Vaš prijedlog tema koje bi željeli odslušati? Rješavanje nejednadžbi Rad s učenicima koji imaju poteškoća: disleksija, disgrafija, ADHD Grafička metoda u rješavanju zadataka Vjerojatnost Metoda umnoška u rješavanju zadataka Analitička geometrija na natjecanjima Teme s natjecanja i još neke aktualne teme školstva Sve mi je zanimljivo Kombinatorika Postotni račun - zadaci s natjecanja Proporcionalnost Logički zadaci Kombinatorni zadaci i zadaci s prebrojavanjem na natjecanjima Sukladnost i sličnost Geometrija Geometrija, zadaci s dokazom (Dokaži…) Nešto iz područja geometrije (površine likova) Npr. Geometrijski zadaci nadopunjavanjem skice Sličnost i sukladnost Geometrijski zadaci s „Dokaži“ u 7. i 8. razredu s natjecanja Sukladnost trokuta u zadacima s natjecanja Zadaci iz geometrije (korištenje pomoćnih likova) Geometrijski dokazi Geometrijski zadaci Geometrijski zadaci s natjecanja Sličnost trokuta

DOCRTAVANJE

„Na koju foru se ovoga dosjetiti?” Već viđeno? Nadobudno pokušavate sami riješiti geometrijski zadatak s natjecanja… Nakon pola sata odustajete i odlučite baciti pogled na rješenje  Rješenje započinje rečenicom: „Docrtajmo…” I onda sve dalje klizi… sukladno, okomito, slično, paralelno… Sve vam je jasno osim odgovora na pitanje: „Na koju foru se ovoga dosjetiti?”

TRAPEZ

Zadatak 1: Državno natjecanje 2011. 7. razred Površina jednakokračnog trapeza iznosi 100 cm 2 , a njegova visina 10 cm. Odredi veličinu kuta između dijagonala trapeza.

Površina jednakokračnog trapeza iznosi 100 cm 2 , a njegova visina 10 cm. Odredi veličinu kuta između dijagonala trapeza. D c C P = 𝑎+𝑐 2 ∙𝑣 a a+c = 20 BECD paralelogram a b b Trokut AEC jednakokračan s osnovicom duljine a+c 10 Visina na osnovicu raspolavlja osnovicu i kut nasuprot nje Trokut ANC jednakokračan pravokutan pa je α/2=45⁰ tj. α=90⁰ B c E A 10 a N

Zadatak 2: Županijsko natjecanje 2008. 8. razred Zadan je trapez s okomitim dijagonalama. Kolika je duljina srednjice trapeza ako su duljine dijagonala 2.5 cm i 6 cm?

Zadan je trapez s okomitim dijagonalama Zadan je trapez s okomitim dijagonalama. Kolika je duljina srednjice trapeza ako su duljine dijagonala 2.5 cm i 6 cm? 𝑎+𝑐 2 = ? D c C BECD paralelogram d b Trokut AEC pravokutan s katetama duljina 2.5 cm i 6 cm i hipotenuzom a+c. 𝑎+𝑐 2 = 2.5 2 + 6 2 𝑎+𝑐 2 = 3.25 A a B c E

Zadatak 3: Županijsko natjecanje 2016. 8. razred Dijagonala 𝐴𝐶 trapeza ABCD ima duljinu 13 cm. Za mjerne brojeve druge dijagonale (d) i visine trapeza (v) vrijedi jednadžba 𝑑 2 + 𝑣 2 −30𝑑−24𝑣+369=0. Izračunaj površinu trapeza ABCD.

Zašto baš tako? Prije: „razbacani” zadani elementi Poslije: „savršen” trokut D D c c C C α α f e d d b b s e f v v A a B A 2s B

Trokut 30⁰-60⁰-90⁰

Zadatak 4: Županijsko natjecanje 2016. 7. razred U trokutu ABC poznate su duljine dviju stranica |AB| = 9 dm, |BC| = 6 dm i veličina kuta između njih ∢𝐴𝐵𝐶 =120°. Simetrala kuta ABC siječe stranicu 𝐴𝐶 u točki D. Izračunaj duljinu dužine 𝐵𝐷 .

U trokutu ABC poznate su duljine dviju stranica |AB| = 9 dm, |BC| = 6 dm i veličina kuta između njih ∢𝐴𝐵𝐶 =120°. Simetrala kuta ABC siječe stranicu 𝐴𝐶 u točki D. Izračunaj duljinu dužine 𝐵𝐷 . A Trokut AEB jednakostraničan <𝐵𝐸𝐴 =60° 9 𝐸𝐴∥𝐵𝐷 9 D ∆𝐸𝐶𝐴~∆𝐵𝐶𝐷 x 60⁰ 𝑥:9=6:15 ⇒𝑥=3.6 60⁰ 60⁰ 120⁰ 60⁰ E 9 6 B C

Zadatak 5: Županijsko natjecanje 2011. 7. razred Zadan je tupokutan trokut ABC (C je vrh tupog kuta). Neka je točka P polovište stranice 𝐴𝐵 i neka je ∢𝑃𝐶𝐴 =90°, ∢𝐵𝐶𝑃 =30° i 𝐴𝐶 =3 cm. Odredi duljinu stranice 𝐵𝐶 .

Zadan je tupokutan trokut ABC (C je vrh tupog kuta) Zadan je tupokutan trokut ABC (C je vrh tupog kuta). Neka je točka P polovište stranice 𝐴𝐵 i neka je ∢𝑃𝐶𝐴 =90°, ∢𝐵𝐶𝑃 =30° i 𝐴𝐶 =3 cm. Odredi duljinu stranice 𝐵𝐶 . B Spustimo okomicu iz B na AC c/2 Trokut ECB ima kutove 30⁰ - 60⁰ - 90⁰ P 𝐸𝐶 = 𝑥 2 x c/2 ∆𝐸𝐴𝐵~∆𝐶𝐴𝑃 30⁰ 𝑥 2 +3 :3=𝑐 : 𝑐 2 ⇒𝑥=6 60⁰ E x/2 3 C A

Zadan je tupokutan trokut ABC (C je vrh tupog kuta) Zadan je tupokutan trokut ABC (C je vrh tupog kuta). Neka je točka P polovište stranice 𝐴𝐵 i neka je ∢𝑃𝐶𝐴 =90°, ∢𝐵𝐶𝑃 =30° i 𝐴𝐶 =3 cm. Odredi duljinu stranice 𝐵𝐶 . 3 E B Nadopunimo trokut ABC do paralelograma BCAE c/2 Trokut BEC ima kutove 30⁰ - 60⁰ - 90⁰ P 𝐴𝐶 =6 x c/2 30⁰ 3 C A

Zadatak 6: Državno natjecanje 2010. 7. razred Dan je četverokut ABCD tako da je 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 , ∢𝐴𝐷𝐶 =90° , 𝐴𝐵 =10 cm, 𝛼:𝛽:𝛾=5:5:8. Izračunaj površinu četverokuta ABCD.

Dan je četverokut ABCD tako da je 𝑨𝑫 = 𝑫𝑪 , ∢𝑨𝑫𝑪 =𝟗𝟎° , 𝑨𝑩 =𝟏𝟎 cm, 𝜶:𝜷:𝜸=𝟓:𝟓:𝟖. I𝐳𝐫𝐚č𝐮𝐧𝐚𝐣 𝐩𝐨𝐯𝐫š𝐢𝐧𝐮 č𝐞𝐭𝐯𝐞𝐫𝐨𝐤𝐮𝐭𝐚 ABCD. Iz omjera dobivamo kutove 𝛼 = β =75⁰, γ = 120⁰ x D C Nacrtajmo dijagonalu 𝐴𝐶 45⁰ 120⁰ 75⁰ 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 pa je trokut ACD jednakokračan pravokutan 10 5 75⁰ B x Trokut ABC jednakokračan E 45⁰ 30⁰ Tek sad postaje zanimljivo!  75⁰ 10 Spustimo okomicu 𝐶𝐸 na 𝐴𝐵 A Trokut AEC ima kutove 30⁰- 60⁰- 90⁰, pa je 𝐸𝐶 =5 cm Trokut ACD je četvrtina kvadrata sa stranicom 10, pa je njegova površina 25 cm 2 Trokut ABC ima osnovicu 10 i pripadnu visinu 5, pa je njegova površina 25 cm 2 Površina četverokuta ABCD je 50 cm 2

Zadatak 7: Državno natjecanje 2010. 8. razred U trokutu ABC je ∢𝐴𝐵𝐶 =45°. Na stranici 𝐵𝐶 dana je točka D takva da je 𝐶𝐷 =2 𝐵𝐷 i ∢𝐵𝐷𝐴 =120°. Odredi veličine kutova trokuta ABC.

U trokutu ABC je ∢𝐴𝐵𝐶 =45°. Na stranici 𝐵𝐶 dana je točka D takva da je 𝐶𝐷 =2 𝐵𝐷 i ∢𝐵𝐷𝐴 =120°. Odredi veličine kutova trokuta ABC. Ovo znamo! Što ćemo docrtati? A Trokut DCE ima kutove 30⁰- 60⁰- 90⁰, pa je 𝐷𝐸 =𝑥 Trokut BDE je jednakokračan, pa su kutovi uz osnovicu 30⁰ 15⁰ E Dalje klizi…  x 45⁰ 120⁰ 60⁰ C B x D 2x

Sastavi…

Zadatak 8: Općinsko natjecanje 2016. 8. razred Odredi površinu kvadrata na slici. 20 16

Zadatak 9: Državno natjecanje 2008. 8. razred Zadan je pravokutnik ABCD takav da je |AB|=3|BC|. Na stranici 𝐴𝐵 dana je točka P takva da je 𝐴𝑃 = 1 3 𝐴𝐵 . Dokaži da je ∢𝐶𝐴𝐵 + ∢𝐶𝑃𝐵 =45°.

Trokut AEC jednakokračan pravokutan! Zadan je pravokutnik ABCD takav da je |AB|=3|BC|. Na stranici 𝐴𝐵 dana je točka P takva da je 𝐴𝑃 = 1 3 𝐴𝐵 . Dokaži da je ∢𝐶𝐴𝐵 + ∢𝐶𝑃𝐵 =45°. D C Dokaži da je α + β = 45⁰ β x Trokut AEC jednakokračan pravokutan! α β A x B P β 2x 90⁰-β x x β 90⁰-β 2x E x

…ili rastavi

Zadatak 10: Državno natjecanje 2014. 7. razred Zadan je jednakostranični trokut ABC. Na produžetku stranice 𝐴𝐵 preko vrha B odabrana je točka D, a na produžetku stranice 𝐶𝐵 preko vrha B odabrana je točka E tako da je 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 . Dokaži da je 𝐴𝐷 = 𝐵𝐸 .

Zadan je jednakostranični trokut ABC Zadan je jednakostranični trokut ABC. Na produžetku stranice 𝐴𝐵 preko vrha B odabrana je točka D, a na produžetku stranice 𝐶𝐵 preko vrha B odabrana je točka E tako da je 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 . Dokaži da je 𝐴𝐷 = 𝐵𝐸 . C Dokaži da je 𝐴𝐷 = 𝐵𝐸 60⁰ α y a a Stranice u sukladnim trokutima? 60⁰ 60⁰ 120⁰ D Hint: podijelimo dužinu 𝐴𝐷 na dva dijela: 𝐴𝐵 i 𝐵𝐷 A a 60⁰ B 60⁰ Što ćemo docrtati? 120⁰ F y ∆𝐹𝐸𝐷≅∆𝐵𝐶𝐷⇒ 𝐹𝐸 = 𝐵𝐶 α E

Zadatak 11: Županijsko natjecanje 2007. 8. razred Dan je jednakokračan trokut ABC kojem je kut ∢ACB = 108⁰. Simetrala kuta ∢BAC siječe krak 𝐵𝐶 u točki E. Ako je točka D nožište visine iz vrha C na osnovicu 𝐴𝐵 trokuta ABC, onda je |AE|=2|CD|. Dokaži.

Dan je jednakokračan trokut ABC kojem je kut ∢ACB = 108⁰ Dan je jednakokračan trokut ABC kojem je kut ∢ACB = 108⁰. Simetrala kuta ∢BAC siječe krak 𝐵𝐶 u točki E. Ako je točka D nožište visine iz vrha C na osnovicu 𝐴𝐵 trokuta ABC, onda je |AE|=2|CD|. Dokaži. Dokaži: |AE|=2|CD| C Hint: podijeli… 108⁰ 54⁰ 54⁰ E 54⁰ b Neka je točka P polovište dužine 𝐴𝐸 b P 54⁰ Dokažimo: |PE|=|CD| 18⁰ 54⁰ 18⁰ 36⁰ 36⁰ SKS ⇒ ∆ ADP ~ ∆ ABE A c/2 c/2 B D

Domaća zadaća: Državno natjecanje 2016. 7. razred, 4. zadatak Županijsko natjecanje 2012. 7. razred, 5. zadatak Državno natjecanje 2006. 7. razred, 5. zadatak Državno natjecanje 2009. 7. razred, 5. zadatak Državno natjecanje 2003. 7. razred, 5. zadatak Državno natjecanje 2012. 7. razred, 5. zadatak

Za kraj… Tko razumije geometriju posjeduje moć razumijevanja svijeta. Galileo Galilei HVALA! Maja