Тақырып: Кездейсоқ шамалар Тақырып: Кездейсоқ шамалар

Дәрiстің мақсаты: Кездейсоқ шамалардың үлестiрiм заңдарымен және сандық сипаттамаларымен таныстыру.

Қарастырылатын сұрақтар: 1. Кездейсоқ шамалар және үлестiрiм заңдары. 2. Дискреттiк кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары. 3. Кездейсоқ шаманың үлестiрiм функциясы және оның қасиеттерi. 4. Кездейсоқ шаманың үлестiрiм тығыздығы және оның қасиеттерi. 5.Үзiлiссiз кездейсоқ шамалар. 6. Үзiлiссiз кездейсоқ шаманың негiзгi үлестiрiм заңдары. 7. Үзiлiссiз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары.

Анықтама. Кездейсоқ себептен тәуелдi, алдын-ала белгiсiз бiр мүмкiн мәндi тәжiрибе нәтижесiнде қабылдайтын шама кездейсоқ деп аталады.

Анықтама. Мәндерi саналатын жиын құратын шама (элементтерiн нөмiрлеуге болатын жиын) дискреттiк кездейсоқ шама деп аталады.

Анықтама. Кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерi мен сәйкес ықтималдықтары арасындағы қатынасты тағайындайтын заң кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы деп аталады.  

Дискреттiк кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы кесте арқылы берiледi: . . . мұнда =1.

Анықтама. Дискреттiк кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi деп оның мүмкiн мәндерi мен сәйкес ықтималдықтарының көбейтiндiлерiнiң қосындысы аталады:

Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық үмiтiнiң айырмасы ауытқу деп аталады: Х – М(Х) =

Анықтама. Кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп шаманың өз математикалық үмiтiнен ауыткуының квадратының математикалық үмiтi аталады: М[X - M(X)]2. =

Дисперсияны есептеу үшiн келесі формуланы қолдану ыңғайлы:

Анықтама. Кездейсоқ шаманың орта квадраттық ауытқуы деп дисперсияның квадрат түбiрiне тең шама аталады:

Математикалық үмiттің негiзгi қасиеттерi: 1. М(С) = С 2. М(С*Х) = С М(Х) 3.М(ХУ) = М(Х)  М(У) 4. М(Х*У) = М(Х)* М(У)

Дисперсияның негiзгi қасиеттерi: 1. D(С) = 0 2. D(СХ) = С2D(Х) 3. D(ХУ) = D(Х) +D(У)

Анықтама. Кейбiр шектелген немесе шексiз интервалдан кез келген мән қабылдайтын шама үзiлiссiз кездейсоқ шама деп аталады.

Анықтама. Х кездейсоқ шамасының ықтималдықтарының үлестiрiм функциясы деп х-тiң әрбiр мәнi үшiн Х -кездейсоқ шамасы х-тен кем мән қабылдау ықтималдығын анықтайтын функция аталады:

Үлестiрiм функциясының қасиеттерi: . Үлестiрiм функциясының қасиеттерi: . 1. Функция мәндерi [0,1] кесiндiсiне тиiстi: 2. Үлестiрiм функциясы кемiмейтiн функция: егер х2> х1 болса 3. Егер Х кездейсоқ шамасының барлық мүмкiн мәндерi (а;в) интервалына тиiстi болса, онда х  а болғанда F(x)=0 және х  в болғанда F(x)=1.  

Салдар 1. Салдар 2. Салдар 3. F(x)=0, Х үзiлiссiз кездейсоқ шамасының нақты бiр мән қабылдау ықтималдығы нольге тең. Салдар 3. Егер Х - кездейсоқ шамасының мүмкiн мәндерi осьтiң барлық бойында орналасса, онда F(x)=0, F(x)=1.

Анықтама. Үлестiрiм функциясының туындысы ықтималдықтар үлестiрiмiнiң тығыздығы деп аталады:

Теорема. Х- үзiлiссiз кездейсоқ шамасының интервалынан мән қабылдау ықтималдығы мына формуламен анықталады:

Үлестiрiм тығыздығының негiзгi қасиеттерi: 1. Үлестiрiм тығыздығы терiс емес функция: f(x) 0. 2. Интегралдау шегi барлық сан осi болғанда үлестiрiм тығыздығының меншiксiз интегралы бiрге тең:

Үздіксіз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары: Үздіксіз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары: анықтама бойынша - теорема бойынша

Кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары.

Биномдық үлестiрiм заңы. Бұл заң бойынша Х – n тәуелсiз тәжiрибелерде оқиғаның пайда болу саны кездейсоқ шамасы үлестiрiмдi. Ол 0, 1, 2,…, m,…, n мәндерiн мына ықтималдықпен қабылдайды: m =0,1,…, n. мұнда

Пуассон үлестiрiм заңы. Х - n тәуелсiз тәжiрибеде сирек оқиғаның пайда болу саны кездейсоқ шамасы мәндерiн қабылдау ықтималдығы: = , где = m =0,1,…,n.

Геометриялық үлестiрiм заңы. Х - n тәуелсiз тәжiрибеде ең алғаш рет оқиға пайда болғанға дейiнгi тәжiрибелер саны. Ол 1,2,…, m,… мәндерiн мына ықтималдықпен қабылдайды: = , где m =1, 2,…

Гипергеометриялық үлестiрiм заңы. N объектiнiң iшiнде М объектiде альтернативтi қасиет бар болсын. Сонда Х- кездейсоқ алынған n объектiнiң iшiнде осы қасиетi бар элементтер саны. Х-тiң m мәнiн қабылдау ықтималдығы мынаған тең: = m =0,1,2,…, min(n;M). мұнда

Үлестiрiм заңы Биномдық Пуассон Геометриялық Математикалық үмiт M(X)=np M(X)= M(X)=1/р Дисперсия D(X)=npq D(X)=

Бiрқалыпты үлестiрiм заңы – кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерiнiң интервалында үлестiрiм тығыздығы өзгермейтiн үлестiрiм:

Көрсеткiштiк (экспоненталық) үлестiрiм заңы –

Қалыпты үлестiрiм заңы (Гаусс заңы)

Параметрлерi а=0, σ =1 болатын кездейсоқ шаманың қалыпты үлестiрiм заңы стандартты немесе мөлшерленген деп аталады.

Мөлшерленген үлестiрiмнiң ықтималдықтар тығыздығы мына түрде болады: функциясы Лапластың локалдық функциясы деп аталады.

Қалыпты заңмен үлестiрiмдi Х - кездейсоқ шамасының Теорема. 2. Қалыпты заңмен үлестiрiмдi Х - кездейсоқ шамасының 2 М(Х) = а, D(Х) =

Х қалыпты үлестiрiмдi шамасы 2. интервалына тиiстi мән қабылдау ықтималдығы: мұнда Ф (х) – Лаплас интегралдық функциясы.

Қалыпты кездейсоқ шаманың өз математикалық үмiтiнен ауытқуы 2. шамасынан кем болу ықтималдығы мынаған тең: