξης μοναδιαίο διάνυσμα από δορυφόρο προς κέντρο

G = παγκόσμια σταθερά της έλξης Οι νόμοι του Kepler Iισχύουν για «κεντρικό πεδίο δυνάμεων» Δημιουργείται από: υλικό σημείο, ομογενή σφαίρα,ή σφαίρα με ομογενείς στιβάδες (πυκνότητα συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο) Δύναμη ανά μονάδα μάζας Μ = μάζα της γης, G = παγκόσμια σταθερά της έλξης = διάνυσμα θέσης του δορυφόρου = ακτινική απόσταση δορυφόρου = κλίση δυναμικού έλξης Νόμοι του Kepler (1) H τροχιά κάθε πλανήτη είναι μία έλλειψη με τον ήλιο σε μία από τις εστίες της. (2) Το ευθύγραμμο τμήμα από τον ήλιο σε οποιονδήποτε πλανήτη διαγράφει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους. (3) Οι κύβοι των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών των πλανητών είναι ανάλογοι προς τα τετράγωνα των περιόδων της περιστροφής τους γύρω από τον ήλιο.

G = παγκόσμια σταθερά της έλξης Οι νόμοι του Kepler Iισχύουν για «κεντρικό πεδίο δυνάμεων» Δημιουργείται από: υλικό σημείο, ομογενή σφαίρα,ή σφαίρα με ομογενείς στιβάδες (πυκνότητα συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο) Δύναμη ανά μονάδα μάζας Μ = μάζα της γης, G = παγκόσμια σταθερά της έλξης = διάνυσμα θέσης του δορυφόρου = ακτινική απόσταση δορυφόρου = κλίση δυναμικού έλξης

r = απόσταση ήλιου-πλανήτη Εξήγηση των νόμων του Kepler : Από Νεύτωνα με βάση το νόμο της παγκόσμιας έλξης και τις εξισώσεις κίνησης κίνησης (2ος νόμος του Νεύτωνα) με ταυτόχρονη επινόηση του διαφορικού και ολοκληρωματικού λογισμού! = ελκτική δύναμη πλανήτη ανά μονάδα μάζας Μ = μάζα ήλιου, m = μάζα πλανήτη r = απόσταση ήλιου-πλανήτη = μοναδιαίο διάνυσμα από πλανήτη προς ήλιο Επίλυση διαφορικών εξισώσεων Νόμοι του Kepler

Η κίνηση στο επίπεδο της τροχιάς q2 q1 a b Σύστημα αναφοράς : αρχή O = ήλιος επίπεδο = = επίπεδο τροχιάς του πλανήτη άξονας = = ευθεία των εστιών προς το περιήλιο f r E P O P περιήλιο = πλησιέστερο προς τον ήλιο σημείο της τροχιάς P αφήλιο = πλέον απομακρυσμένο σημείο της τροχιάς P Συντεταγμένες : διάνυσμα θέσης του πλανήτη:

Η κίνηση στο επίπεδο της τροχιάς q2 q1 a b Συντεταγμένες : Στο επίπεδο της τροχιάς f r καρτεσιανές συντεταγμένες: q1, q2 πολικές συντεταγμένες: r, f E P O P f = αληθής ανωμαλία (true anomaly E = έκκεντρη ανωμαλία (eccentric anomaly) M = μέση ανωμαλία (mean anomaly) tP = εποχή διέλευσης από το περιήλιο T = περίοδος της τροχιάς (χρόνος μιας περιστροφής) n = 2π / T = μέση κίνηση (mean motion)

a = μεγάλος ημιάξονας, = εκκεντρότητα , = μικρός ημιάξονας Σχέση έκκεντρης Ε και αληθούς ανωμαλίας f : 1ος νόμος του Kepler  εξίσωση έλλειψης σε πολική μορφή a = μεγάλος ημιάξονας, = εκκεντρότητα , = μικρός ημιάξονας 2ος νόμος του Kepler  «σταθερή επιφανειακή ταχύτητα» σε μικρό χρονικό διάστημα Δt : γωνία Δf, επιφάνεια ΔS = ½ r2 Δf (επιφάνεια τριγώνου με ύψος r και βάση r Δf ) Επιφανειακή ταχύτητα = σταθερή 3ος νόμος του Kepler  = σταθερή εναλλακτικά: Nόμος παγκόσμιας έλξης + 2ος νόμος Νεύτωνα  2ος και ο 3ος νόμος του Kepler

Προσδιορισμός συνάρτησης f(t) Ολοκλήρωση από t0 = tP (όπου sinE = sin0 = 0) έως t : Eξίσωση του Kepler

Eξίσωση του Kepler αριθμητική λύση : Eξισώσεις κίνησης q = q(t) : σε μορφή πινάκων

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο (σχεδόν) αδρανειακό σύστημα αναφοράς : P ισημερινός ευθεία των αψίδων επίπεδο τροχιάς σύστημα αναφοράς της τροχιάς : P τροχιά ευθεία των αψίδων (line of apsides) = = ευθεία του άξονα (ευθεία μεγάλου ημιάξονα) Τέμνει την τροχιά σε δύο σημεία Πλανήτες: περιήλιο αφήλιο. Δορυφόροι: περίγειο (perigee) P απόγειο (apogee) P (πλησιέστερο πλέον απομακρυσμένο)

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο (σχεδόν) αδρανειακό σύστημα αναφοράς : P Ν ισημερινός ευθεία των αψίδων επίπεδο τροχιάς σύστημα αναφοράς της τροχιάς : P Ν ευθεία των συνδέσμων τροχιά ευθεία των συνδέσμων (line of nodes) = = τομή ισημερινού επιπέδου και τροχιάς Ν = σύνδεσμος ανάβασης (ascending node) - μοναδιαίο διάνυσμα (κατεύθυνση του πλανήτη ή δορυφόρου όταν «ανέρχεται» (προς το μέρος του ) Ν = σύνδεσμος κατάβασης (descending node)

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο (σχεδόν) αδρανειακό σύστημα αναφοράς : P Ν ισημερινός ευθεία των αψίδων επίπεδο τροχιάς σύστημα αναφοράς της τροχιάς : P Ν ευθεία των συνδέσμων τροχιά Ω = ορθή αναφορά του συνδέσμου ανάβασης (right ascension of the ascending node) γωνία μεταξύ και (θετική από προς το / τιμές 0 - 360).

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο (σχεδόν) αδρανειακό σύστημα αναφοράς : P Ν ισημερινός ευθεία των αψίδων επίπεδο τροχιάς σύστημα αναφοράς της τροχιάς : P Ν ευθεία των συνδέσμων τροχιά i = κλίση (inclination) της τροχιάς δίεδρη γωνία ανάμεσα στο επίπεδο και το επίπεδο της τροχιάς (θετική προς τα πάνω / τιμές 0 - 180)

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο (σχεδόν) αδρανειακό σύστημα αναφοράς : P Ν ισημερινός ευθεία των αψίδων επίπεδο τροχιάς σύστημα αναφοράς της τροχιάς : P Ν ευθεία των συνδέσμων τροχιά ω = όρισμα του περιγείου (argument of perigee) γωνία μεταξύ και (μεταξύ ευθείας συνδέσμων και ευθείας αψίδων) (θετική από το προς το / τιμές 0 - 360)

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο (σχεδόν) αδρανειακό σύστημα αναφοράς : P Ν ισημερινός ευθεία των αψίδων επίπεδο τροχιάς σύστημα αναφοράς της τροχιάς : P Ν ευθεία των συνδέσμων τροχιά f = αληθής ανωμαλία γωνία μεταξύ και του διανύσματος θέσης του δορυφόρου (θετική από προς τη φορά κίνησης του δορυφόρου / τιμές 0 - 360)

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο (σχεδόν) αδρανειακό σύστημα αναφοράς : P Ν ισημερινός ευθεία των αψίδων επίπεδο τροχιάς σύστημα αναφοράς της τροχιάς : P Ν ευθεία των συνδέσμων τροχιά κυκλικές τροχιές (e = 0): δεν ορίζεται ο άξονας των αψίδων, ω και f αδιαχώριστα u = ω + f = όρισμα του πλάτους (argument of latitude)

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: Ν Ν

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: Ν

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R3(Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης eN  2 1 Ν

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R3(Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης eN  2 1 Ν

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R3(Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης eN  2 1 Ν

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R3(Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης eN  2 στροφή R1(i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e3 στη θέση e3q )  1 Ν

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R3(Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης eN  2 στροφή R1(i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e3 στη θέση e3q )  1 Ν

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R3(Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης eN  2 στροφή R1(i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e3 στη θέση e3q )  1 Ν

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R3(Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης eN  2 στροφή R1(i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e3 στη θέση e3q )  1 Ν στροφή R3(ω) : φέρνει τον 1ο άξονα από τη θέση eN στην τελική θέση e3q 

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R3(Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης eN  2 στροφή R1(i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e3 στη θέση e3q )  1 Ν στροφή R3(ω) : φέρνει τον 1ο άξονα από τη θέση eN στην τελική θέση e3q 

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R3(Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης eN  στροφή R1(i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e3 στη θέση e3q )  1 Ν στροφή R3(ω) : φέρνει τον 1ο άξονα από τη θέση eN στην τελική θέση e3q 

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο Mετάβαση από το αδρανειακό σύστημα e στο σύστημα της τροχιάς e q  Τρεις διαδοχικές στοιχειώδεις στροφές: στροφή R3(Ω) : φέρνει τον 1ο άξονα στη θέση του συνδέσμου ανάβασης eN  στροφή R1(i) : φέρνει το επίπεδο των αξόνων (1, 2) στη θέση του επιπέδου της τροχιάς (ταυτόχρονα ο 3ος άξονας μεταβαίνει από τη θέση e3 στη θέση e3q )  Ν στροφή R3(ω) : φέρνει τον 1ο άξονα από τη θέση eN στην τελική θέση e3q  Σχέση ανάμεσα στις συντεταγμένες x (αδρανειακές) και q (σύστημα τροχιάς) : (διάνυσμα θέσης: )

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο αντίστροφη σχέση x = R-1q = RT q  εξισώσεις κίνησης στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένες (αδρανειακές) στοιχεία του Kepler (Keplerian elements): Ω, i, ω, a, e, M a, e : ορίζουν το σχήμα της ελλειπτικής τροχιάς Ω, i, ω : ορίζουν τη θέση της έλλειψης στο χώρο M(t) : ορίζει τη θέση (του πλανήτη (ή δορυφόρου) στην τροχιά την στιγμή t

Η έλλειψη του Kepler στο χώρο αντίστροφη σχέση x = R-1q = RT q  εξισώσεις κίνησης στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένες (αδρανειακές) συνιστώσες της ταχύτητας = γνωστή συνάρτηση του a (διάνυσμα κατάστασης)

x(t0), v(t0) = «σταθερές ολοκλήρωσης» για την επίλυση Μη Κεπλέριες τροχιές Κεπλέρια ελλειπτική κίνηση (κεντρικό πεδίο): όλα σταθερά εκτός από M(t) = n (t - tP) Ω, i, ω, a, e, M(t0) [ή tP ] : μπορούν να προσδιοριστούν από x(t0) και v(t0) κατά μία αρχική εποχή t0 x(t0), v(t0) = «σταθερές ολοκλήρωσης» για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων της κίνησης πραγματική τροχιά (Mη κεντρικό πεδίο δυνάμεων)  Κεπλέρια ελλειπτική κίνηση πλανήτες: επίδραση της έλξης των υπόλοιπων πλανητών δορυφόροι: έλξη ισημερινού εξογκώματος, διαφοροποίηση της πυκνότητας των γήινων μαζών, πρόσθετη έλξη σελήνης, ήλιου και πλανητών, άλλες επιδράσεις: ατμοσφαιρική τριβή, θαλάσσιες παλίρροιες, παλίρροιες στερεού φλοιού της γης, πίεση της ηλιακής ακτινοβολίας, κλπ

Μη Κεπλέριες τροχιές Κίνηση σε μη κεντρικό πεδίο δυνάμεων περιγραφή με στοιχεία του Kepler αλλά όλα συναρτήσεις του χρόνου: Ω(t), i(t), ω(t), a(t), e(t), M(t) διάνυσμα της κατάστασης (state vector) συνδέεται με τα στοιχεία Kepler όπου Ε(t) = E(M(t)) μέσω της λύσης της εξίσωσης του Kepler

Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS επίγειο σύστημα αναφοράς : WGS84 (World Geodetic System 1984) «ουράνιο» σύστημα αναφοράς 3ος άξονας 1ος άξονας = τέτοιος ώστε «να μην ακολουθεί τη γη στην περιστροφή της». Μη αδρανειακό σύστημα! εξαιτίας μετάπτωσης-κλόνισης, κίνησης του πόλου Δεν προσφέρεται για την ανάλυση των τροχιών με επίλυση των εξισώσεων κίνησης

Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS Διαφορικό GPS (ακρίβεια 1 cm) Σκοπός: προσδιορισμός της σχετικής θέσης 2 σημείων Α και Β (προσδιορισμός συνιστωσών της βάσης ΑΒ ) Κατά την συνόρθωση των παρατηρήσεων: Σφάλματα στα στοιχεία της τροχιάς, και σφάλματα στα στοιχεία της περιστροφής της γης (προσανατολισμού επίγειου συστήματος προς αδρανειακό), ελαχιστοποιούνται = πολλαπλασιάζονται με συντελεστές της τάξης του Β/r, B = μήκος της βάσης, r = απόσταση του δορυφόρου (περίπου 20000 km). Ελαχιστοποίηση: επιτρέπει τη χρήση του μη αδρανειακού συστήματος Σχέση μεταξύ συστημάτων με κοινό 3ο άξονα:

Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS Tροχιές που παρέχει το σύστημα GPS στους χρήστες (κωδικοποιημένο μήνυμα που μεταδίδεται από τον δορυφόρο στο δέκτη) εμπειρικές τροχιές : (σχεδόν κυκλικές τροχιές: u = ω + f ) όπου

Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS Tροχιές που παρέχει το σύστημα GPS στους χρήστες (κωδικοποιημένο μήνυμα που μεταδίδεται από τον δορυφόρο στο δέκτη) Αντί Ω (ορθή αναφοράς του συνδέσμου ανάβασης)  επίγειο μήκος του συνδέσμου ανάβασης L = Ω - Θ Mε ωe = γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της γης te = εποχή αναφοράς t0 = αρχή της τρέχουσας εβδομάδας GPS (μεσάνυχτα Σαββάτου προς Κυριακή, σε χρόνο GPS).

Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS μεταδιδόμενη εφημερίδα (broadcast ephemeris) - μεταδιδόμενα στοιχεία: e, M0, Δn, te (εποχή αναφοράς της μεταδιδόμενης εφημερίδας ) Υπολογισμοί : Από στοιχεία μεταδιδόμενης εφημερίδας Από αριθμητική επίλυση εξίσωσης του Kepler Από

Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS Συντεταγμένες του δορυφόρου στο WGS84 : όπου :

Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο σύστημα θέσης GPS Τελικές σχέσεις υπολογισμού των επίγειων συντεταγμένων (X, Y, Z) του δορυφόρου με βάση τα στοιχεία της μεταδιδόμενης εφημερίδας εξίσωση Kepler E