Η φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους Χαράλαμπος Λεμονίδης Καθηγητής 12 Οκτωβρίου 2018
Η φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους Οι αντιλήψεις για τη φύση και το ρόλο των μαθηματικών που υπάρχουν στην κοινωνία μας έχουν μια σημαντική επίδραση στην ανάπτυξη των προγραμμάτων των σχολικών μαθηματικών, τη διδασκαλία και την έρευνα. Η κατανόηση των διαφορετικών αντιλήψεων των μαθηματικών είναι εξίσου σημαντική τόσο για την ανάπτυξη και την επιτυχή εφαρμογή των προγραμμάτων των σχολικών μαθηματικών όσο και για τη διεξαγωγή και ερμηνεία των ερευνητικών μελετών.
Η φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους Στη βιβλιογραφία των μεταρρυθμίσεων στην εκπαίδευση των μαθηματικών και της φυσικής τα μαθηματικά εμφανίζονται ως ένα δυναμικός και αναπτυσσόμενος τομέας έρευνας. Ενώ άλλες αντιλήψεις θεωρούν τα μαθηματικά ως μια στατική επιστήμη με ένα γνωστό σύνολο εννοιών αρχών και δεξιοτήτων.
Πλατωνική και Αριστοτελική αντίληψη Τι είναι μαθηματικά; Πλατωνική και Αριστοτελική αντίληψη Η συζήτηση για τη φύση των μαθηματικών χρονολογείται από τον 4ο π.Χ. αιώνα όπου μεταξύ των πρώτων που συνέβαλαν σε αυτόν τον διάλογο ήταν ο Πλάτωνας και ο μαθητής του ο Αριστοτέλης. Η θέση του Πλάτωνα ήταν ότι τα αντικείμενα των μαθηματικών έχουν μια αυθύπαρκτη ύπαρξη στον εξωτερικό κόσμο, πέρα από το μυαλό. Με τον τρόπο αυτό, ο Πλάτων κάνει σαφή διάκριση μεταξύ των ιδεών του νου και των αναπαραστάσεων τους που γίνονται αντιληπτές από τον εξωτερικό κόσμο μέσω των αισθήσεων. Εξαιτίας αυτού ο Πλάτωνας κάνει διάκριση μεταξύ της αριθμητικής – της θεωρίας των αριθμών - και της λογιστικής- τις τεχνικές υπολογισμού που απαιτούνται από τους εμπόρους.
Πλατωνική και Αριστοτελική αντίληψη Τι είναι μαθηματικά; Πλατωνική και Αριστοτελική αντίληψη Στη Δημοκρατία (1952), ο Πλάτωνας υποστήριξε ότι η μελέτη της αριθμητικής έχει θετική επίδραση στα άτομα, τους αναγκάζει να αιτιολογήσουν σχετικά με τους αφηρημένους αριθμούς. Αυτή η προωθημένη θέση για τα μαθηματικά ως μια αφηρημένη διανοητική δραστηριότητα στα εξωτερικά υπάρχοντα αντικείμενα που έχουν μόνο αναπαραστάσεις στον κόσμο των αισθήσεων παρατηρείται επίσης και στις συζητήσεις του Πλάτωνα στα πέντε κανονικά στερεά στον Τίμαιο (1952) και την υποστήριξη και εμψύχωση για την ανάπτυξη των μαθηματικών στην Αθήνα (Boyer, 1968).
Πλατωνική και Αριστοτελική αντίληψη Τι είναι μαθηματικά; Πλατωνική και Αριστοτελική αντίληψη Ο Αριστοτέλης, ο μαθητής του Πλάτωνα, είδε τα μαθηματικά ως ένα από τα τρία γένη, στα οποία η γνώση θα μπορούσε να διαιρεθεί: το φυσικό, το μαθηματικό και το θεολογικό: [Τα Μαθηματικά είναι αυτά), τα οποία εμφανίζουν ποιότητα σε σχέση με τις μορφές και τις τοπικές κινήσεις, που αναζητούν το σχήμα, τον αριθμό, και το μέγεθος, καθώς και τον τόπο, το χρόνο, και παρόμοια πράγματα .... Μια τέτοια ουσία εμπίπτει, όπως είναι, μεταξύ των άλλων δύο, όχι μόνο επειδή μπορεί να συλληφθεί τόσο μέσω των αισθήσεων όσο και χωρίς τις αισθήσεις. (Πτολεμαίος, 1952, σελ. 5) Αυτή η δήλωση του για το ρόλο των αισθήσεων ως πηγή για την αφαίρεση των ιδεών σχετικά με τα μαθηματικά ήταν διαφορετική από την άποψη του δάσκαλου του, του Πλάτωνα.
Πλατωνική και Αριστοτελική αντίληψη Τι είναι μαθηματικά; Πλατωνική και Αριστοτελική αντίληψη Ο Αριστοτέλης προσπάθησε να κατανοήσει τις μαθηματικές σχέσεις μέσα από την συλλογή και την ταξινόμηση των εμπειρικών αποτελεσμάτων που προέρχονται από πειράματα και παρατηρήσεις και, στη συνέχεια, από την αφαίρεση ενός συστήματος για να εξηγήσει τις εγγενείς σχέσεις στα δεδομένα. Έτσι, τα έργα και οι ιδέες του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη μορφοποιούν δύο από τα μεγαλύτερα αντίθετα θέματα σχετικά με τη φύση των μαθηματικών. Οι διακρίσεις μεταξύ αυτών των δύο σχολών της μαθηματικής σκέψης σχολιάζονται περαιτέρω από τον Francis Bacon στις αρχές του 1500, όταν χώρισε τα μαθηματικά σε καθαρά και μικτά μαθηματικά. Η συζήτηση αυτή σχετικά με τη φύση των μαθηματικών επανέρχεται από τον Jean D'Alembert τον 18ο αιώνα.
Τι είναι μαθηματικά; Ο Καρτέσιος εργάστηκε για να κινήσει τα μαθηματικά πίσω στην πορεία της αφαίρεσης από τα αποδεκτά αξιώματα. Αν και ο ίδιος πειραματίζεται σε βιολογικά θέματα, ο Καρτέσιος απέρριψε την είσοδο από τον πειραματισμό και τις αισθήσεις σε θέματα μαθηματικών, γιατί θα μπορούσε ενδεχομένως να παραπλανούν αυτόν που τα εκλαμβάνει. Η θεώρηση του Καρτέσιου για τα μαθηματικά τα διαχωρίζει από τις αισθήσεις. Αυτή η πάλη μεταξύ των ορθολογιστών και των πειραματιστών επηρεάζει όλες τις κατευθύνσεις της επιστήμης σε όλη τη διάρκεια του 17ου και 18ου αιώνα. Ο γερμανός φιλόσοφος Ιμμάνουελ Καντ έφερε τη συζήτηση για τη φύση των μαθηματικών, κυρίως για τη φύση της γεωμετρίας, πίσω στο επίκεντρο με το έργο του Κριτική του Καθαρού Λόγου (1952).
Τι είναι μαθηματικά; Ενώ ο Καντ επιβεβαίωνε ότι όλα τα αξιώματα και τα θεωρήματα των μαθηματικών ήταν αλήθειες, είχε την άποψη ότι η φύση του χώρου που αντιλαμβανόμαστε ήταν Ευκλείδεια και ότι το περιεχόμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ήταν a priori κατανοητό από τον ανθρώπινο νου. Αυτό ήταν σε άμεση αντίθεση με τις αναδυόμενες αντιλήψεις της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Η καθιέρωση της συνέπειας της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας, στα μέσα της δεκαετίας του 1800 ελευθέρωσε τελικά τα Μαθηματικά από τον περιοριστικό ζυγό ενός ενιαίου συνόλου αξιωμάτων που πιστεύεται ότι είναι το μοναδικό μοντέλο για τον εξωτερικό κόσμο. Η ύπαρξη των συνεπών μη Ευκλείδειων γεωμετριών έδειξε τη δύναμη του μυαλού του ανθρώπου να κατασκευάζει νέες μαθηματικές δομές, απαλλαγμένες από τα όρια ενός εξωτερικά υφιστάμενου κόσμου που ελέγχει (Eves, 1981; Kline, 1972, 1985; Korner, 1960).
Τι είναι μαθηματικά; Αυτή η συναρπαστική ανακάλυψη, έφερε μαζί της μια νέα έννοια της «αλήθειας», που ήταν θαμμένη στην αποδοχή ενός αξιώματος ή ένα σύνολο αξιωμάτων που ορίζει ένα μοντέλο για μια περιοχή της έρευνας. Οι μαθηματικοί αμέσως άρχισαν να εφαρμόζουν τη νέα αυτή ελευθερία και την αξιωματική μέθοδο για τη μελέτη των μαθηματικών.
Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα Τι είναι Μαθηματικά; Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα Τρεις επικρατέστερες σχολές: Οι λογικιστές Οι φορμαλιστές Ιντουισιονιστές Οι νέες έρευνες στα μαθηματικά, απελευθερώθηκαν από την εξάρτηση από τον πειραματισμό και την αίσθηση, σύντομα αντιμετώπισαν νέα προβλήματα με την εμφάνιση των παραδόξων στο σύστημα των πραγματικών αριθμών και τη θεωρία των συνόλων. Σε αυτό το σημείο, τρεις νέες απόψεις των μαθηματικών προέκυψαν για την αντιμετώπιση των αντιληπτικών προβλημάτων
Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα Τι είναι Μαθηματικά; Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα Η Σχολή του λογικισμού, ιδρύθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Gottlob Frege το 1884. Οι Whitehead και ο Russell (1910 - 1913) έθεσαν ως στόχο να το δείξουν αυτό στο έργο-ορόσημο τους, Principia Mathematica. Έτσι προσπάθησαν να δημιουργήσουν τα κλασικά μαθηματικά από τους όρους των αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων που αναπτύχθηκε από το Zermelo και το Frankel.
Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα Τι είναι Μαθηματικά; Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα Αυτή η προσέγγιση, όπως αυτή του Frege, χτίστηκε επάνω στην αποδοχή της ύπαρξης εξωτερικών μαθηματικών, και ως εκ τούτου ήταν ένα άμεσο ανάπτυγμα της Πλατωνικής Σχολής. Τα μέλη της σχολής σκέψης του Brouwer, που ονομάζονται ιντουισιονιστές, τους αφορούσε ιδιαίτερα η εμφάνιση των παραδόξων στη θεωρία συνόλων και οι πιθανές επιπτώσεις τους για το σύνολο των κλασικών μαθηματικών. Σε αντίθεση με τους λογικιστές, οι οποίοι δέχθηκαν τα περιεχόμενα των κλασικών μαθηματικών, οι ιντουισιονιστές δέχονταν μόνο τα μαθηματικά που θα μπορούσαν να αναπτυχθούν από τους φυσικούς αριθμούς προωθούμενα από τις διανοητικές δραστηριότητες των κατασκευαστικών αποδείξεων. Αυτή η προσέγγιση κάνει δυνατή την εις άτοπον απαγωγή.
Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα Τι είναι Μαθηματικά; Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα Η επιμονή στην κατασκευή τοποθετεί τα μαθηματικά των ιντουισιονιστών στην Αριστοτελική παράδοση. Αυτή η άποψη θεωρεί τη λογική ως ένα υποσύνολο των μαθηματικών. Τα επιτεύγματα των ιντουισιονιστών οδήγησαν σε μια σειρά θεωρημάτων και αντιλήψεων διαφορετικών από εκείνα των κλασικών μαθηματικών. Η τρίτη αντίληψη των μαθηματικών εμφανίζεται κοντά στην αρχή του 20ου αιώνα και είναι αυτή του φορμαλισμού. Η σχολή αυτή διαμορφώθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό David Hilbert. Οι απόψεις του Hilbert, όπως και αυτές του Brouwer, ήταν περισσότερο σύμφωνες με την Αριστοτελική παράδοση από ό, τι με τον Πλατωνισμό.
Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα Τι είναι Μαθηματικά; Απόψεις στα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα O φορμαλισμός θεμελιώθηκε με τις προσπάθειες να χαρακτηριστούν οι μαθηματικές ιδέες με τους όρους των τυπικών (Formal) αξιωματικών συστημάτων. Σημαντική πρόοδος σημειώθηκε σε διάφορους τομείς υπό την αιγίδα του φορμαλισμού πριν από τη διάλυσή της, ως αποτέλεσμα του άρθρου ορόσημου του Kurt Gödel το 1931. Ο Gödel (1931) διαπίστωσε ότι είναι αδύνατο στα αξιωματικά συστήματα του τύπου Hilbert που προτείνονται να αποδειχθούν τυπικά ότι το σύστημα είναι απαλλαγμένο από αντιφάσεις. Ο Gödel απέδειξε επίσης ότι είναι αδύνατο να διαπιστώσει τη συνέπεια ενός συστήματος που χρησιμοποιεί τη συνήθη λογική και θεωρία αριθμών, αν κάποιος χρησιμοποιεί μόνο τις κύριες έννοιες και μεθόδους από την παραδοσιακή θεωρία αριθμών.
Τι είναι Μαθηματικά; Η περιγραφή των Μαθηματικών ως μια αυστηρά δομημένης επιστήμης Η ομάδα Bourbaki (1949) To κίνημα των «Νέων Μαθηματικών» Έμφαση στη διδασκαλία και μάθηση της λογικής δομής των μαθηματικών
Πειραματική (ημι-εμπειρική) επαγωγική επιστήμη Τι είναι Μαθηματικά; Περιγραφή του τρόπου με τον οποίο οι μαθηματικοί «κατασκευάζουν» τα Μαθηματικά George Polya (1945) Πειραματική (ημι-εμπειρική) επαγωγική επιστήμη Οι μαθητικοί προχωρούν μέσω υποθέσεων, πειραμάτων, διαψεύσεων.
Τι είναι Μαθηματικά; Imre Lakatos (1976) Έστρεψε την προσοχή σε ερωτήματα σχετικά με τον τρόπο ανάπτυξης της μαθηματικής γνώσης , τη φύση της μαθηματικής εξήγησης και την επίλυση προβλήματος. Τα Μαθηματικά δεν είναι σώμα βέβαιων και σαφώς ορισμένων αληθειών, αλλά είναι διαψεύσιμα και ανασκευάσιμα.
Σύγχρονες οπτικές 1. Τα μαθηματικά αντικείμενα ανακαλύπτονται ή δημιουργούνται από τους ανθρώπους. 2. Δεν δημιουργούνται αυθαίρετα αλλά προκύπτουν από τη δραστικότητα με τα ήδη υπάρχουσα μαθηματικά αντικείμενα, και από τις ανάγκες της επιστήμης και της καθημερινής ζωής. 3. Μόλις δημιουργηθούν, τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν ιδιότητες οι οποίες είναι καλά προσδιορισμένες, τις οποίες μπορεί να έχουμε μεγάλη δυσκολία να ανακαλύψουμε, αλλά οι οποίες είναι διαθέσιμες ανεξάρτητα από τις γνώσεις μας γι αυτές. (Hersh, 1986, σ. 22)
Στόχοι της Μαθηματικής εκπαίδευσης Βασικός στόχος της Μαθηματικής Εκπαίδευσης είναι να αποκτήσουν οι μαθητές την ικανότητα να περιγράφουν και να ερμηνεύουν τον πραγματικό κόσμο και τον κόσμο των Μαθηματικών με μαθηματικούς όρους , δηλαδή τη δομική και λειτουργική αντίληψη των μαθηματικών εννοιών και διαδικασιών. Άλλος στόχος επίσης της διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι να δώσει την ευκαιρία στους μαθητές να «επινοήσουν» (να «επανεφεύρουν» τα Μαθηματικά μέσα από διαδικασίες «μαθηματικοποίησης» της πραγματικότητας.
Βιβλιογραφία Boyer, C. B. (1968). A history of Mathematics John Wiley & Sons. Inc New York, London, Sydney. Eves, H. (1981). Great moments in mathematics (after 1650), Washing ton, DC: Mathematical AsSOCiation of America. Gooel, K. (1931). Uberformal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatshefte for mathe matik und physik, 38, 173-198. Hersh, R (1986). Some proposals for reviving the philosophy of mathematics. In T. Tymoczko (Ed.), New directions in the philosophy of mathematics (pp. 9-28). Boston: Birkhiiuser. Κant Immanuel (1979). Κριτική του καθαρού λόγου. Εκδόσεις Παπαζήση. Αθήνα. Kline, M. (1972). Mathematical thought from ancient to modern times. New York: Oxford University Press.
Polya, G. (1998/1945). Πώς να το λύσω. Εκδ. Καρδαμίτσα. Αθήνα. Βιβλιογραφία Kline, M. (1985). Mathematics and the search for knowledge. New York: Oxford University Press. Korner, S. (1960). The philosophy of mathematics: An introduction. New York: Harper & Row. Polya, G. (1998/1945). Πώς να το λύσω. Εκδ. Καρδαμίτσα. Αθήνα. Whitehead, AN., & Russell, B. (1910-13). Principia mathematica (3 vols.). New York: Cambridge University Press.