Γραμμικός Προγραμματισμός Γραφική λύση Μέθοδος SIMPLEX

Γραμμικές Συναρτήσεις Γραμμική Συνάρτηση: Παράδειγμα 1: Παράδειγμα 2:

Γραμμικός Προγραμματισμός (ΓΠ) Ένα πρόβλημα μπορεί να μοντελοποιηθεί σαν πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού (ΓΠ) εάν το πρόβλημα ικανοποιεί τις πιο κάτω συνθήκες: Μη τυχαίες μεταβλητές (deterministic): Όλες οι παράμετροι είναι γνωστές με βεβαιότητα. ΣΧΕΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟ (Affine Linear) Αναλογικό (proportional): Δεν υπάρχουν οικονομίες κλίμακας (Το 1 μήλο στοιχίζει $1, τα 2 μήλα στοιχίζουν $2). Προσθετικά (additive): Το συνολικό κόστος είναι το άθροισμα του κόστους κάθε στοιχείου. Διαιρετέο (Divisible): Όλες οι μεταβλητές μπορούν να πάρουν πραγματικές τιμές.

Παράδειγμα Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη παραγ. Μηχανή 1 1 4 Μηχανή 2 2 4 Μηχανή 2 2 12 Μηχανή 3 3 18 Κέρδος $3,000 $5,000 Ερώτηση: Πόσα προϊόντα τύπου 1 και 2 πρέπει να παραχθούν για να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Διατύπωση του προβλήματος x1: αριθμός προϊόντων τύπου 1 x2: Αριθμός προϊόντων τύπου 2

Γραφική Λύση x1 x2

Εφικτές/Μη Εφικτές Λύσεις (Feasible/Infeasible solutions) x1 x2 Εφικτή Λύση: μια λύση στη οποία ικανοποιούνται ΟΛΟΙ οι περιορισμοί. Εφικτή Περιοχή Μη Εφικτή Λύση: μια λύση στη οποία δεν ικανοποιείται τουλάχιστον ένας περιορισμός

Πλεονάζων Περιορισμοί (Redundant Constraints) x1 x2

Άδεια Εφικτή Περιοχή x1 x2

Μη Πεπερασμένη Λύση x1 x2 Εφικτή Περιοχή

Πολλαπλές Βέλτιστες Λύσεις x1 x2 Εφικτή Περιοχή

Γωνιακές Λύσεις Corner-Point Solutions Γωνιακές εφικτές λύσεις (ΓΕΛ ή CPF) Εφικτή περιοχή x1 x2 Γωνιακές μη εφικτές λύσεις

Γειτονικές Γωνιακές Λύσεις (Adjacent Corner-Point Solutions) Εφικτή περιοχή x1 x2 Εάν n είναι ο αριθμός των μεταβλητών, τότε δύο ΓΕΛ λύσεις είναι γειτονικές (adjacent) εάν έχουν κοινούς n-1 περιορισμούς.

Γωνιακές Εφικτές Λύσεις (ΓΕΛ) Θεώρημα: Εάν το πρόβλημα ΓΠ έχει βέλτιστη λύση, τότε τουλάχιστον μία ΓΕΛ είναι βέλτιστη λύση. x1 x2 Στην βέλτιστη λύση κάποιοι περιορισμοί ικανοποιούνται σαν ισότητες και κάποιοι σαν ανισότητες. Δεσμευτικοί περιορισμοί (binding constraints) είναι όλοι οι περιορισμοί πάνω στους οποίους βρίσκεται η βέλτιστη λύση. Επιτρεπτή περιοχή

Συνθήκη βέλτιστης τιμής (Optimality test) Υποθέτουμε ότι το πρόβλημα ΓΠ έχει τουλάχιστον μία βέλτιστη λύση. Εάν μία ΓΕΛ δεν έχει γειτονική ΓΕΛ όπου η αντικειμενική συνάρτηση να παίρνει καλύτερη τιμή, τότε αύτη η λύση είναι βέλτιστη λύση.

Η Μέθοδος Simplex Η μέθοδος υποθέτει ότι το πρόβλημα είναι διατυπωμένο στην τυπική του μορφή (standard form). Subject to the constraints and

H μέθοδος Simplex Επικεντρώνεται μόνο σε Γωνιακές Εφικτές Λύσεις (ΓΕΛ) Για κάθε πρόβλημα με τουλάχιστον μία βέλτιστη λύση, ανεύρεση μιας τέτοιας λύσης ισοδυναμεί με την ανεύρεση της καλύτερης ΓΕΛ. Ξεκινά από το σημείο (0,...,0) (origin) Βολική λύση διότι ικανοποιεί τους μη αρνητικούς περιορισμούς και δεν χρειάζεται καμία διαδικασία για την ανεύρεση εφικτής. Η μέθοδος είναι ένας επαναληπτικός αλγόριθμος. Πάει από μία ΓΕΛ σε μία γειτονική που βελτιώνει την αντικειμενική συνάρτηση. Σε κάθε βήμα ελέγχει μόνο γειτονικές ΓΕΛ. Η πορεία της μεθόδου είναι κατά μήκος των συνόρων της εφικτής (επιτρεπτής) περιοχής.

H μέθοδος Simplex Για όλες τις ακμές (edges) που περνούν από την τρέχων ΓΕΛ, ελέγχει το ρυθμό καλυτέρευσης της αντικειμενικής συνάρτησης (Ζ). Κινείται κατά μήκος της ακμής με το μεγαλύτερο ρυθμό καλυτέρευση. Εάν δεν υπάρχει ακμή με θετικό ρυθμό καλυτέρευσης, τότε ο αλγόριθμος σταματά

Τι κάνει η Simplex x2 Initialize/find CPF Test Optimality Εφικτή Περιοχή Initialize/find CPF Test Optimality

Μεταβλητές Χαλαρότητας (Slack Variables) Περιορισμός: Πως μπορεί να γραφτεί ο πιο πάνω περιορισμός ανισότητας σαν περιορισμός ισότητας;

Αρχικοποίηση της Μεθόδου SIMPLEX Augmented form Original form Augmented solution: solution for the original variables and the slack variables

Βασικές Λύσεις (Basic Solutions) Βασική Λύση: augmented corner-point solution Ιδιότητες Βασικής Λύσης Κάθε μεταβλητή μπορεί να είναι είτε βασική είτε μη βασική Ο αριθμός των βασικών μεταβλητών ισούται με τον αριθμό των περιορισμών. Μη βασικές μεταβλητές έχουν την τιμή 0. Οι τιμές των βασικών μεταβλητών είναι η λύση του συστήματος εξισώσεων με όλους τους περιορισμούς (functional constraints) Βασική Επιτρεπτή Λύση (ΒΕΛ): augmented Corner Point Feasible solution Βασική λύση που ικανοποιεί τους μη αρνητικούς περιορισμούς

Επίλυση Συστήματος Εξισώσεων Υποθέστε το σύστημα εξισώσεων Το οποίο γράφεται και ως Βρείτε το διάνυσμα x για το οποίο ισχύει η πιο πάνω εξίσωση.

Gauss Elimination Χρησιμοποιώντας elementary operations μετασχηματίζουμε τον αρχικό πίνακα [Ab] μέχρι να γίνει «σχεδόν» τριγωνικός. Elementary operations Εναλλαγή της σειράς δύο εξισώσεων Πολλαπλασιασμός μιας εξίσωσης με μία σταθερά Αντικατάστασης μιας εξίσωσης με το άθροισμα της εξίσωσης με κάποιο πολλαπλάσιο μιας άλλης εξίσωσης Από τον «σχεδόν» τριγωνικό πίνακα είναι εύκολο να βρούμε τη ζητούμενη λύση στο σύστημα.

Gauss Elimination Αντικατάσταση της εξίσωσης j με το άθροισμα της εξίσωσης j συν ένα πολλαπλάσιο (ας πούμε α) της εξίσωσης i. Είναι ισοδύναμο με τον πολλαπλασιασμό του πίνακα επί τον «σχεδόν» μοναδιαίο πίνακα με εξαίρεση το bij=α. Ολόκληρος ο μετασχηματισμός GE μπορεί να γραφτεί σαν ένα τέτοιο γινόμενο. Ο πίνακας Β θα έχει όλους τους συντελεστές που χρησιμοποιήθηκαν.

Αντίστροφος Πίνακας Υποθέστε ότι ο τετράγωνος πίνακας Α μπορεί να αντιστραφεί, τότε ισχύει Οπόταν η λύση στο σύστημα εξισώσεων Υπάρχει πάντα λύση;

Παράδειγμα Βασικής Λύσης Αριθμός μη βασικών μεταβλητών= Αριθμός βασικών μεταλητών= Αρχικοποιούνται οι x1 και x2 σαν μη βασικές Βασικές Μεταβλητές:

Βολική Διατύπωση και Αρχική Μορφή της μεθόδου Simplex Objective Αρχικά οι μεταβλητές x1 και x2 είναι μη βασικές, δηλαδή:

Ο Αλγόριθμος της μεθόδου Simplex Initialize Start from the origin Yes End Are there any negative coefficients in the objective equation? Is Optimal? No Non-basic variable with most negative coefficient Find incoming basic variable Basic variable with smallest ratio Find exiting basic variable Find new CPF solution Gauss elimination

Πρώτο Βήμα Optimality test  2. Determine which nonbasic variable will become basic: 3. Determine which basic variable will become nonbasic. (How much can we increase x2?) Find new solution.

Πρώτο Βήμα - συνέχεια

Επόμενο Βήμα Optimality test  2. Determine which nonbasic variable will become basic: 3. Determine which basic variable will become nonbasic. (How much can we increase x1?) Find new solution.

Επόμενο Βήμα - συνέχεια

Αρχικός Πίνακας Simplex Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 -3 3 -5 2 4 12 18

Πίνακας SIMPLEX Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 -3 3 -5 2 4 12 18 12/2=6 18/2=9 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 -3 3 5/2 1/2 -1 30 4 6 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 -3 5/2 1/2 30 4 6 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 1/2 6 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 -3 5/2 1/2 30 6

Πίνακας SIMPLEX Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 -3 3 5/2 1/2 -1 30 4 6 4/1=4 6/3=2 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 3/2 1/3 -1/3 36 2 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 3/2 1/3 1/2 -1/3 36 2 6 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 -1/3 1/3 2 Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 3/2 -1/3 1/3 36 2

Tie-breakers – Εισερχόμενες Βασικές Μεταβλητές Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 -3 3 2 4 12 18

Tie-breakers – Εξερχόμενες Βασικές Μεταβλητές Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 -3 3 -5 2 4 12 24 12/2=6 24/4=6

Δεν υπάρχουν εξερχόμενες μεταβλητές – Μη φραγμένο Z Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 1 -3 -5 4 No ratio (4/0)! Δεν υπάρχει μεταβλητή που να γίνεται μη βασική Αυτό συνήθως είναι πρόβλημα στη διατύπωση του προβλήματος!

Πολλαπλές Βέλτιστες Λύσεις Basic variables Coefficients of: Right side Ratio Z x1 x2 x3 x4 x5 1 3 -3/2 -1 1/2 18 4 6 2. Optimal solution= Optimal? 3. More Optimal solutions?

Πολλαπλές Βέλτιστες Λύσεις. Basic variables Coefficients of: Right side Solution Z x1 x2 x3 x4 x5 1 3 -3/2 -1 1/2 18 4 6 x1=4 x4=6 x2=3 Basic variables Coefficients of: Right side Solution Z x1 x2 x3 x4 x5 1 -1/3 1/3 1/2 18 2 6 x1=2 x3=2 x2=6 Basic variables Coefficients of: Right side Solution Z x1 x2 x3 x4 x5 Basic variables Coefficients of: Right side Solution Z x1 x2 x3 x4 x5 1 -1/3 1/3 1/2 18 2 6

Πολλαπλές Βέλτιστες Λύσεις. Λύση 1: Λύση 2: Άλλες λύσεις: Οποιοσδήποτε κυρτός (convex) συνδυασμός των λύσεων 1 και 2.