Xác suất Thống kê Lý thuyết Xác suất: xác suất, biến ngẫu nhiên (1 chiều, 2 chiều); luật phân phối xác suất thường gặp Thống kê Cơ bản: lý thuyết mẫu, thống kê mô tả, ước lượng, kiểm định, hồi quy

Tài liệu và pp chương trình 45 tiết= 15 buổi= 5 chương (7 chương theo đề cương chi tiết của trường) Tài liệu học tập bắt buộc: Giáo trình Xác suất Thống kê _Lê Sĩ Đồng (Cả lý thuyết và Bài tập in năm 2013) Tài liệu tham khảo: Slide giảng viên (nếu cần thiết) Đề thi, đáp án các khóa trước Các tài liệu khác (tham khảo có chọn lọc)

Xác suất Chương 1: Biến cố và Xác suất Chương 2: Biến ngẫu nhiên Chương 3: Một số phân phối xác suất thông dụng

Xác suất Tính xác suất có ít nhất 2 sinh viên cùng ngày sinh trong lớp. Tính xác suất sinh viên đậu môn này nếu không học bài và giả sử thi trắc nghiệm ngẫu nhiên Lớp có 60 sinh viên gồm 20 nam, 40 nữ. Nếu lập ngẫu nhiên 1 tổ gồm 6 sinh viên thì khả năng có mấy sinh viên nữ là nhiều nhất. Trung bình một giờ có 60 cuộc gọi đến tổng đài. Xác suất trong 5 phút có đúng 3 cuộc gọi?

Thống kê Chương 4: Ước lượng tham số Chương 5: Kiểm định giả thuyết thống kê Chương 6: Hồi quy và tương quan (đọc thêm)

Thống kê Trung bình xe của bạn đi được bao nhiêu km trên 1 lít xăng? Nếu tôi nói trung bình xe của bạn đi được 35km/l thì ý kiến của bạn như thế nào? Dự đoán chiều cao trung bình của sinh viên FTU2 K54 thuộc khoảng nào với độ tin cậy 95%? Nếu nói chiều cao sinh viên FTU2 K54 thấp hơn 1m60 thì có đúng không với mức sai lầm loại 1 (mức ý nghĩa) 5%?

Kiểm tra và đánh giá Chuyên cần: 10% = tham dự lớp + làm bài tập Giữa kỳ: 20% = kiểm tra tự luận hoặc trắc nghiệm, 60 phút Cuối kỳ: 70% = thi tự luận 75 phút

Tham khảo và liên hệ Tham khảo thêm: https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/ https://onlinecourses.science.psu.edu/stat415/ Liên hệ: nguyenvantien.cs2@ftu.edu.vn nguyenvantien0405.wordpress.com

PHẦN 1 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

Nội dung cần nhớ Công thức cộng, nhân tổng quát Công thức Bernoulli Công thức Xác suất đầy đủ

Phép thử Phép thử: là các thí nghiệm, quan sát mà kết quả của nó không thể dự báo trước được. Kí hiệu: T. Không gian mẫu: là tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử Ký hiệu: Ω; Ω𝑇

Biến cố ngẫu nhiên Biến cố sơ cấp: kết quả của phép thử. Ký hiệu: wi Biến cố (ngẫu nhiên): là tập con của không gian mẫu Ký hiệu: A, B, C, A1, A2 … Biến cố ngẫu nhiên chứa một vài biến cố sơ cấp nào đó.

Biểu diễn Không gian mẫu: chứa tất cả các kết quả của phép thử Biến cố: tập con của không gian mẫu, chứa một vài kết quả của phép thử A và B là các biến cố trong không gian mẫu Ω B chứa nhiều kết quả hơn A Các kết quả nằm trong A đều nằm trong B

Ví dụ 1 Tung một đồng xu. Quan sát mặt ngửa lên Ω1={S; N} hay Ω1={w1; w2}

Ví dụ 2 T2: Tung hai đồng xu phân biệt (Ví dụ: 2k và 5k). Quan sát mặt ngửa Ω2={SS; SN; NS; NN} hay Ω2={w1; w2; w3; w4} Phát biểu biến cố A? Biến cố A xảy ra khi nào?

Ví dụ 3 Tung 10 đồng xu phân biệt (10 loại khác nhau). Hỏi: có bao nhiêu kết quả? Biểu diễn KG mẫu?

Ví dụ 3 Số kết quả: 1024=210 Biểu diễn: Hay: Với qui ước: 0 là sấp và 1 là ngửa

Phân loại biến cố Bc không thể: là bc không bao giờ xảy ra khi thực hiện T. Kí hiệu: ϕ Bc chắc chắn: là bc luôn luôn xảy ra khi thực hiện T. Kí hiệu: Ω Biến cố rỗng không chứa một bcsc nào. Biến cố chắc chắn chứa tất cả bcsc của phép thử.

Quan hệ kéo theo Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu AB, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra Ta nói A là biến cố thuận lợi cho B Biểu diễn:

Ví dụ 4 Theo dõi 3 bệnh nhân đang được điều trị. Gọi Ai: có i bệnh nhân khỏi bệnh (i=0,1,2,3) B: có nhiều hơn 1 bệnh nhân khỏi bệnh. Xét quan hệ kéo theo giữa các cặp biến cố sau: A2 và B A3 và B A1 và B

Quan hệ tương đương Biến cố A tương đương với biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại Kí hiệu: A=B

Ví dụ 5 Mua ngẫu nhiên 5 bóng đèn A: ít nhất 3 bóng hỏng B: nhiều nhất 2 bóng tốt A và B có tương đương?

Tổng (hợp) hai biến cố Cho A, B là hai bc liên quan đến phép thử T. Khi đó, tổng (hợp) của A và B là một biến cố, kí hiệu A∪B hay A+B Bc này xảy ra khi: Ít nhất một trong các bc A, B xảy ra A hoặc B xuất hiện trong phép thử

Ví dụ 6 Mua ngẫu nhiên 2 bóng đèn. A: biến cố bóng 1 hỏng B: biến cố bóng 2 hỏng A+B là biến cố như thế nào?

Tổng (hợp) các biến cố A1, A2,…,An là các bc trong phép thử T. Tổng (hợp) của các bc này kí hiệu: Bc này xảy ra khi ít nhất một trong các bc A1, A2,…,An xảy ra Ta có:

Tích (giao) hai biến cố Cho A, B là hai bc liên quan đến phép thử T. Khi đó, tích (giao) của A và B là một biến cố, kí hiệu A∩B hay A.B Bc này xảy ra khi cả hai bc A, B cùng xảy ra đồng thời trong phép thử

Ví dụ 7 Sinh viên đi thi 2 môn Toán Cao cấp và Nguyên lý 2 A: sinh viên đậu Toán Cao cấp B: sinh viên đậu Nguyên lý 2 A.B là biến cố nào?

Tích (giao) các biến cố A1, A2,…,An là các bc trong phép thử T. Tích (giao) của các bc này kí hiệu: Bc này xảy ra khi tất cả các bc A1, A2,…,An cùng xảy ra Ta có:

Biến cố đối Biến cố đối của biến cố A, kí hiệu 𝐴 là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. Ta có: Ω 𝐴 =Ω\ Ω𝐴

Biến cố đối Ví dụ: Khi gieo một con xúc sắc. Gọi A: bc số chấm chẵn thì 𝐴 là bc số chấm lẻ

Hai biến cố xung khắc Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc nếu A và B không thể cùng xuất hiện đồng thời trong phép thử. Nghĩa là: A và B xung khắc

Biến cố hiệu Biến cố hiệu của A và B, ký hiệu A\B là biến cố xuất hiện khi A xuất hiện nhưng B không xuất hiện. Ta có: Nghĩa là: A\B

Ví dụ 8 Sinh viên đi thi 2 môn Toán Cao cấp và Nguyên lý 2 A: sinh viên đậu Toán Cao cấp B: sinh viên đậu Nguyên lý 2 Mô tả các biến cố: A\B; A+B B\A; A +B; A+B ; A . B Nhận xét gì về: A+B và A . B

Một số tính chất

Ví dụ 9 Có 3 xạ thủ bắn vào mục tiêu A, B, C là bc xạ thủ 1,2,3 bắn trúng Biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C và các phép toán (các quan hệ). Có đúng một xạ thủ bắn trúng Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng

Ví dụ 10 Xác định biến cố X từ đẳng thức sau: Cho 4 sản phẩm. Gọi A là bc cả 4 sp đều tốt. B là bc có ít nhất 1 phế phẩm. Cho biết ý nghĩa các bc sau:

ÔN TẬP QUI TẮC ĐẾM Quy tắc cộng Quy tắc nhân Tổ hợp chập k của n phần tử Chỉnh hợp chập k của n phần tử Hoán vị của n phần tử

Quy tắc đếm 1. Một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy từ hộp ra 3 bi 3 bi trong đó có 2 đỏ 3 bi trong đó có bi đỏ 2. Cho 4 chữ số: 1,2,3,4 có bao nhiêu cách lập 1 số từ các số trên thỏa mãn: Có 3 chữ số khác nhau Có 3 chữ số

XÁC SUẤT CỦA BC Con số đặc trưng cho khả năng xuất hiện của biến cố trong phép thử gọi là xác suất của biến cố đó. Kí hiệu xác suất của bc A: P(A) Xác suất không có đơn vị Điều kiện:

Các cách tính xác suất Theo quan điểm cá nhân Theo phương pháp cổ điển Theo phương pháp tần suất Theo phương pháp hình học Các phương pháp khác …

Quan điểm cá nhân Dễ dàng nhất, độ tin cậy ít nhất Ví dụ: Xác suất của Một ngày nào đó bạn sẽ die? Bạn có thể bơi vòng quanh trái đất trong vòng 30h? Bạn trúng vé số? Bạn được điểm A môn này?

Quan điểm tần suất Thực hành 3 bước: Thực hiện phép thử với số lần n, rất lớn Đếm số lần biến cố A xuất hiện, giả sử n(A) Xác suất của bc A là:

Ví dụ 11 Nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi gieo đồng xu cân đối, đồng chất. Tần suất dần tới 0.5 Người tung Số lần tung Số lần sấp Tần suất Buyffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 24000 12012 0,5005

Quan điểm tần suất Vậy: Trên thực tế ta lấy với n đủ lớn.

Quan điểm cổ điển Được sử dụng nhiều nhất (trên lớp) Nếu các bcsc là đồng khả năng, và hữu hạn bcsc thì:

Ví dụ 12 Một khách hàng chọn mua một hộp gồm 12 sản phẩm. Ông ta chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm của hộp để kiểm tra, nếu không có phế phẩm thì sẽ mua hộp sản phẩm đó. Tính xác suất người đó mua hộp sản phẩm biết rằng trong hộp có 4 phế phẩm.

Ví dụ 13 Có 3 khách hàng đi vào ngân hàng có 6 quầy phục vụ. Tính xác suất để: A) Cả 3 khách cùng đến một quầy B) Mỗi người đến một quầy khác nhau C) Hai trong 3 người đến 1 quầy D) Chỉ có một khách đến quầy số 1

Ví dụ 14 Một nhóm gồm n người. Tìm xác suất để trong nhóm có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh (cùng ngày và tháng) n 5 10 15 20 30 40 50 60 70 P(A) 0,027 0,117 0,253 0,411 0,706 0,891 0,970 0,994 0,99

Xác suất hình học Nếu phép thử có không gian mẫu  được biểu diễn bởi miền hình học  và biến cố A được biểu diễn bởi miền hình học A:

Ví dụ 15 Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm nào đó từ 19h đến 20h. Mỗi người đến (chắc chắn sẽ đến) điểm hẹn độc lập nhau, chờ khoảng 20 phút; nếu không thấy người kia đến sẽ bỏ đi. Tìm xác suất để 2 người gặp nhau.

Ví dụ 15 Ta có: x, y là thời điểm đến của mỗi người A: bc hai người gặp nhau. Như vậy: Biểu diễn:

Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm): Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể xem rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra. Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất rất gần 1 thì thực tế có thể xem rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử.

Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn Trong một lớp có 50 sinh viên nhất định có 2 bạn có sinh nhật trùng nhau. Vì biến cố “có ít nhất 2 người có cùng sinh nhật” có xác suất rất lớn P(A)= 0,970374. Chú ý: Việc qui định một mức xác suất đủ nhỏ hay đủ lớn tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. Thông thường:  0,05 được coi là đủ nhỏ Đủ lớn: ≥ 0,95.

Công thức tính xác suất Công thức cộng Công thức xác suất điều kiện Công thức nhân xác suất Công thức xác suất đầy đủ

Công thức cộng – tổng quát Hai biến cố tổng quát: Ba biến cố:

Công thức cộng – xung khắc Hai biến cố xung khắc: Ba biến cố xung khắc từng đôi: Các biến cố xung khắc từng đôi:

Ví dụ 16 Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1; trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn 8 điểm là 0,45. Tìm xác suất để xạ thủ được ít nhất 9 điểm.

Ví dụ 17 Sinh viên A sắp tốt nghiệp. Sau khi tham gia hội chợ việc làm tại trường, được 2 công ty phỏng vấn anh ta đánh giá như sau: Xs anh ta được công ty A chọn là 0,8. Xs anh ta được công ty B chọn là 0,6. Xs anh ta được cả 2 công ty chọn là 0,5. Tính xác suất anh ta được chọn bởi ít nhất 1 công ty?

Xác suất điều kiện Nhà nghiên cứu mong muốn đánh giá khả năng phát hiện dấu hiệu bệnh thận của một xét nghiệm chẩn đoán trong các bệnh nhân có huyết áp cao. Thực hiện xét nghiệm trên 137 bệnh nhân (gồm 67 người có dấu hiệu bệnh thận và 70 người khỏe mạnh hoàn toàn). Kết quả của xét nghiệm hoặc dương tính (bệnh nhân có bệnh thận) hoặc âm tính (không có dấu hiệu bệnh thận). Sau đây là kết quả của thí nghiệm:

Xác suất điều kiện Đặt T+ là bc xn cho kq dương tính KQ xét nghiệm Dương tính Âm tính Tổng Thực tế Có bệnh 44 23 67 Khỏe mạnh 10 60 70 54 83 137 Đặt T+ là bc xn cho kq dương tính B là bc bệnh nhân có bệnh thực sự

Xác suất điều kiện Nếu một bệnh nhân có bệnh thực sự thì khả năng để kết quả xét nghiệm của bệnh nhân ấy dương tính là bao nhiêu? Chú ý: - Ký hiệu - Cách tính

Xác suất điều kiện Xác suất của biến cố A với giả thiết là biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất của A với điều kiện B. Kí hiệu: P(A|B) Công thức tính: Nếu P(B)=0 thì xác suất trên không xác định.

Ví dụ 18 Xác suất một chuyến bay khởi hành đúng giờ là 0,83 Xác suất chuyến bay đến đúng giờ là 0,82 Xác suất một chuyến bay vừa khởi hành đúng giờ vừa đến đúng giờ là 0,78 a) XS chuyến bay đến đúng giờ biết nó đã khởi hành đúng giờ b) Khởi hành đúng giờ biết nó đến không đúng giờ.

Tính chất Khi cố định điều kiện A với P(A)>0. Ta có:

Sự độc lập về xác suất Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu sự xuất hiện của biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xuất hiện của biến cố kia. Nghĩa là: Từ công thức xsđk ta có:

Ví dụ 19 Một nghiên cứu cho thấy 10% sinh viên FTU2 đi học bằng xe đạp và trong số đó có 40% sinh viên có người yêu (significant other). Dựa trên khảo sát này, tỷ lệ sinh viên FTU2 đi học bằng xe đạp và có người yêu? Nhận xét gì???

Ví dụ 20 Một người đàn ông tung đồng xu 8 lần và quan sát xem đồng xu là ngửa (H) hay sấp (T) trong mỗi lần tung. Trong hai khả năng sau, khả năng nào dễ dẫn đến việc xuất hiện mặt ngửa ở lần tung số 9 hơn? TT TT TT TT HH TH TT HT Gambler’s Fallacy + Bomb + Garp

Chú ý Cho A và B là hai biến cố độc lập. Khi đó các cặp biến cố sau cũng độc lập. (sv tự CM) Thông thường dựa vào bản chất của phép thử ta công nhận các biến cố độc lập mà không phải chứng minh.

Độc lập từng đôi Hệ các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập từng đôi (pairwise independence) nếu mỗi cặp hai biến cố trong n biến cố đó độc lập với nhau. Độc lập từng đôi ↔ Ai, Aj bất kỳ độc lập.

Độc lập toàn phần Hệ các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập toàn phần (mutual independece) nếu mỗi biến cố trong hệ độc lập với một tổ hợp bất kỳ các biến cố còn lại. Chú ý: Độc lập toàn phần  độc lập từng đôi Không có chiều ngược lại.

Độc lập toàn phần (mutual independence) Trò chơi roulette gồm 36 ô có 2 màu đen (Black) và đỏ (Red) như sau: Đặt các bc: A: rơi vào ô đỏ B: rơi vào ô chẵn C: rơi vào ô tối đa là 18

Công thức nhân tổng quát Hai biến cố tùy ý: Các biến cố A1, A2,…,An tùy ý: Điều kiện:

Công thức nhân – độc lập Hai biến cố A và B độc lập: Các biến cố độc lập toàn phần: Độc lập ”xác suất tích bằng tích xác suất”

Ví dụ 21 Trong đợt đấu giải tennis, A sẽ gặp B và sau đó A sẽ gặp C. Xác suất A thắng B là 0,6 và xác suất A thắng C là 0,7. Nếu A đã thắng B thì xác suất A thắng C là 0,85. Tính xác suất: a) A thắng cả B lẫn C. b) A chỉ thắng một trong hai người c) A thắng ít nhất 1 người

Ví dụ 22 Tại giải vô địch Taekwondo thế giới, Việt Nam có hai vận động viên A, B tham gia. Khả năng lọt vào vòng chung kết của A, B theo đánh giá lần lượt là 0,9 và 0,7. Biết A và B không cùng bảng trong vòng đấu loại. Tính xác suất A) Cả hai lọt vào vòng chung kết. B) Ít nhất một người lọt vào vòng chung kết. C) Chỉ có A lọt vào vòng chung kết.

Ví dụ 23 Một hộp đựng cầu chì có 20 cái trong đó có 5 cái bị hỏng. A) Chọn ngẫu nhiên 2 cầu chì lần lượt không hoàn lại thì xác suất cả 2 chiếc đều hỏng là bao nhiêu? B) Câu hỏi tương tự nhưng chọn lần lượt có hoàn lại.

Ví dụ 24 Hộp 1 có 7 bóng trắng và 3 bóng đen Hộp 2 có 10 trắng và 5 đen Lấy ngẫu nhiên 2 bóng từ hộp 1 rồi bỏ vào hộp 2 (không nhìn bóng lúc bỏ) Tính xác suất lấy ngẫu nhiên 1 bóng từ hộp 2 thì ta được bóng màu đen.

Công thức Bernoulli Dãy phép thử Bernoulli: i) Các phép thử của dãy độc lập nhau ii) Trong mỗi phép thử ta chỉ quan tâm biến cố A hoặc 𝐴 xuất hiện iii) Xác suất xuất hiện A trong mọi phép thử là bằng nhau

Công thức Bernoulli Cho n phép thử độc lập; trong mỗi phép thử bc A xuất hiện với xác suất p và không xuất hiện với xác suất q=1-p. Khi đó xác suất để A xuất hiện k lần trong n phép thử là:

Ví dụ 25 Một hộp có 10 viên bi gồm 3 bi vàng và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi, mỗi lần 1 bi và có hoàn lại. Tính xác suất trong 4 bi đã lấy có 3 bi đỏ? Giải

Ví dụ 25 Xem việc lấy ra 1 bi là một phép thử thì ta có dãy 4 phép thử độc lập. Xác suất để lấy được bi đỏ mỗi lần là: P(A)=0,7 Gọi F là biến cố lấy được 3 bi đỏ. Ta có:

Ví dụ 26 Một sinh viên thi trắc nghiệm môn Ngoại Ngữ gồm có 10 câu hỏi. Mỗi câu có 4 phần để lựa chọn trả lời, trong đó chỉ có 1 phần đúng. Giả sử sinh viên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các phần của câu hỏi. Tính xác suất trong các trường hợp sau: a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm). b) Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi.

Ví dụ 27  Một bác sĩ có xác suất chữa khỏi bệnh là 0,8. Có người nói rằng cứ 10 người đến chữa bệnh thì chắc chắn có 8 người khỏi bệnh. Điều khẳng định đó có đúng không?

Ví dụ 28 Ở một hệ dịch vụ, khách hàng chỉ có thể chọn một trong 3 loại hình dịch vụ A, B, C. Theo thống kê thì trong số các khách hàng của hệ dịch vụ này, tỷ lệ khách hàng dùng loại hình dịch vụ A, B, C tương ứng là 30%; 50%; 20%.   a) Tìm xác suất để trong số 10 khách hàng vào hệ dịch vụ này có ít nhất 3 người chọn loại hình dịch vụ B. Giả thiết cho rằng họ độc lập nhau trong việc chọn loại hình dịch vụ? b) Có 3 khách hàng vào hệ dịch vụ này và họ độc lập nhau trong việc chọn loại hình dịch vụ. Tìm xác suất để 3 người này chọn 3 loại hình dịch vụ khác nhau?

Công thức xác suất đầy đủ Khi khảo sát các sinh viên về mức độ yêu thích môn XSTK. Kết quả như sau: Có 40% sinh viên nam thích môn này Có 35% sinh viên nữ thích môn này. Vậy có tất cả 75% sinh viên yêu thích môn này. ????????????????????????????????????????

Công thức xác suất đầy đủ Hệ biến cố đầy đủ: một hệ biến cố H1, H2, …, Hn gọi là đầy đủ nếu: Điều kiện trên có nghĩa là trong mỗi phép thử luôn luôn có 1 và chỉ 1 biến cố trong hệ xuất hiện.

Hệ biến cố đầy đủ Ví dụ: {A và 𝐴 } là hệ đầy đủ Tung 4 đồng xu phân biệt, hệ biến cố Ai=“có i mặt sấp xuất hiện” (i=0,1,2,3,4) là hệ biến cố đầy đủ Hệ gồm 5 biến cố đầy đủ Hệ gồm 2 biến cố đầy đủ

Công thức xác suất đầy đủ Cho biến cố A Phụ thuộc hệ {H1, H2,…,Hn} Hệ Hi là một hệ đầy đủ. Khi đó:

Công thức Bayes Cho biến cố A phụ thuộc hệ {H1, H2,…,Hn} Hệ Hi là một hệ đầy đủ. Khi đó:

Ví dụ 29 HỘP 1 HỘP 2 HỘP 3 6 chính phẩm 4 phế phẩm 10 chính phẩm Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được 2 chính phẩm và 1 phế phẩm?

Chú ý Nếu phép thử gồm 2 giai đoạn và biến cố A liên quan đến giai đoạn sau thì các kết quả có thể có của giai đoạn đầu chính là một hệ biến cố đầy đủ. Khi trình bày cần: Ghi rõ công thức. Tính đủ các thành phần. Có thể không cần quá chi tiết: gọi phép thử, không gian mẫu. Nhưng bắt buộc phải gọi biến cố và gọi chính xác.

Ví dụ 30 Công ty có 3 máy sản xuất các sản phẩm. Tương ứng máy B1, B2, B3 sản xuất 30%; 45% và 25% sản phẩm của công ty. Theo đánh giá có 2%; 3% và 1% các sản phẩm của các máy tương ứng kém chất lượng. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Xác suất sản phẩm này kém chất lượng là bao nhiêu? Giả sử sp chọn ra là sp tốt. Khả năng cao nhất sp này do máy nào sx ra?

Bài tập chương 1 cần làm 1.1; 1.3; 1.8;1.9; 1.17 1.19;1.22;1.23;1.24;1.27;1.29;1.30; 1.33;1.37 1.38;.139;1.42; 1.46; 1.48;1.49;1.50 1.51;1.52;1.56;1.59;1.61;1.63 Tất cả 27 bài