Matematinė analizė ir tiesinė algebra

Slides:



Advertisements
Παρόμοιες παρουσιάσεις
Τομέας Πληροφορικής. Υποστήριξης Υπολογιστικών Συστημάτων Εφαρμογών & Δικτύων Η/Υ.
Advertisements

ΕΝΕΡΓΟΙ ΠΟΛΙΤΕΣ Β1-Β2 (Σχ.έτος ) ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΙ : ΝΕΟΚΟΣΜΙΔΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΣΑΝΤΟΡΙΝΗ ΜΑΡΙΑ.
Matricų teorija
Τομέας Εφαρμοσμένων Τεχνών. Ο επαγγελματικός τομέας Εφαρμοσμένων Τεχνών ανήκει στον κύκλο Εφαρμογών του 10ου ΕΠΑ.Λ. και περιέχει την ειδικότητα: Γραφικών.
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ Ι
ΧΟΡΕΥΟΥΜΕ ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΑ ;. TAΞΕΙΔΙ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΔΟΣΗ.. Οι παραδοσιακοί χοροί της χώρας μας παρουσιάζουν μεγάλη ποικιλία. Κάθε περιοχή, χωριό έχει τους δικούς.
ΤΟΜΕΑΣ ΥΓΕΙΑΣ ΠΡΟΝΟΙΑΣ. ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΒΟΗΘΩΝ ΝΟΣΗΛΕΥΤΩΝ.
Το φάσμα του λευκού φωτός
ΗΦΑΙΣΤΕΙΑ ΒΗΣΣΑΡΙΑ & ΜΑΡΙΑ ΣΤ2.
Το να γίνεις ευτυχισμένος
ΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΒΟΤΑΝΑ ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥΣ
Ο ΔΙΑΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΙΗΣΟΥ ΜΕ ΤΗ ΣΑΜΑΡΕΙΤΙΣΣΑ
Νόμος του Hooke.
Συγχώνευση.
ΑΠO ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ Β1 1.ΙΑΣΟΝΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟ ΜΑΚΡΗ 2.ΑΠΟΣΤΟΛΟ ΓΕΡΟΔΗΜΟ
ΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΟΜΗΛΙΚΟΥ ΔΑΣΟΥΣ
6.2. ΑΝΑΣΑΡΚΟΕΙΔΕΣ ΤΩΝ ΚΥΝΑΡΙΩΝ
ΜΕΣ’ ΤΟΥ ΒΟΣΠΟΡΟΥ ΤΑ ΝΕΡΑ
Ar taupūs automobiliai?
Nesotieji angliavandeniliai
Diskontuoti pinigų srautai
Ποια είναι η προπαίδεια;
TIKIMYBIŲ TEORIJA 3.
GEOMETRINIAI MODELIAI
Duomenų objektai R ir jų valdymas
Matematinė analizė ir tiesinė algebra
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105)
DARNAUS VYSTYMOSI TYRIMŲ METODOLOGIJA IR METODAI
Šviesos atspindys Kauno „Nemuno“ mokykla- daugiafunkcis centras
Elektros srovės darbas
REOSTATAI Darbą parengė: Ernesta Lupeikytė ir Gabija Peldžiūtė, 9kl.
Paklaidų analizė 3 paskaita.
Saulės sistema Projektą parengė: Mažeikių Gabijos gimnazijos​
VARTOTOJO ELGSENA. PREKES NAUDINGUMO TEORIJA
Kūrybinių industrijų ekonomika KRI kontrolinis: balandžio 3d.
ATSISKAITYMAS EXCEL PROGRAMA
STATISTIKA – tai mokslas apie duomenų rinkimą, klasifikavimą, pateikimą, interpretavimą BIOSTATISTIKA – statistikos taikymo sritis gamtos moksluose, konkrečiu.
A 1. SKAIDRĖS TURINYS KEIČIAMAS PELĖS KLAVIŠU ARBA AUTOMATIŠKAI
NEPARAMETRINIAI METODAI
,,Matavimai ir paklaidos’’
Mechaninės Bangos 10 klasė.
Dizainas su gamta (IV) Universalių formų ir principų naudojimas dizaine Mokytojas: Mindaugas Petravičius.
Prof. S. Puškorius Veiklos audito teorija 4, 5, 6 temos 1.Duomenų atranka ir analizė 2. Aprašomoji statistika 3. Matematinės statistikos pradmenys 4.
Išvestinė Paruošė: Vaida Muleronkaitė, IVe Mokytoja:
Skysčio paviršiaus įtemptis
Archimedo jėga Darbą atliko Kauno Tado Ivanausko progimnazijos 8a klasės mokiniai: Vytautas Savickas ir Justinas Krutkevičius.
Bendrasis vidaus produktas (BVP)
Montavimo siūlės techniniai ypatumai
Miglė Ivanauskaitė MF14/2
Kietieji kūnai Uždavinys: analizuoti mechanines kietųjų kūnų savybes, taikant jas apibūdinančius fizikinius dydžius ir jų tarpusavio sąryšius.
Ryšio nustatymas Skaitmeniniai duomenys Kategoriniai duomenys
Lygiagrečiųjų algoritmų analizė
23 paskaita. Monopolija 23.1 Pelno maksimizavimas
Hipotezių tikrinimas.
Kūnų masė Kauno „Vyturio“ gimnazija
Paklaidų autokoreliacijos problema ir jos sprendimo būdai
המצגת נעשתה ע"י מלכה יאיון
Socialinio draudimo pensijų įstatymo aktualijos
TEMA: Skyriaus „Elektros srovės stipris, įtampa, varža“ apibendrinimas
Kūnų plūduriavimas 8 klasė.
≈ 3.14 pi diena.
TESTAS 1. Šviesos spindulys krito 36o kampu ir perėjo iš optiškai tankesnės į optiškai retesnę terpę. Kuri sąlyga teisinga? A. α = γ B. α > γ C. α.
Omo dėsnio grandinės daliai tyrimas PPT - 27
Optika Turinys.
Στοιχεία θεωρίας σφαλμάτων
Тақырыбы: Тригонометриялық функциялардың туындылары
Παρουσίαση Αριθμητικών Χαρακτηριστικών 1) Διακριτών
Αγαπημένο μου παιδί....
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
Προσέγγιση στην επαλληλία των κινήσεων
Μεταγράφημα παρουσίασης:

Matematinė analizė ir tiesinė algebra 5-7 paskaitos.

Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas Funkcijos y=f(x) pirmykštė funkcija vadinama funkcija y=F(x), su kuria galioja lygybė F’(x)=f(x) . Jei funkcijos y=f(x) pirmykštė funkcija yra y=F(x) , tai bet kuri kita funkcijos y=f(x) pirmykštė funkcija y=G(x) išreiškiama formule G(x)=F(x)+C, kur C – laisvoji konstanta. Funkcijos y=f(x) neapibrėžtiniu integralu vadinama funkcijos y=f(x) pirmykščių funkcijų F(x)+C aibė: čia f(x) vadinama pointegraline funkcija, o sandauga f(x)dx – pointegralinių reiškiniu. Iš integralo apibrėžimo aišku, kad

Pagrindinių integralų lentelė

Pagrindinių integralų lentelė

Neapibrėžtinio integralo savybės Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą Funkcijų sumos integralas lygus šių funkcijų integralų sumai Tada bet kuriam dėmenų skaičiui n Skaičiuojant funkcijų sumos integralą, rašoma viena laisvoji konstanta

Pagrindinės integravimo taisyklės

Integravimo metodai Integravimas keičiant kintamąjį. Jeigu x=g(t) diferencijuojama funkcija, o t – naujasis integravimo kintamasis, tai Suintegravus, reikia grįžti prie seni kintamojo x Integravimas dalimis. Jei u ir v diferencijuojamos funkcijos, tai

Neapibrėžtųjų koeficientų metodas Šiuo metodu patogu integruoti racionaliąsias funkcijas: Racionaliosios funkcijos integravimas. Kai n≥k, daugianarį P(x) padaliję iš (x-c)k gauname kokį nors daugianarį Q(x) ir liekaną R(x), kurio laipsnis yra mažesnis už k: Šią lygybę dalijame iš (x-c)k :

Neapibrėžtųjų koeficientų metodas Integruodami gauname: Teorema. Tarkime, R(x) yra m-jo yra laipsnio daugianaris ir m<k. Tuomet egzistuoja koeficientai A1, A2, ..., Ak su kuriais R(x) išreiškiamas formule Šia tapatybę dalijame iš (x-c)k: Koeficientai A1, A2, ..., Ak randami tapatybės dešiniojoje pusėje atlikus veiksmus ir sulyginus abiejų pusių koeficientus prie vienodų kintamojo x laipsnių.

Neapibrėžtųjų koeficientų metodas Neapibrėžtųjų koeficientų metodas taikomas ir sudėtingesnėms racionaliosioms funkcijoms integruoti, Teorema. Tarkime, P(x) ir Q(x) yra n-jo ir m-jo laipsnio daugianariai ir n<m. Tuomet jei Q(x) yra išreikštas kaip tai egzistuoja koeficientai A1, A2, ..., Ap , B1, B2, ..., Bq, ..., M1, M2, ..., Mr, N1, N2, ..., Ns, ... su kuriais

Racionaliųjų trupmenų integravimo algoritmas Jeigu racionalioji trupmena netaisyklingoji, tai išskyrę sveikąją dalį (padaliję skaitiklį iš vardiklio), gauname taisyklingąją racionaliąją trupmeną. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos vardiklį išskaidome daugikliais. Jų gali būti 2 tipų: (x-α)p ir (x2+ux+x)r, čia α – realioji vardiklio šaknis, o kvadratinių trinarių diskriminantai neigiami. Priklausomai nuo vardiklyje gauto skaidinio, nagrinėjamą taisyklingąją racionaliąją trupmeną išreiškiame paprasčiausių racionaliųjų trupmenų suma. Jų gali būti 2 tipų: čia α, u, v, A, M, N – realieji skaičiai, k, l – natūralieji skaičiai, D=u2-4v<0 . Randame neapibrėžtuosius koeficientus ir integruojame gautas paprasčiausias racionaliąsias trupmenas

Trigonometrinių reiškinių integravimas Universalusis keitinys skaičiuojant trigonometrinės funkcijos R(x) integralą yra tg(x/2)=t, tada Jeigu R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) (t.y. pointegralinė funkcija nelyginė sinx atžvilgiu), tai rekomenduojamas keitinys cosx=t, tada Jeigu R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) (t.y. pointegralinė funkcija nelyginė cosx atžvilgiu), tai rekomenduojamas keitinys sinx=t, tada

Trigonometrinių reiškinių integravimas Jeigu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx), tai rekomenduojamas keitinys tgx=t, tada Integralams ∫sin2nxdx ir ∫cos2nxdx skaičiuoti naudojamos formulės 6.

Iracionaliųjų funkcijų integravimas Integralas pakeičiamas trupmenos integralu, naudojant keitinį kur k lygus trupmenų m/n, ... , r/s bendrajam vardikliui. Atskiru atveju, vietoje gali būti ax+b arba x.

Iracionaliųjų funkcijų integravimas čia p = b/a, q = c/a. Visais atvejais gautajame kvadratiniame trinaryje x2+px+q išskiriame pilną kvadratą ir tą dalį, kuri yra pakelta kvadratu, pažymime nauju kintamuoju t. Tuomet gauname vieną iš trijų reiškinių:

Iracionaliųjų funkcijų integravimas Iracionalumui atsikratyti galime taikyti keitinius:

Apibrėžtinis integralas Tegu funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b]. Taškais x1, x2, ...,xn-1 šį intervalą padalykime į n intervalų. Pažymėkime a=x0, b=xn. Tuomet intervalas [a; b] yra n dalinių intervalų sąjunga. Šių dalinių intervalų ilgiai yra atitinkamai Δx1= x1 – x0 , Δx2 = x2 - x1, Δxn= xn - xn-1. Kiekviename daliniame intervale [xn-1; xn] laisvai pasirinkę po vieną tašką ck , sudarykime sumą kuri vadinama integraline suma. Tarkime, funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b], o - šios funkcijos integralinė suma, w=max Δxk . Jei egzistuoja limw→0S , nepriklausanti nei nuo intervalo [a; b] skaidinio, nei nuo taškų ck pasirinkimo, tai ši riba vadinama funkcijos apibrėžtinių integralu intervale [a; b].

Apibrėžtinis integralas Apibrėžtinis integralas žymimas simboliu čia a ir b vadinami integravimo rėžiais: a – apatiniu, b – viršutiniu; f(x) – pointegralinė funkcija; f(x)dx – pointegraliniu reiškiniu. Jei intervale [a; b] egzistuoja funkcijos f(x) apibrėžtinis integralas, tai sakoma, kad funkcija f(x) yra integruojama intervale [a; b]. Kiekviena tolydi uždarome intervale funkcija yra integruojama tame intervale. Apibrėžtinis integralas yra kreivinės trapecijos, apribotos Ox ašimi ir funkcijos y=f(x) grafiku, kai a ≤ x ≤ b, plotas (jei intervale [a; b] funkcijos reikšmės yra neneigiamos f(x) ≥ 0). Kai intervale [a; b] funkcijos f(x) reikšmės nėra teigiamos, t.y. f(x) ≤ 0, tai šios funkcijos apibrėžtinis integralas intervale [a; b] tenkina nelygybę

Apibrėžtinio integralo savybės Niutono – Leibnico formulė. Jei f(x) yra tolydi intervale [a; b], tai funkcija F(t), išreikšta apibrėžtiniu integralu su kintamuoju viršutiniu rėžiu, t.y. turi išvestinę F’(t)=f(t).

Apibrėžtinio integralo savybės Tarpinės reikšmės teorema. Jei funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; b], tai yra toks skaičius c, a < c < b, kad galioja lygybė Skaičius f(c) vadinamas funkcijos y=f(x) tarpine reikšme intervale [a; b].

Netiesioginiai integralai Tarkime, funkcija y=f(x) yra tolydi intervale [a; +∞). Funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu intervale [a; +∞) vadinama riba Tolydžios intervale (-∞; a] funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu vadinama riba Tolydžios intervale (-∞;∞) funkcijos y=f(x) netiesioginiu integralu vadinama riba Jei netiesioginį integralą apibrėžianti riba egzistuoja, tai sakoma, kad šis integralas konverguoja, priešingu atveju – diverguoja.

Netiesioginių integralų savybės Netiesioginiams integralams iš esmės galioja tokios pat savybės kaip ir apibrėžtiniam integralui, kurio rėžiai baigtiniai.

Netiesioginių integralų savybės Niutono-Leibnico formulę apibrėžtiniam integralui skaičiuoti galima apibendrinti it taikyti skaičiuojant netiesioginius integralus. Kaip ir apibrėžtinio integralo, netiesioginio integralo geometrinė prasmė yra tokia pati – tam tikros figūros plotas. Ši figūra, būdama begalinė, gali turėti ir baigtinį plotą (jei integralas konverguoja). Pavyzdžiui,