Προβλήματα Εκχώρησης (Assignment Problems) Παραδείγματα Δικτυακή Διατύπωση Λύση Hungarian Algorithm

Προβλήματα Εκχώρησης (Assignment Problems) Παραδείγματα Εκχώρηση ατόμων στην εκτέλεση μίας δραστηριότητας Κατανομή εργατών σε μηχανές Κατανομή πωλητών σε περιοχές Κατανομή πληρωμάτων σε δρομολόγια Κλπ, κλπ, κλπ... Σημαντικό χαρακτηριστικό Ακεραιότητα (δεν μπορούμε να κατανέμουμε ½ άτομο!)

Προϋποθέσεις Προβλημάτων Εκχώρησης Ο αριθμός των ατόμων (assignees) και ο αριθμός των δραστηριοτήτων (assignments or tasks) είναι ίσοι με n Κάθε άτομο εκχωρείται στην εκτέλεση μίας μόνο δραστηριότητας Κάθε δραστηριότητα εκτελείται από ένα μόνο άτομο Υπάρχει κόστος cij εάν το άτομο i, (i=1,…,n) εκτελέσει τη δραστηριότητα j (j=1,…,n) Ο στόχος είναι να βρεθεί η άριστη κατανομή που να ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος.

Job Shop Company Η εταιρεία αγόρασε 3 νέες μηχανές Οι μηχανές μπορούν να εγκατασταθούν σε 4 διαφορετικές τοποθεσίες (L1, L2, L3 L4) Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει το κόστος εγκατάστασης της μηχανής i στην τοποθεσία j. Βρείτε την τοποθεσία που πρέπει να εγκατασταθεί η κάθε μηχανή έτσι που να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος Τοποθεσία Μηχανή L1 L2 L3 L4 M1 M2 M3 13 15 5 16 - 7 12 10 11 20 6

Διατύπωση του προβλήματος σαν Πρόβλημα Μεταφοράς

… … Προβλήματα Εκχώρησης n Διαδικασίες (Tasks) n Άτομα (Assignees) An Ai … [-dj=-1] T1 Tj Tn …

Προβλήματα Εκχώρησης: Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Προβλήματα Εκχώρησης: Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Subject to:

Προβλήματα Εκχώρησης: Ιδιότητα Ακέραιης Λύσης Προβλήματα Εκχώρησης: Ιδιότητα Ακέραιης Λύσης Παραβιάζει μία από τις προϋποθέσεις του ΓΠ Ιδιότητα Α: Για προβλήματα μεταφοράς, και κατά συνέπεια προβλήματα εκχώρησης, όπου κάθε si και dj έχουν ακέραιες τιμές, όλες οι βασικές μεταβλητές σε κάθε βασική εφικτή λύση παίρνουν ακέραιες τιμές.

Better Products Co. Η εταιρεία Better Products Co. παράγει 4 προϊόντα σε 3 εργοστάσια και το κόστος παραγωγής φαίνεται στον πιο κάτω πίνακα. Κόστος Παραγωγής Παραγωγ. Δυνατότητα Εργοστάσιο P1 P2 P3 P4 F1 F2 F3 41 40 37 27 29 30 28 - 24 23 21 75 45 Ρυθμός Παραγωγής 20 Ζητείται: το πρόγραμμα παραγωγής έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος παραγωγής εάν: Επιτρέπουμε την παραγωγή ενός προϊόντος σε περισσότερα από ένα εργοστάσια Υποχρεώνουμε ολόκληρη την παραγωγή ενός προϊόντος να γίνει μόνο σε ένα εργοστάσιο.

Better Products Co – Επιλογή 1 F1 F3 F2 P1 P2 P3 P4 40 23 29 21 27 30 37

Better Products Co. Επιλογή 2: Κόστος Παραγωγής Παραγωγ. Δυνατότητα Εργοστάσιο P1 P2 P3 P4 F1 F2 F3 41 40 37 27 29 30 28 - 24 23 21 75 45 Ρυθμός Παραγωγής 20 Επιλογή 2: Υποχρεώνουμε ολόκληρη την παραγωγή ενός προϊόντος να γίνει μόνο σε ένα εργοστάσιο.

Better Products Co. – Επιλογή 2 F1a F3 F2a F1b F2b P1 P2 P3 P4 800 920 870 800 920 870 740 810 900 840

Επίλυση Προβλημάτων Εκχώρησης Προσθέτοντας μία σταθερά q σε μία στήλη ή σειρά του πίνακα κόστους απλά ισοδυναμεί στη πρόσθεση της σταθεράς q στη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του αρχικού προβλήματος, δηλαδή Απόδειξη:

Επίλυση Προβλημάτων Εκχώρησης Παρατήρηση: Για προβλήματα εκχώρησης όπου όλοι οι συντελεστές κόστους cij  0, η ελάχιστη δυνατή τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 0. Παρατήρηση: Ένα πρόβλημα εκχώρησης έχει μηδενικό κόστος εάν οι συντελεστές κόστους cij = 0 για όλες τις μεταβλητές xij = 1 Μέθοδος Επίλυσης Προβλημάτων Εκχώρησης: Σε κάθε βήμα, μετασχηματίζουμε τον πίνακα κόστους του προβλήματος (προσθέτοντας σταθερές στις στήλες και σειρές του πίνακα κόστους) μέχρις’ ότου να βρούμε ένα πρόβλημα εκχώρησης του οποίου η ελάχιστη τιμή είναι 0.

Παράδειγμα: Job Shop Company (JS Co.) Πίνακας Κόστους L1 L2 L3 L4 M1 M2 M3 Μ4 13 15 5 16 - 7 12 10 11 20 6

Ουγγρικός Αλγόριθμος: Παράδειγμα 80 60 90 30 Μ 120 80 60 90 30 Μ 120 50 30 -30 60 Μ 90 50 30 60 120 Μ 90 Καλύψτε όλα το 0 Από όλες τις στήλες και σειρές αφαιρέστε το ελάχιστο μη καλυμμένο κόστος c* Για κάθε καλυμμένη στήλη και γραμμή, ξαναπροσθέστε το c*

Ουγγρικός Αλγόριθμος: Παράδειγμα 50 30 60 120 Μ 90 50 30 60 120 Μ 90 20 60 150 Μ 30 Καλύψτε όλα το 0 Από όλες τις στήλες και σειρές αφαιρέστε το ελάχιστο μη καλυμμένο κόστος c* Για κάθε καλυμμένη στήλη και γραμμή, ξαναπροσθέστε το c*