Čebiševljevi polinomi

Što želimo postići aproksimacijom? Želimo aproksimirati funkciju polinomom Pn tako da: - pogreška aproksimacije |f(x)-Pn(x)| bude što jednoličnije raspoređena duž segmenta - se Pn lako nalazi -maksimalnu pogrešku svedemo na minimum. Od prije znamo kako izgleda ocjena pogreške interpolacije Lagrangeovim polinomom:

Pokušat ćemo ovo minimizirati: IDEJA: Funkciju f aproksimiramo polinomom Pn na segmentu [-1,1].Promatramo kosinus funkcija cos α, cos 2α,..., cos nα, i transformiramo cos nα na segmentu [0, π] u polinom n-tog stupnja na segmentu [-1,1].

Polinomi : Tn = cos nα, α = arc cos x, n = 0,1,2,... zovu se ČEBIŠEVLJEVI POLINOMI. Vidimo :T0 = cos 0 = 1 T1 = cosα = cos(arc cos x) = x T2 = cos2α = 2cos2 α – 1 = 2cos2 (arc cos x) – 1 = 2x2 – 1 Primjenom adicijskih formula,dobivamo rekurzivnu relaciju za ove polinome: Tn+1(x) + Tn-1(x) = 2xTn(x) , tj. Tn(x) = 2x Tn-1(x) – Tn-2(x)

Kako izgledaju Čebiševljevi polinomi? T0(x) = 1 T1(x) = x T2(x) = 2x2 - 1 T3(x) = 4x3 - 3x T4(x) = 8x4 - 8x2 + 1 T5(x) = 16x5 - 20x3 + 5x T6(x) = 32x6 - 18x4 + 18x2 - 1 T7(x) = 64x7 - 112x5 + 56x3 – 7x T8(x) = 128x8 - 256x6 + 160x4 –32x2 + 1 T9(x) = 256x9 - 576x7 + 432x5 – 120x3 + 9x ...

Nultočke i normirani oblik polinoma Tn ima n različitih nultočaka, sve su realne i nalaze se u intervalu [-1,1]. Dane su sa: Normirani oblik Čebiševljevog polinoma:

Teorem o najmanjoj gornjoj ogradi Označimo sa Pn skup svih normiranih polinoma n-tog stupnja,tj. Skup svih polinoma n-tog stupnja sa vodećim koeficijentom jednakim 1. TEOREM: Među svim normiranim polinomima Pn , promatranim na segmentu [-1,1] , Qn ima najmanju gornju ogradu za svoju apsolutnu vrijednost.

Minimax princip Ocjena pogreške za Lagrangeov oblik: Minimiziramo polinom (x – x0) (x – x1)... (x – x0) i zahtijevamo da je jednak Qn+1 ,tj. odabiremo čvorove td. oni budu nultočke od Qn+1 , što su ustvari nultočke Čebiševljevog polinoma Tn+1:

Hornerova shema

Za opći segment [a,b] treba uzeti: za čvorove interpolacije. Odredimo li na [a,b] interpolacijski polinom sa ovako danim čvorovima,dobivamo interpolacijski polinom koji minimizira maksimalnu pogrešku.Ovaj način minimiziranja nazivamo minimaks principom.

Imamo zadan polinom : Zanima nas vrijednost u točki x0.To možemo izračunati na dva načina: pamćenjem potencija ili Hornerovom shemom.

Pamćenjem potencija: krenemo od nulte potencije x0=1, svaka sljedeća dobiva se rekurzivno: Prebrojimo li zbrajanja i množenja koja se javljaju u algoritmu,vidimo da ukupno imamo 2n množenja + n zbrajanja.

Ukoliko imamo dan polinom zapisan u sljedećem obliku: algoritam koji po ovoj relaciji izvrednjava polinom naziva se HORNEROVA SHEMA. Hornerova shema je optimalan algoritam za : -izvrednjavanje polinoma kojima je većina koeficijenata različita od nule -za polinome stupnja n=1,2,3 (polinomi višeg stupnja se adaptiraju td. bismo kasnije imali što manje množenja i zbrajanja) Algoritam za ovaj način računanja ima ukupno n množenja i n zbrajanja.

z := z(w − di) + ei, za i = 1, 2, . . . ⌈n/2⌉ − 1. O Hornerovoj shemi kao optimalnom algoritmu govore i sljedeća dva teorema: TEOREM (Borodin,Munro): Za opći polinom n-tog stupnja potrebno je barem n aktivnih množenja.Pod aktivnim množenjem podrazumijevamo množenje između ai i x. TEOREM (Pan): Za bilo koji polinom pn stupnja n≥3 postoje realni brojevi c, di, ei, za 0 ≤ i ≤ ⌈n/2⌉ − 1, takvi da se pn može izračunati korištenjem (⌊n/2⌋ + 2) množenja + n zbrajanja,gdje je : y = x + c w = y2 z := z(w − di) + ei, za i = 1, 2, . . . ⌈n/2⌉ − 1.

Dijeljenje polinoma an an-1 an-2 ..... a1 a0 x0 cn-1 cn-2 cn-3 c0 r0 Elementi donjeg reda računaju se slijeva nadesno na sljedeći način:

U gornjem redu se popišu svi koeficijenti polinoma pn redom od an do a0. Donji red se izračunava korištenjem gornjeg reda i broja x0.Označimo elemente donjeg reda, gledajući slijeva nadesno, s x0, cn-1, ... , c0 , r0 , tako da se cn-1 nalazi ispod an . Vodeći koeficijent an se prepiše, a svi ostali se računaju tako da se posljednji izračunati koeficijent ci pomnoži s x0, a zatim mu se doda koeficijent ai-1 koji se nalazi iznad. Na kraju, ispod koeficijenta a0 se dobije r0, tj. vrijednost polinoma u točki x0.

Potpuna Hornerova shema Polinom pn , zapisan na ovaj način,razvijen je po potencijama od (x-x0).Usporedimo ga s Taylorovim polinomom oko x0 :

Potpuna Hornerova shema računa sve derivacije polinoma u zadanoj točki podijeljene pripadnim faktorijelima.Vrijedi:

an an-1 ... a1 a0 x0 cn-1 cn-2 c0 r0 bn-1 bn-2 r1 rn

Tablicu derivacija popunjavamo kao i običnu tablicu za dijeljenje polinoma; svaki sljedeći redak popunjavamo na isti način kao i kod dijeljenja polinoma.Na dijagonali tablice redom dobivamo sve ri , i = 0,1,...,n koji predstavljaju koeficijente Taylorovog razvoja zadanog polinoma oko točke x0.

Hornerova shema za interpolacijski polinom Treba izračunati izraz oblika: pri čemu su xi točke interpolacije,a x točka u kojoj želimo izračunati vrijednost polinoma. Označimo: yi = x – xi Dobivamo Hornerovu shemu za interpolacijski polinom: