Maturski rad O primeni izvoda i integrala u fizici Profesor: Učenik: Ljubiša Nešić Lazar Tasić

Uvod Izvodi i integrali imaju široku primenu u svim prirodnim naukama (matematika, fizika, elektronika.. ) i nekim društvenim, kao što je ekonomija. Ako izuzmemo matematiku, najveću primenu diferencijalni i integralni račun imaju u fizici. Njutn, sem toga što je otkrio diferencijalni račun, bio je prvi fizičar koji ga je primenio za rešavanje problema. Sem Njutna, veliki doprinos, u razvijanju ovog računa, dao je Lajbnic koji je u isto vreme kad i Njutn ali nezavisno od njega razvio svoj metod. Svađa oko toga ko je otkrio diferencijalni račun, između ova dva velika naučnika, trajala je do Lajbnicove smrti. Kasnije se pokazalo da su njihovi metodi različiti što je bio dokaz da Lajbnic nije ukrao Njutnov rad.

Izvodi Integrali Brzina Pređeni put Ubrzanje II njutnov zakon Centar mase krutog tela Pređeni put Ubrzanje Moment inercije krutog tela II njutnov zakon

Primena izvoda u fizici Brzina u diferencijalnoj formi Srednja brzina Kada vremenski interval teži nuli, onda srednja brzina na tom putu teži trenutnoj brzini Pređeni put x u zavisnosti od vremena

Primena izvoda u fizici Ako brzinu izrazimo kao vektorsku veličinu, njen intenzitet izgleda ovako ili drugim rečima, brzina je prvi izvod vektora položaja po vremenu. U fizici se prvi izvod po vremenu označava tačkom iznad slova koje predstavlja fizičku veličinu koju diferenciramo.

Primena izvoda u fizici Pređeni put Iz obrasca ,kada vremenski interval teži nuli, dobija se delić pređenog puta. Granična vrednost sume ovih delića je ukupan pređeni put Δsi≈υiΔti odnosno Pređeni put od trenutka t1 do trenutka t2 jednak je određenom integralu brzine po vremenu.

Primena izvoda u fizici Ubrzanje u diferencijalnoj formi Srednje ubrzanje Kada vremenski interval teži nuli, onda srednje ubrzanje na tom putu teži trenutnom ubrzanju Ako brzinu izrazimo kao prvi izvod vektora položaja po vremenu dobijamo Ubrzanje je drugi izvod vektora položaja po vremenu.

Primena izvoda u fizici Drugi Njutnov zakon u diferencijalnoj formi Ako silu izrazimo kao prvi izvod impulsa po vremenu ,za koji kada je masa konstantna dobijamo izraz postaje ili Izraz koji nam je poznat kao osnovni zakon dinamike.

Primena izvoda u fizici Primeri Kosi hitac Zavisnost koordinata x i y od vremena Zavisnost y od x Vektor položaja tela izbačenog početnom brzinom pod nekim uglom Za vrednost koordinte x u kojoj je prvi izvod y po x jednak nuli, telo ima maksimalnu visinu sledi i a tačka čije su koordinate (xm, ym) je tačka u kojoj je telo dostiglo maksimalnu visinu ym.

Primena izvoda u fizici Primeri 2) Oscilovanje harmonijskog klatna Za male elongacije, bez uračunavanja efekta trenja oscilovanje harmonijskog klatna se može opisati sledećim izrazom Prvi izvod po vremenu daje brzinnu a drugi ubrzanje, odnosno i

Primena izvoda u fizici Primeri 3) Kretanje tela kroz fluid Sila otpora sredine Jednačina kretanja Maksimalna brzina Ako ubrzanje izrazimo kao prvi izvod brzine po vremenu dobijamo diferencijalnu jednačinu čijim rešavanjem dolazimo do izraza za brzinu Sile koje deluju na telo prilikom kretanja kroz fluid odnosno

Primena izvoda u fizici Primeri 4) Slobodni pad sa silom otpora Sila otpora sredine Jednačina kretanja odnosno Maksimalna brzina Ako ubrzanje izrazimo kao prvi izvod brzine po vremenu dobijamo diferencijalnu jednačinu čijim rešavanjem dolazimo do izraza za brzinu

Primena integrala u fizici Određivanje centra položaja masa krutih tela različitig oblika Centar mase ili centar inercije sistema materijalnih tačaka Kada broj delića teži beskonačnosti, masa tog delića teži nuli, a prethodni izraz postaje Telo podeljeno na deliće mase Δmi i vektor položaja delića

Primena integrala u fizici Primer Određivanje položaja centra masa homogenog štapa čija se gustina menja linearno Masa se menja linearno pa uvodimo podužnu gustinu i polazimo od izraza pa dalje dobijamo Homogeni štap čija se gustina menja linearno odnosno

Primena integrala u fizici Izračunavanje momenta inercije krutih tela različitog oblika Moment inercije, kod rotacionog kretanja, je veličina analogna masi kao meri inercije kod translatornog kretanja. Moment inercije tela se dobija sumiranjem momenata inercije malih delova mase tog tela Ako masu izrazimo u zavisnosti od zapremine i gustine dobijamo

Primena integrala u fizici Primeri 1) Homogeni cilindar Prvo cilindar delimo na tanke ljuske i za svaku od njih računamo moment inercije, a na kraju sumiramo sve momente odakle se dobija ako gustinu izrazimo u zavisnosti od zapremie i mase, sledi Cilindar izdeljen na ljuske debljine dr

Primena integrala u fizici Primeri 2) Lopta Moment inercije svakog dela čiji oblik teži cilindru je odakle za moment inercije cele lopte dobijamo Slojevi kruga koji kada dx teži nuli njihov oblik teži cilindru Kako je integraljenje potrbno izvršiti po celoj lopti granice integrala su (-R,R), a sređivanjem dobijamo odnosno

Primena integrala u fizici Primeri 3) Trugao Jednakokraki trougao, mase m, dužine kraka b, koji rotiara oko osnovice dužine a. Masa jedne trake je Trougao izdeljen na trake dužune x, debljine dy i mase dm a moment inercije te trake Sumiranjem ovih momenata inercije dobijamo integral čijim daljim rešavanjem se dobija a za jednakostranični trougao

Ograničenja primene izvoda i integrala u fizici Odnos pređenog puta i vremenskog intervala Određivanje gustine materije u nekoj tački prostora U fizici pod izvodima smatra odnos konačnih ali dovoljno malih priraštaja funkcije i argumenta, a ne granična vrednost tog odnosa. Granični prelaz Δx→0 kod integrala