PITAGORINA TEOREMA Milica Sekulović i Jovan Todorovski, 7/5 OŠ “Nikola Tesla” Rakovica Dr Milivoja Petrovića 6

PITAGORA Pitagorina ličnost obavijena je gustom maglom mitova i legendi, čak i više nego što je slučaj kod ostalih presokratskih filozofa, pa se o njegovom životu i učenju malo toga može sa sigurnošću reći. Pitagora, sin Mnesarha, rodio se oko 582.g. st. e. na ostrvu Samosu. Moguće je da je po naređenju samoskog tiranina Polikrata putovao u Egipat kako bi se bolje upoznao s ustanovama tamošnjih sveštenika. Iz razloga koji nam nisu dovoljno jasni Pitagora se sa Samosa preselio u grad Kroton u južnoj Italiji, gde su nastala nova središta grčke kulture i političke moći nakon pada Jonije pod persijsku vlast.

PITAGOREJSKA TEORIJA BROJEVA Pod pitagorejskom teorijom brojeva podrazumeva se zapravo jedna teorija bića, teorija koja se odnosi na "prirodu stvari", pa ona ujedno obuhvata i matematiku i muziku i astronomiju. Aristotel kaže da su se "oni koje nazivaju pitagorejcima prvi posvetili matematici i unapredili je, a pošto su bili odgojeni u njoj, smatrali su da su njena načela ujedno i načela svih stvari". Pitagorejci su prvo, kako se čini, uočili da visina tona na liri zavisi od broja, naime, onoliko koliko zavisi od dužine žica instrumenata, pa je stoga moguće da se intervali na lestvici iskažu razlomcima broja. Tako su odredili odnose među tonovima (intervale), koje su podelili na konsonantne i disonantne: prvi – u koje su računali kvartu, kvintu i oktavu – proglašeni su skladnima jer zajedno rađaju suglasje (συμφωνία), dok su sve ostale intervale smatrali nesaglasnim (disonantnim).

Nušićev stih: ,,Kvadrat nad hipotenuzom, to zna svako dete, jednak je zbiru kvadrata nad obe katete’’.

PITAGORINA TEOREMA: zbir površina kvadrata konstruisanih nad katetama jednak je površini kvadrata konstruisanog nad hipotenuzom 32 +42 =52

PITAGORINA TEOREMA PRIMENE

PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KVADRAT Kvadrat je četvorougao sa svim jednakim stranicama, uglovima i dijagonalama. Kada se povuku dijagonale, dobiju se četiri pravougla trougla kod kojih je stranica a hipotenuza.

PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGANIK Pravougaonik je paralelogram sa jednakim dijagonalama i pravim unutrašnjim uglovima. Kada se povuče jedna dijagonala, dobiju se dva pravougla trougla. Pitagorina teorema za trougao ABC: d2 =a2 + b2 ili Obim: O=2a+2b Površina: P=a∙b

PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGLI TROUGAO Pravougli trougao je trougao sa uglom od 90 stepeni. Stranica nasuprot pravog ugla je hipotenuza, a druge dve stranice su katete. Površina Obim: O=a+b+c Težišna duž

PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOSTRANIČNI TROUGAO Jednakostranični trougao je trougao sa jednakim stranicama i uglovima.Iz Pitagorine teoreme za trougao ACD dobija se visine trougla: O=3a R= 2 h 3 r= 1 h 3 Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.

PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI TROUGAO Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuče visina iz temena C, dobiju se dva pravougla trougla. Pitagorina teorema za trougao ACD: a odavde se dobija visina ha : O=a+2b

PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Dijagonale se seku pod uglom od 90 stepeni i međusobno se polove. Obim: O=4a Površina: P=a∙h ili Primenom Pitagorine teoreme na trougao AOB: gde su AO i BO katete a AB hipotenuza dobija se:

PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA TRAPEZ Trapez je četvorougao sa jednim parom paralelnih stranica koje se zovu osnove i sa jednim parom neparalelnih stranica koji se zovu kraci. Obim jednakokrakog trapeza:O=a+b+2c Srednja linija trapeza: Površina trapeza: P=m∙h Primenom Pitagorine teoreme na trougao AMD dobija se: c2=h2+x2

PITAGORINO DRVO Pitagorino drvo je ravanski fraktal konstruisan pomoću kvadrata. Dobio je ime po Pitagori zato što svaka trojka susednih kvadrata svojim zajedničkim temenima određuje pravougli trougao, u obliku koji se tradicionalno koristi za prikaz Pitagorine teoreme. Ako je stranica prvog kvadrata dužine 1, celo Pitagorino drvo može stati u pravougaonik veličine 6×4. Sitniji detalji drveta podsećaju na Levijevu C krivu. Fraktal je prvi konstruisao holandski matematičar Albert Bosman 1942. godine.

PITAGORINO DRVO

KAKO SE DRVO CRTA? Konstrukcija Pitagorinog drveta počinje kvadratom. Nad njim se konstruišu dva manja kvadrata, sa koeficijentom sličnosti , tako da svaki kvadrat ima po jedno zajedničko teme sa preostala dva. Isto se ponavlja rekurzivno nad dva manja kvadrata, ad infinitum. Sledeće ilustracije prikazuju prvih nekoliko iteracija u postupku konstrukcije.

NIVO 0 NIVO 1 NIVO 2 NIVO 3

Ako se umesto dva ista kvadrata, u novom koraku oni konstruišu tako da je jedan veći od drugog (odnosno da pravougli trougao određen temenima tri susedna kvadrata ne bude jednakokraki), rezultat će biti "Pitagorino drvo na vetru".

NIVO 0

NIVO 1

NIVO 2

NIVO 3

Smešne strane Pitagorine teoreme DRAGI MOJ NA KVADRAT!!! Volim te kao jednačinu sa tri nepoznate. Ti si Pitagorino pravilo, teorema mog života i kada bi mi dao deo svog života, osećala bih se kao dijagonala na kvadrat. Ceo dan vršim rotaciono kretanje oko tebe, a ti ni da mi pokažeš najmanji sadržalac svoje ljubavi. Zagradio si se kao potkorena jednačina, te ma koliko pokušavam izvući tvoje srce pred zagradu, ne mogu.Ti si se od mene udaljio kao periferija od centra kruga. Kada bi mi dopustio da pođem sa tobom, uspeo bi me svesti na nulu. Ako tvoj odgovor bude NE, naša ljubav se potire. Nadam se da me nećeš dovesti do toga da se zbog ljubavi rastavim na proste činioce. Tvoja i samo tvoja dijagonala

ZADACI 1)Izračunaj dužinu hipotenuze pravouglog trougla čije su katete a=7cm,b=24cm. 2)Izračunaj dužinu treće stranice pravouglog trougla čija je hipotenuza c=17cm a kateta a=14cm. 3) Izračunaj dijagonalu kvadrata čija je stranica a=4cm.

AUTORI Jovan Todorovski, 7/5 Millica Sekulović, 7/5 OŠ ”Nikola Tesla” Beograd AUTORI Jovan Todorovski, 7/5 Millica Sekulović, 7/5 2011/12.