Transfigurarea schemelor bloc functionale Se considera sistemul cu schema bloc structurala din figura de mai jos si se cere determinarea relatiei intrare-iesire (Y(s) functie de U1(s) si U2(s). Rezolvarea pe baza ecuatiilor sistemului este laborioasa: se pot scrie 10 ecuatii (6 blocuri + 6 sumatoare) urmand a se elimina 9 marimi intermediare

sumatorul A se suprapune peste sumatorul B; dispare legatura CA si apare legatura CB prin G1-1(s); sumatorul D trece la stanga sumatorului E; punctul de ramificare F trece in H; dispare legatura IF si apare legatura HI prin G3-1(s); se obtine urmatoarea schema:

echivalarea conexiunilor serie; echivalarea conexiunilor reactie; se obtine urmatoarea schema:

echivalarea conexiunilor pralel; deplasarea sumatorului de la iesirea lui G7(s) la intrarea sa si comutarea cu celalalt sumator; echivalarea conexiunii serie formate din G7(s) si G8(s); se obtine urmatoarea schema:

Grafuri de fluenta Transfigurarea schemelor bloc functionale face apel la experienta si intuitia analistului Pe de alta parte, prelucrarea unei scheme bloc structurale trebuie sa fie expeditiva. Un graf de fluenta de tip MASON este o retea formata din noduri legate prin arce orientate. Nodurile initial si final ale unui arc au semnificatia de marime de intrare si marime de iesire. In aceste conditii, arcul orientat este caracterizat de functia de transfer.

Conexiunea serie

Conexiunea paralel

Conexiunea cu reactie

Exemplu: graf asociat unui sistem algebric Pe baza regulii lui Cramer se obtine:

Suma coeficientilor tuturor buclelor Produsul coeficientilor buclelor care nu au noduri comune

Numaratorii pentru y1 Asociat lui u1 apare (1-a22)b1 care se obtine din Δ prin pastrarea numai a coeficientilor arcelor care nu au noduri comune cu arcul de la u1 la y1, adica (1-a22) care se inmulteste cu coeficientul b1 al arcului dintre u1 si y1 Asociat lui u2 apare a12b21 in care a12b2 este coeficientul arcelor de la u2 la y1 si 1 se obtine din Δ din care s-au eliminat coeficientii tuturor buclelor care au noduri comune cu nodurile situate pe calea de la u2 la y1.

In general, valoarea transmitantei Tij dintre nodurile i si j , respectiv dintre marimile xi si xj se obtine cu formula lui MASON: in care: suma dupa k se face pentru numarul maxim de cai intre nodurile i si j (toate arcele fiind parcurse in sensul fluentei); (Cij)k este transmitanta caii directe (nu se trece de doua ori prin acelasi nod), de indice k, intre nodurile i si j; Δ este determinantul grafului, care se calculeaza cu formula: unde Bq (de la 1 la N) sunt tranmitantele buclelor existente in graf. REGULA DE DETERMINARE A LUI Δ Δ=1-(suma transmitantelor tuturor buclelor)+(suma produselor transmitantelor tuturor combinatiilor de doua bucle care nu au noduri comune)-(suma produselor transmitantelor tuturor combinatiilor de trei bucle care nu au noduri comune)+… (Δ ij)k este cofactorul (relativ la Δ) al caii k. Acesta se determina din Δ eliminand buclele care nu au noduri comune cu calea k

Exemplu Exemplu 1: Numarul de bucle este N=3 cu transmitantele: B1=-G2G5 B2=-G3G4 B3=-G1G2G3G6 Δ=1+ G2G5+G3G4+G1G2G3G4 deoarece toate buclele au noduri comune Caile directe sunt: de la U1 la Y: (C1)1=G1G2G3; rezulta (Δ1)1=1 de la U2 la Y: (C2)1=G3; rezulta (Δ2)1=1 Rezulta functiile de transfer:

Exemplu 2: aplicarea formulei lui Mason Se cere determinarea functiei de transfer echivalente Pentru aplicarea formulei lui Mason nu este necesar sa se deseneze graful; se vor numerota marimile din sistem, ca in figura. Numarul de bucle este N=3 si u transmitantele: 4-5-6-7-9-4 cu transmitanta B1=-G2G3G6 6-7-8-10-6 cu transmitanta B2=G3G4G5 2-3-4-5-6-7-8-11-2 cu transmitanta B3=G1G2G3G4G7 Δ=1+G2G3G6-G3G4G5+G1G2G3G4G7 deoarece toate buclele au noduri comune Calea directa de la U la Y este 1-2-3-4-5-6-7-8 (C1)1=G1G2G3G4; rezulta Δ1=1

Grafurile de fluenta din ultimele doua exemple fac parte dintr-o clasa caracterizata de: toate buclele au noduri comune, ca urmare Δ=1-(suma transmitantelor tuturor buclelor); toate caile directe au noduri comune cu toate buclele, ca urmare Δk=1, k=1…N Schemele bloc ale sistemelor tehnice fac parte (de regula) din aceasta clasa de grafuri de fluenta. Pentru aplicarea formulei lui Mason in astfel de cazuri se utilizeaza urmatoarea regula: Functia de transfer echivalenta intre marimea de intrare si marimea de iesire este egala cu raportul dintre suma functiilor de transfer ale cailor directe intre cele doua marimi si 1 minus suma algebrica a functiilor de transfer ale buclelor (care au, dupa caz, semnul “-” pentru reactia negativa si semnul “+” pentru reactia pozitiva).