Mehanika Fluida Strujanje neviskoznih fluida, Nerotaciono strujanje, Dvodimenzionalno strujanje, Strujna funkcija i potencijal brzina, Superpozicija

Sadržaj predmeta: Uvod. Osnovni principi i pojmovi Svojstva fluida Fluidi u mirovanju (statika fluida) Strujanje fluida (kinematika fluida) Opisivanje strujanja fluida primenom koncepta kontrolne (konačne) zapremine (integralni oblici zakona o održanju mase, energije i količine kretanja) Diferencijalna analiza strujanja fluida (zakoni o održanju mase i količine kretanja, strujna funkcija, Košijeva i Navier-Stoksova jednačina) Dimenziona analiza i teorija sličnosti Strujanje neviskoznih fluida, Nerotaciono strujanje, Dvodimenzionalno strujanje, Strujna funkcija i potencijal brzina, Superpozicija Strujanje viskoznih fluida u cevi. Laminarno i turbulentno strujanje. Koncept graničnog sloja Osnovni pojmovi računarske dinamike fluida

8 Strujanje neviskoznih fluida Ojlerova jednačina Bernulijeva jednačina Nerotaciono strujanje Dvodimenzionalno strujanje Strujna funkcija i potencijal brzina Superpozicija Strujanje oko cilindra

Strujanje neviskoznih fluida, Ojlerova jednačina Izveli smo Košijevu i Navier-Stoksovu jednačinu kao osnovne jednačine kretanja fluida: 𝜕 𝜕 𝑡 𝜌 𝑉 + 𝛻 ⋅ 𝜌 𝑉 𝑉 =𝜌 𝑔 + 𝛻 ⋅ 𝜎 𝑖𝑗 Košijeva jednačina 𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 +𝜇 𝛻 2 𝑉 Navier-Stoksova jednačina Uvođenje određenih aproksimacija olakšava rešavanje NS jednačina. Najveći problem pri rešavanju predstavlja član jednačine koji uključuje tenzor napona. Međiutim, za neke fluide možemo uvesti da je strujanje neviskozno. Strujanje neviskoznih fluida ≠ Fluid bez viskoznosti. Razmatramo strujanje fluida u oblastima kojima su viskozne sile zanemarljive u odnosu na inercione sile i sile pritiska. Tada možemo zanemariti član u NS jednačini koji se odnosi na viskozne sile. 𝑍𝑎𝑛𝑒𝑚𝑎𝑟𝑙𝑗𝑖𝑣𝑜 𝜌 𝜕 𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 ⋅ 𝛻 𝑉 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 +𝜇 𝛻 2 𝑉 sledi 𝜌 𝐷 𝑉 𝐷𝑡 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 Ojlerova jednačina kretanja

Strujanje neviskoznih fluida, Ojlerova jednačina Ojlerova jednačina (OJ aproksimacija) primenjiva je oblastima strujanja gde je velika vrednost Rejnoldsovog broja, tj. gde su viskozne sile zanemarljive u odnosu na inercione sile (dalje od zidova i vrtložnih tragova). OJ nije primenjiva za opisivanje graničnog sloja (strujanje u blizini zida, viskoznost ima uticaja) Izraz koji smo zanemarili u NS jednačini je zapravo i najkomplikovaniji, jer je najvišeg reda. Ovim smo smanjili potrebe za definisanjem velikog broja graničnih uslova i olakšali rešavanje. Rešavanje se vrši za celu oblast iako smo napomenuli da OJ ne može važiti za granični sloj. (za taj deo strujanja ne dobijamo smislena rešenja). Određenim postupkom OJ se ipak može primeni ti za GS. OJ i dalje u sebi sadrži parcijalne izvode brzine i nije moguće izvesti opšte rešenje jednačine. Međutim, za određena pojednostavljenja mogu se izvesti analitički izrazi strujanja. Integracijom i preuređivanjem OJ po strujnoj liniji možemo izvesti Bernulijevu jednačinu (vezu između pritiska, brzine i visine neviskoznog fluida): Neviskozno strujanje Nestišljiv fluid Stacionano Duž strujne linije 𝜌 𝜕 𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 ⋅ 𝛻 𝑉 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 𝑝𝑜 𝑠𝑡𝑟𝑢𝑗𝑛𝑖𝑐𝑖 sledi 𝑃 𝜌 + 𝑉 2 2 +𝑔𝑧=𝐶 Važi OJ Ne važi OJ Ne važi OJ, granični sloj

Nerotaciono strujanje fluida Sledeća aproksimacija koju možemo uvesti u NS jednačinu je da delići fluida ne rotiraju tj. da ne postoji vrtložnost fluida. Da se podsetimo vrtložnosti: 𝑦 𝑥 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 Za nerotaciono strujanje (oblasti nerotacionog strujanja) mora da važi: 𝜁 = 𝛻 × 𝑉 ≅0 ili 𝜔 = 1 2 𝛻 × 𝑉 ≅0 Možemo da napišemo izraz za ugaonu brzinu: 𝜔 = 1 2 𝜕𝑤 𝜕𝑦 − 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝑖 + 1 2 𝜕𝑢 𝜕𝑧 − 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝑗 + 1 2 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑘 Jasno je da će 𝜔 =0, ako je svaki član jednak nuli, odnosno: 𝜕𝑤 𝜕𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑧 = 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜁 = 𝛻 × 𝑉 𝜔 = 1 2 𝛻 × 𝑉 = 1 2 𝜁 𝜁 𝑥𝑦 𝜁 , 𝜔 =0 𝜁 , 𝜔 =0 𝜁 , 𝜔 ≠0 U opštem slučaju opisivanja strujanja fluida, postoje obe oblasti.

Nerotaciono strujanje fluida, potencijal brzina Zaključili smo da za nerotaciono strujanje važi da je rotor vektora brzine jednak nuli: 𝛻 × 𝑉 =0 Poznato je u matematici da rotor gradijenta nekog skalarnog polja 𝜙 mora biti jednak nuli. Odnosno: 𝛻 × 𝛻 𝜙=0 Za nerotaciono strujanje sledi: 𝑉 = 𝛻 𝜙 Gde je 𝜙 skalar koji se naziva potencijal brzina. Po komponentama brzine dobijamo (strujnu funkciju smo pisali u dve koordinate, potencijal brzine možemo u sve tri): 𝑢= 𝜕𝜙 𝜕𝑥 ;𝑣= 𝜕𝜙 𝜕𝑦 ;𝑤= 𝜕𝜙 𝜕𝑧 Ukoliko je strujanje nestišljivo tada važi jednačina kontinuiteta u sledećem obliku: 𝛻 ⋅ 𝑉 =0 Ako uvrstimo potencijal brzina dobijamo: 𝛻 ⋅ 𝛻 𝜙=0 𝜵 𝟐 𝝓=𝟎 Izvedena jednačina se naziva Laplasova jednačina. Ona važi u oblastima nestišljivog, neviskoznog i nerotacionog strujanja. U mehanici fluida se strujanje gde važi Laplasova jednačina naziva potencijalno strujanje! 𝛻 2 - Laplasijan 𝜕 2 𝜙 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝜙 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝜙 𝜕 𝑧 2 =0

Nerotaciono strujanje fluida, potencijal brzina Možemo uslov potencijalnog strujanja (Laplasovu jednačinu) uvrstiti u NS jednačinu: 𝜌 𝜕 𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 ⋅ 𝛻 𝑉 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 +𝜇 𝛻 2 𝑉 𝜇 𝛻 2 𝑉 =𝜇 𝛻 2 𝛻 𝜙 =𝜇 𝛻 𝛻 2 𝜙 =0 𝜌 𝜕 𝑉 𝜕𝑡 + 𝑉 ⋅ 𝛻 𝑉 =− 𝛻 𝑃+𝜌 𝑔 Za nerotaciono strujanje dobijamo isti izraz kao i za strujanje neviskoznih fluida tj. dobijamo Ojlerovu jednačinu. Način izvođenja je sada različit, jer nismo zanemarivali viskozne sile već smo smatrali da fluid struji nerotaciono. Oblast nerotacionog strujanja je oblast u kome su viskozne sile zanemarljive u odnosu na sile pritiska i inercione sile. Sve nerotacione oblasti se smatraju i „neviskoznim“, ali nisu sve „neviskozne“ oblasti nerotacione. U oba slučaja fluid ima svoju viskoznost. 𝛻 2 𝜙=0 Ojlerova jednačina kretanja Važi OJ Ne važi OJ, vrtloženje Ne važi OJ, granični sloj Važi OJ, daleko od površine

Dvodimenzionalno strujanje (strujanje u ravni, planarno) Ukoliko razmatramo strujanje u dve koordinate (x,y) možemo rešiti jednačine za nerotaciono strujanje dobijanjem vrednosti za potencijal brzina i strujnu funkciju. Dvodimenzionalno strujanje može biti strujanje u ravni – dekartov i cilindrični koordinatni sistem (2D planar flow) i aksisimetrično strujanje (2D axisymmetric flow). Strujanje u ravni nema značajne promene po pravcu normalnom na površinu strujanja. Aksisimetrija podrazumeva analizu oko ose simetrije - rotacije. Možemo definisati potencijal brzina 𝜙 i strujnu funkciju 𝜓 za xy: Strujna funkcija 𝜓: 𝑢= 𝜕𝜓 𝜕𝑦 ;𝑣=− 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑦 𝑥 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 Potencijal brzina 𝜙 : 𝜁 𝑧 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 =0 𝑢= 𝜕𝜙 𝜕𝑥 ;𝑣= 𝜕𝜙 𝜕𝑦 −𝜕 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕𝑥 − 𝜕 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝜕𝑦 =0 𝛻 2 𝜙= 𝜕 2 𝜙 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝜙 𝜕 𝑦 2 =0 𝜁 𝑧 𝑥𝑦 𝜁 𝑧 =0 𝛻 2 𝜓= 𝜕 2 𝜓 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝜓 𝜕 𝑦 2 =0

Dvodimenzionalno strujanje (strujanje u ravni, planarno) Strujanje i koordinatni sistem Komponenta brzine 1 Komponenta brzine 2 U ravni Dekartov koordinatni sistem 𝑢= 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝜕𝜙 𝜕𝑥 𝑣=− 𝜕𝜓 𝜕𝑥 = 𝜕𝜙 𝜕𝑦 Cilindrični koordinatni sistem 𝑉 𝑟 = 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝜃 = 𝜕𝜙 𝜕𝑟 𝑉 𝜃 =− 𝜕𝜓 𝜕𝑟 = 1 𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝜃 Aksisimetrično 𝑉 𝑟 =− 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑧 = 𝜕𝜙 𝜕𝑟 𝑉 𝑧 = 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑟 = 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝑦 𝑦 𝑉 𝑉 𝑣 𝑉 𝜃 𝑉 𝑟 𝑥 𝑗 𝑥 𝑒 𝜃 𝑖 𝑢 𝑒 𝑟 𝑟 𝑦 𝑦 𝜃 𝑥 𝑥 Dekartov Cilindrični 𝑧 𝑉 𝑧 𝜃 𝑉 𝑟 𝑟 𝑦 Aksisimetrično strujanje ne sadrži u sebi ugaonu koordinatu iako se radi o cilindričnom koordinatnom sistemu. Razlog je taj što z osa predstavlja osu oko koje vektor r rotira i na taj način formira simetrično 3D telo, ali sa dvodimenzionalnim koordinatama (2D aksisimetrija-cev, oblik kapi, vaza…) 𝑧 𝑥

Dvodimenzionalno strujanje (strujanje u ravni, planarno) Linije konstantne vrednosti strujne funkcije (𝜓=const) predstavljaju strujne linije, dok konstantne vrednosti za potencijal brzina (𝜙=const) predstavljaju ekvipotencijalne linije. Te linije se seku pod pravim uglom. Takve funkcije se nazivaju harmonijskim funkcijama. (slika) Iako postoji veza između 𝜙 i 𝜓 , njihovo poreklo je potpuno različito. Možemo reći da su to komplementarne funkcije strujanja fluida. To se najbolje vidi iz načina na koje su dobijene te funkcije i njihova Laplasova funkcija 𝛻 2 : Strujna funkcija je izvedena iz jednačine kontinuiteta; Laplasova jednačina za 𝜓 proizilazi iz uslova nerotacionog strujanja Potencijal brzina je izveden iz uslova nerotacionog strujanja; Laplasova jednačina za 𝜙 proizilazi iz jednačine kontinuiteta. 90 ∘ V 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 𝜓 4 𝜙 1 𝜙 2 𝜙 3 𝜙 4 𝜙 5 𝜙 6

Dvodimenzionalno strujanje (strujanje u ravni, planarno) Laplasova jednačina je linearna homogena diferencijalna jednačina. To znači da možemo sabirati rešenja jednostavnijih komponenata strujanja u cilju dobijanja rešenja za komplikovanije (realnije i korisnije) strujanje. To važi za 𝜙 i 𝜓 . Ovo činjenica je veoma korisna, jer definisanjem jednostavnih strujanja (gradivnih blokova) možemo opisati složenija strujanja koja su od većeg interesa za primenu pri rešavanju kompleksnijih problema. Ovaj postupak se naziva superpozicija strujanja. 𝜙 4 , 𝜓 4 𝜙= 𝜙 1 + 𝜙 2 + 𝜙 3 + 𝜙 4 𝜓= 𝜓 1 + 𝜓 2 + 𝜓 3 + 𝜓 4 𝜙 3 , 𝜓 3 𝜙 1 , 𝜓 1 𝜙 2 , 𝜓 2 Navešćemo i definisati četiri osnovna tipa strujanja (gradivna bloka): Uniformno strujanje Linearni izvor ili ponor Linearni vrtlog, vir Linearni izvor i ponor istog intenziteta, Dvopol – (“Dublet” eng. Doublet)

Dvodimenzionalno strujanje (strujanje u ravni, planarno) Uniformno strujanje Pretpostavimo da fluid uniformno struji brzinom V paralelno sa osom x sa leva na desno. Izvodimo izraz za strujnu funkciju 𝜓 i potencijal brzina 𝜙 u dekartovom koordinatnom sistemu (tabela, slajd 9): 𝑉 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 − 𝜓 1 − 𝜓 2 𝜓=0 −𝜙 1 −𝜙 2 𝜙=0 𝜙 1 𝜙 2 𝜙 3 𝑦 𝑢= 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝜕𝜙 𝜕𝑥 =𝑉 𝑣=− 𝜕𝜓 𝜕𝑥 = 𝜕𝜙 𝜕𝑦 =0 𝜓=𝑉𝑦 𝜙=𝑉𝑥 𝑉 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 − 𝜓 1 − 𝜓 2 𝜓=0 −𝜙 1 −𝜙 2 𝜙=0 𝜙 1 𝜙 2 𝜙 3 𝑥 𝑦 Strujanje pod uglom α: 𝑥 𝜓=𝑉(𝑦 cos 𝛼 −𝑥 sin 𝛼 ) 𝜙=𝑉(𝑥 cos 𝛼 +𝑦 sin 𝛼 ) Cilindrični koordinatni sistem: 𝜓=𝑉𝑟 sin 𝜃 𝜙=𝑉𝑟 cos 𝜃

Dvodimenzionalno strujanje (strujanje u ravni, planarno) Linearni izvor ili ponor (izviranje i uviranje iz tačke) Pretpostavimo liniju dužine L paralelnu sa z osom iz koje uniformno izvire fluid protokom 𝒱 u svim pravcima normalno na tu liniju. Odnos 𝒱 𝐿 nazivamo jačina linearnog izvora. U slučaju uviranja/ponora taj odnos je negativan. 𝑥 𝑦 Fluid mora da protekne kroz krug prečnika koji opisuje izvor. 𝒱 𝐿 =2𝜋𝑟 𝑉 𝑟 𝑉 𝑟 = 𝒱 /𝐿 2𝜋𝑟 𝑉 𝜃 =0 Vrednost ugaone brzine je očigledno nula 𝑧 𝑉 𝑟 𝑉 𝑟 = 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝜃 = 𝜕𝜙 𝜕𝑟 = 𝒱 /𝐿 2𝜋𝑟 𝑉 𝜃 =− 𝜕𝜓 𝜕𝑟 = 1 𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝜃 =0 𝑟 𝜃 Cilindrični koordinatni sistem 𝒱 𝐿 𝜙= 𝒱 /𝐿 2𝜋 ln 𝑟⁡ 𝜓= 𝒱 /𝐿 2𝜋 𝜃 Ukoliko je izvor u koordinatnom početku: Vidimo da vrednost strujne funkcije zavisi od ugla. To su vektori usmereni iz koordinatnog početka. Potencijal brzine zavisi samo od r. To su koncentrični krugovi oko koordinatnog početka.

Dvodimenzionalno strujanje (strujanje u ravni, planarno) Linearni vrtlog, vir Fluid struji oko tačke jačinom vrtloženja (cirkulacijom) Γ. Vrednost brzine fluida u pravcu r je jednaka nuli. Ugaona brzina se može izraziti preko r i Γ: 𝑥 𝑦 𝑉 𝜃 𝑉 𝑟 = 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝜃 = 𝜕𝜙 𝜕𝑟 =0 𝑉 𝜃 =− 𝜕𝜓 𝜕𝑟 = 1 𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝜃 = Γ 2𝜋𝑟 Cilindrični koordinatni sistem 𝜃 𝜙= Γ 2𝜋 𝜃 𝜓=− Γ 2𝜋 ln⁡𝑟 Γ Ukoliko je izvor u koordinatnom početku: Možemo uočiti da je problem „obrnut“ od izvora u smislu zanemarivanja jedne komponente brzine i dobijenih izraza za strujnu funkciju i potencijal brzina. Jednačine za izvor/ponor i vrtlog možemo koristiti i za tačke (poreklo) van koordinatnog početka (koje su pomerene na koordinate ( 𝑟 1 , 𝜃 1 ) odnosno za dužinu a po x osi i za dužinu b po y osi). Potrebno je samo trigonometrijski izraziti nove, pomerene koordinate: 𝑥 𝑦 𝑥 𝑟 1 𝑟 1 = 𝑥−𝑎 2 + 𝑦−𝑏 2 𝜃 1 =atan⁡ 𝑦−𝑏 𝑥−𝑎 𝑎 𝜃 1 𝑟 𝑦 Γ 𝜃 𝑏

Dvodimenzionalno strujanje (strujanje u ravni, planarno) Linearni izvor i ponor istog intenziteta. Dvopol – (“Dublet” eng. Doublet) Zamislimo izvor i ponor istog intenziteta na x osi i na udaljenosti a od koordinatnog početka. Za izvor i ponor važi: 𝜓= 𝒱 /𝐿 2𝜋 𝜃 𝜙= 𝒱 /𝐿 2𝜋 ln⁡𝑟 tan 𝜃 1 = 𝑟 sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃 −𝑎 tan 𝜃 2 = 𝑟 sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃 +𝑎 𝑥 𝑦 𝑟 2 𝑟 1 𝜓= 𝜓 1 + 𝜓 2 = − 𝒱 /𝐿 2𝜋 𝜃 1 + 𝒱 /𝐿 2𝜋 𝜃 2 =− 𝒱 /𝐿 2𝜋 𝜃 1 − 𝜃 2 𝑟 Superpozicija: 𝜃 2 𝜃 1 𝜃 𝜓= − 𝒱 𝐿 𝑎𝑟 sin 𝜃 𝜋 𝑟 2 − 𝑎 2 𝜓= − 𝒱 /𝐿 2𝜋 tan −1 2𝑎𝑟 sin 𝜃 𝑟 2 − 𝑎 2 Za male vrednosti a: 𝑎 𝑎 Dvopol – (“Dublet” eng. Doublet) Dvopol nastaje kada rastojanje 𝑎→0 , a intenzitet izvora i ponora 𝒱 /𝐿 teži ∞. Tada član 𝒱 𝐿 𝑎𝑟/𝜋 teži nekoj konstanti K, a količnik 𝑟 𝑟 2 − 𝑎 2 teži 1/r. Kada uvrstimo ove izraze u izraz za strujnu funkciju dobijamo: 𝜓= −𝐾 sin 𝜃 𝑟 𝜙= 𝐾 cos 𝜃 𝑟 Slično izvodimo i potencijal brzina:

Dvodimenzionalno strujanje (strujanje u ravni, planarno) Linearni izvor i ponor istog intenziteta. Dvopol – (“Dublet” eng. Doublet) 𝑥 𝑦 −𝜓 −−𝜙 Dvopol 𝑥 𝑦 𝑎 𝑎→0 𝒱 /𝐿 →∞ Linearni izvor i ponor istog intenziteta

Dvodimenzionalno strujanje (strujanje u ravni, planarno) Izvedeni izrazi za osnovna strujanja kao što su izvor/ponor, dvopol nemaju realnog smisla i primenu. Međutim ukoliko se kombinuju (superpozicijom – sabiranjem rešenja) sa vrtloženjem ili uniformnim tokom dobijaju se praktična rešenja. Neke kombinacije jednostavnih strujanja su date u tabeli: Komponente Opis Izraz za strujnu funkciju Izvor i uniformno strujanje Strujanje preko polovine tela 𝜓= 𝑉 ∞ 𝑟 sin 𝜃 + 𝒱 /𝐿 2𝜋 𝜃 Izviranje, uviranje i uniformno strujanje Rankinovo strujanje preko oblih tela 𝜓= 𝑉 ∞ 𝑟 sin⁡(𝜃)− 𝒱 /𝐿 2𝜋 𝜃 1 − 𝜃 2 Dvopol i uniformno strujanje Strujanje oko beskonačno dugačkog cilindra 𝜓= 𝑉 ∞ 𝑟 sin 𝜃 − 𝐾 sin 𝜃 𝑟

Primer strujanja oko cilindra Strujanje oko cilindra prečnika R predstavlja superpoziciju uniformnog strujanja brzine V i dvopola jačine K pozicioniranog u koordinatnom početku tj. centru cilindra. Dakle, strujnu funkcije ćemo formirati superpozicijom ta dva gradivna bloka. 𝜓= 𝜓 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑛𝑜 + 𝜓 𝑑𝑣𝑜𝑝𝑜𝑙 = 𝑉 ∞ 𝑟 sin 𝜃 − 𝐾 sin 𝜃 𝑟 𝜓= 𝑉 ∞ sin 𝜃 𝑟− 𝑅 2 𝑟 𝜓=0, 𝑟=𝑅 sledi 𝐾=𝑉 𝑅 2 Radi predstavljanja strujnih linija pogodno je izvedenu jednačinu prevesti u bezdimenzionlni oblik: 𝑥 𝑦 𝜓− 𝜙−− 𝑟 ∗ =1 𝜓=0 𝑉 ∞ 𝜓 ∗ = sin 𝜃 𝑟 ∗ − 1 𝑟 ∗ 𝑟 ∗ = 𝜓 ∗ ± 𝜓 ∗ 2 +4 sin 2 𝜃 2 sin 𝜃 𝜓 ∗ = 𝜓 𝑉 ∞ 𝑅 , 𝑟 ∗ = 𝑟 𝑅 𝜙 ∗ = cos 𝜃 𝑟 ∗ + 1 𝑟 ∗ Slično izvodimo i potencijal brzina: 𝑟 ∗ = 𝜙 ∗ ± 𝜙 ∗ 2 −4 cos 2 𝜃 2 cos 𝜃

Primer strujanja oko cilindra Možemo odrediti i kako se pritisak menja duž površine cilindra. Pogodno je uvesti bezdimenzionalni pritisak preko koeficijenta pritiska 𝐶 𝑃 . 𝐶 𝑃 = 𝑃− 𝑃 ∞ 1 2 𝜌 𝑉 ∞ 2 Pošto se radi o nerotacionom strujanju možemo postaviti Bernulijevu jednačinu za fluid koji uniformno struji daleko od sfere i za površinu sfere: Podsetnik: 𝑃 𝜌 + 𝑉 2 2 = 𝑃 ∞ 𝜌 + 𝑉 ∞ 2 2 𝐶 𝑃 =1− 𝑉 2 𝑉 ∞ 2 𝑉 𝜃 =− 𝜕𝜓 𝜕𝑟 = 1 𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝜃 𝜓= 𝑉 ∞ sin 𝜃 𝑟− 𝑅 2 𝑟 𝑉 2 = 𝑉 𝜃 2 =4 𝑉 ∞ 2 sin 2 𝜃 𝑉 𝑟 = 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝜃 = 𝜕𝜙 𝜕𝑟 𝜙= 𝑉 ∞ cos 𝜃 𝑟+ 𝑅 2 𝑟 𝑥 𝑦 𝐶 𝑃 =1− 4 𝑉 ∞ 2 sin 2 𝜃 𝑉 ∞ 2 =1−4 sin 2 𝜃 𝑉 𝑟 = 𝑉 ∞ sin 𝜃 1− 𝑅 2 𝑟 2 𝑉 𝜃 = −𝑉 ∞ sin 𝜃 1+ 𝑅 2 𝑟 2 𝛽=𝜋−𝜃 Kada je r=R (površina cilindra), izvodimo: 𝛽 𝜃 𝐶 𝑃 =1−4 sin 2 𝛽 𝑉 𝜃 =−2 𝑉 ∞ sin 𝜃 , 𝑉 𝑟 =0

Primer strujanja oko cilindra Za 0 i 180 stepeni je najveći pritisak jer je brzina jednaka nuli (stagnacija). Potpuno „pretvaranje“ brzine u pritisak. Na 90 stepeni je najniži pritisak 𝐶 𝑃 =−3. Brzina je tada najveća. Brzina na vrhu cilindra je dva puta veća od brzine uniformnog toka. Na 30 i 150 stepeni 𝐶 𝑃 =0, 𝑉 𝜃 𝑉 ∞ =1 , što znači da su pritisak i brzina isti onim vrednostima koji vladaju u slobodnom toku fluida. Zavisnost 𝐶 𝑃 i 𝑉 𝜃 𝑉 ∞ od β su simetrične i nameće se činjenica da ne postoji pritisak koji izaziva otpor. Dakle, ne postoji aerodinamični otpor kretanju tela kroz fluid. Ovo važi za nerotaciono kretanje i ne zavisi od oblika tela koje razmatramo. Ne postojanje otpora pri kretanju tela kroz fluid za nerotaciono kretanje se naziva d’Alamberov paradoks. Ovo važi samo za nerotaciona strujanja kada ne postoji vrtloženje i granični sloj. Jean le Rond d'Alembert (1736–1813)

Zanimljivost Riblje oko je postavljeno tako da ne postoji razlika pritiska strujanja od spoljašnjeg pritiska prilikom kretanja ribe. Time je izbegnuta distorzija vida.