چرا به معیار نیاز داریم ؟ معیار های طراحی : چرا به معیار نیاز داریم ؟

استحکام خاصیت یا مشخصه ای از ماده است که مستقل از هر نوع بارگذاری است بار استاتیکی : بار استاتیکی باری است که اندازه و محل اثر آن تغییر نکند بعبارت دیگر: 𝑑𝐹 𝑑𝑡 =0 𝑑𝐹 𝑑𝑙 =0 𝑑𝑀 𝑑𝑡 =0 𝑑𝑀 𝑑𝑙 =0 نیرو یا گشتاور 𝑑𝑇 𝑑𝑡 =0 𝑑𝑇 𝑑𝑙 =0 موقعیت مکانی 𝑙 موقعیت زمانی 𝑡 هدف از طراحی استاتیکی یافتن رابطه هایی بین استحکام ماده و بارهای وارده برای دستیابی به یک اندازه قابل قبول برای قطعه است .

نمونه هایی از شکست اجزا

طراحی باید بر اساس داده های دقیق صورت بگیرد لزوم داشتن معیار در طراحی یک نیاز و بعبارتی یک الزام است

معیارهای طراحی استاتیکی (تئوری های شکست) تئوری های شکست برای مواد شکل پذیر تعریف مواد شکل پذیر: موادی شکل پذیر نامیده میشوند که کرنش شکست آنها 𝜀 𝑓 ≥0.05 باشد و دارای مقاومت تسلیم مشخص که در حالت کشش و فشار یکسان است یعنی 𝑆 𝑦𝑡 = 𝑆 𝑦𝑐 = 𝑆 𝑦

آزمون کشش ساده: نمودار دایره موهر درآزمون کشش ساده 𝝈 𝟑 𝝈 𝟏 𝝈 𝝉 همانطور که در دایره موهر دیده میشود در لحظه تسلیم 𝜎 1 = 𝑆 𝑦 و حداکثر تنش برشی نصف 𝑆 𝑦 میباشد

1- نظریه حداکثر تنش برشی ( ترسکا tresca ) این نظریه میگوید : تسلیم در یک قطعه هنگامی شروع می شود که حداکثرتنش برشی موجود درآن برابر تنش برشی نمونه آزمون کشش ساده (از همان ماده) در لحظه تسلیم گردد در حالت کلی در یک بارگذاری تنش برشی ماکزیمم از رابطه زیر بدست می آید (1) 𝜏 𝑚𝑎𝑥 = 𝝈 𝟏 − 𝝈 𝟑 2 𝜏 نمودار دایره موهر در یک بارگذاری کلی 𝝈 𝟑 𝜎 1

𝝈 𝟏 = 𝑺 𝒚 𝜏 𝑚𝑎𝑥 = 𝝈 𝟏 2 = 𝑺 𝒚 2 (2) نمودار دایره موهر درآزمون کشش ساده اما در لحظه تسلیم در نمونه تحت آزمون کشش ساده داریم از روی دایره موهر پیداست که حداکثر تنش برشی در آزمون کشش ساده در لحظه تسلیم برابر است با 𝝈 𝟏 = 𝑺 𝒚 𝜏 𝑚𝑎𝑥 = 𝝈 𝟏 2 = 𝑺 𝒚 2 (2) 𝝈 𝟑 𝝈 𝟏 𝝈 𝝉 نمودار دایره موهر درآزمون کشش ساده

𝝈 𝟏 − 𝝈 𝟑 = 𝑺 𝒚 𝜏 𝑚𝑎𝑥 = 𝜎 1 − 𝜎 3 2 = 𝑆 𝑦 2 یا میتوان نوشت: از مقایسه روابط 1 و 2 ملاحظه میشود که تسلیم زمانی رخ می دهد که: 𝜏 𝑚𝑎𝑥 = 𝜎 1 − 𝜎 3 2 = 𝑆 𝑦 2 یا میتوان نوشت: معیار حداکثر تنش برشی یا معیار ترسکا 𝝈 𝟏 − 𝝈 𝟑 = 𝑺 𝒚 با اعمال ضریب ایمنی 𝝈 𝟏 − 𝝈 𝟑 = 𝑺 𝒚 𝒏

تعیین استحکام تسلیم در برش از معیار ترسکا شکل مقابل یک جزء در برش خالص را نشان میدهد میدانیم که در برش خالص، قطعه وقتی به تسلیم میرسد که حداکثر تنش برشی برابر استحکام تسلیم در برش گردد. یعنی: 𝜏 𝑚𝑎𝑥 = 𝑆 𝑠𝑦 گردد

در نتیجه میتوان گفت: 𝑺 𝒔𝒚 =𝟎.𝟓 𝑺 𝒚 𝝈 𝟏 𝝈 𝝈 𝟑 𝝉 دایره موهر برای برش خالص با عنایت به نظریه ترسکا داریم 𝜎 1 − 𝜎 3 = 𝑆 𝑦 هم چنین در آزمون کشش ساده درلحظه تسلیم داریم 𝜎 1 =− 𝜎 3 = 𝑆 𝑠𝑦 پس میتوان نوشت 𝑆 𝑠𝑦 − − 𝑆 𝑠𝑦 = 𝑆 𝑦 در نتیجه میتوان گفت: 𝑺 𝒔𝒚 =𝟎.𝟓 𝑺 𝒚

مثال در شکل مقابل نیروی F=2500 N در نقطه D اثر می کند . قطر میله را در نقطه A با استفاده از معیار ترسکا و ضریب ایمنی 2 بدست آورید . 𝑆 𝑦 =320𝑀𝑝𝑎 ] از اِعمال ضرایب تمرکز تنش صرف نظر کنید[

نظریه انرژی کرنشی 𝜀 1 𝜎 1 2 = 𝜎 1 2 2𝐸 این تئوری پیش بینی می کند که شکست در اثر تسلیم زمانی رخ می دهد که کل انرژی کرنشی در یک حجم واحد برابر انرژی کرنشی در همان حجم از نمونه تحت آزمون کشش ساده در لحظه تسلیم شده یا از آن بیشتر شود. انرژی کرنشی ناشی از تنش 𝜎 1 از رابطه روبرو بدست می آید انرژی کرنشی در لحظه تسلیم از معادله 𝑼 𝒔 = 𝑺 𝒚 𝟐 𝟐𝑬 بدست می آید. 𝜀 1 𝜎 1 2 = 𝜎 1 2 2𝐸

𝜀 1 = 𝜎 1 𝐸 − ν 𝐸 ( 𝜎 2 + 𝜎 3 ) 𝜀 2 = 𝜎 2 𝐸 − ν 𝐸 ( 𝜎 1 + 𝜎 3 ) 𝜀 1 = 𝜎 1 𝐸 − ν 𝐸 ( 𝜎 2 + 𝜎 3 ) کرنش های اصلی 𝜀 2 = 𝜎 2 𝐸 − ν 𝐸 ( 𝜎 1 + 𝜎 3 ) 𝜀 3 = 𝜎 3 𝐸 − ν 𝐸 ( 𝜎 1 + 𝜎 2 ) در حالت تنش سه محوری انرژی از رابطه زیر بدست می آید: 𝑈 𝜎 = 𝜀 1 𝜎 1 2 + 𝜀 2 𝜎 2 2 + 𝜀 3 𝜎 3 2 = 1 2𝐸 [ 𝜎 1 2 + 𝜎 2 2 + 𝜎 3 2 −2ν 𝜎 1 𝜎 2 + 𝜎 1 𝜎 3 + 𝜎 2 𝜎 3 ]

در حالت تنش دو محوری تنش های اصلی را به صورت 𝜎 𝐴 , 𝜎 𝐵 نشان می دهیم . 𝑈 𝜎 = 1 2𝐸 [ 𝜎 𝐴 2 + 𝜎 𝐵 2 −2ν 𝜎 𝐴 𝜎 𝐵 ] از برابر قرار دادن 𝑈 𝑆 و 𝑈 𝜎 رابطه انرژی کرنشی بدست میآید 𝑈 𝑠 = 𝑈 𝜎 = 𝑠 𝑦 2 2𝐸 = 1 2𝐸 𝜎 𝐴 2 + 𝜎 𝐵 2 −2ν 𝜎 𝐴 𝜎 𝐵

به این ترتیب معیار نظریه انرژی کرنشی به صورت رابطه زیر بدست میآید 𝑠 𝑦 2 = 𝜎 𝐴 2 + 𝜎 𝐵 2 −2ν 𝜎 𝐴 𝜎 𝐵

نظریه انرژی واپیچش یا نظریه فان - میسز نظریه انرژی واپیچش یا نظریه فان - میسز بر اساس این نظریه تسلیم هنگامی رخ میدهد که انرژی کرنشی واپیچش در حجم واحد برابر انرژی کرنشی واپیچش در حجم واحد برای تسلیم همان ماده در کشش یا فشار ساده برسد یا از آن بیشتر شود

این نظریه مانند نظریه ترسکا برای مواد شکل پذیر و چکش خوار بکار میرود. این نظریه زمانی بوجود آمد که مشاهده شد مقاومت تسلیم در مواد چکش خوار که بصورت هیدروستاتیکی (تنشهای اصلی برابر) بارگذاری شده اند بمراتب بیشتر از مقادیر حاصل از آزمون کشش ساده است. این بدین معنی است که تسلیم پدیده ای صرفا کششی یا فشاری نیست بلکه در ارتباط با عاملی بنام واپیچش زاویه ای است.

جزئی را در نظر میگیریم که تحت تنشهای اصلی 𝜎 1 ، 𝜎 2 و 𝜎 3 قرار دارد جزئی را در نظر میگیریم که تحت تنشهای اصلی 𝜎 1 ، 𝜎 2 و 𝜎 3 قرار دارد. میانگین این سه تنش را 𝜎 𝑎𝑣 مینامیم 𝜎 𝑎𝑣 = 𝜎 1 + 𝜎 2 + 𝜎 3 3 تنش میانگین

𝑈 𝑣 = 1 2𝐸 3 𝜎 𝑎𝑣 2 −2ν 3 𝜎 𝑎𝑣 2 = 3 𝜎 𝑎𝑣 2 2𝐸 (1−2ν) انرژی کل کرنشی که در بخش قبل نیز محاسبه کرده بودیم به صورت زیر است: 𝑈= 1 2𝐸 [ 𝜎 1 2 + 𝜎 2 2 + 𝜎 3 2 −2ν 𝜎 1 𝜎 2 + 𝜎 1 𝜎 3 + 𝜎 2 𝜎 3 ] انرژی تغییر حجم نیز از جایگذاری 𝜎 𝑎𝑣 بجای هرکدام از 𝜎 3 و 𝜎 2 و 𝜎 1 به صورت زیر بدست می آید : 𝑈 𝑣 = 1 2𝐸 3 𝜎 𝑎𝑣 2 −2ν 3 𝜎 𝑎𝑣 2 = 3 𝜎 𝑎𝑣 2 2𝐸 (1−2ν)

انرژی واپیچش از کم کردن انرژی تغییر حجم از انرژی کرنشی بدست می آید انرژی واپیچش از کم کردن انرژی تغییر حجم از انرژی کرنشی بدست می آید. یعنی محاسبه 𝑈− 𝑈 𝑣 با توجه به رابطه 𝜎 𝑎𝑣 = 𝜎 1 + 𝜎 2 + 𝜎 3 3 اگر 𝑈− 𝑈 𝑣 را محاسبه کنیم خواهیم داشت : 𝑈 𝑑 =𝑈− 𝑈 𝑣 = 1+ν 3𝐸 𝜎 1 − 𝜎 2 2 + 𝜎 1 − 𝜎 3 2 + 𝜎 2 − 𝜎 3 2 2 در یک آزمون کشش ساده 𝜎 2 = 𝜎 3 =0 و 𝜎 1 = 𝑆 𝑦 بنا بر این انرژی واپیچیش در یک آزمون کششی ساده در لحظه تسلیم برابر است با: 𝑈 𝑑 = 1+ν 3𝐸 𝑆 𝑦 2

معیار طراحی انرژی واپیچش از برابر قرار دادن انرژی واپیچش در حالت کلی تنش با انرژی واپیچش در آزمون کششی ساده بدست می آید یعنی: 1+ν 3𝐸 𝑆 𝑦 2 = 1+ν 3𝐸 𝜎 1 − 𝜎 2 2 + 𝜎 1 − 𝜎 3 2 + 𝜎 2 − 𝜎 3 2 2 با حذف جملات مشترک دو سوی معادله داریم: 2𝑆 𝑦 2 = 𝜎 1 − 𝜎 2 2 + 𝜎 1 − 𝜎 3 2 + 𝜎 2 − 𝜎 3 2

معیار فوق نشان دهنده آغاز تسلیم در تنش سه محوری است. 𝑆 𝑦 = 𝜎 1 − 𝜎 2 2 + 𝜎 1 − 𝜎 3 2 + 𝜎 2 − 𝜎 3 2 2 1 2 با حل آن بر حسب 𝑠 𝑦 میتوان نوشت: 𝑆 𝑦 2 = 𝜎 𝐴 2 − 𝜎 𝐴 𝜎 𝐵 + 𝜎 𝐵 2 در یک تنش دو محوری با فرض 𝜎 𝐴 و 𝜎 𝐵 به عنوان تنش های اصلی معیار به صورت زیر در می آید :

𝜎 ′ = 𝑆 𝑦 𝑛 𝜎 ′ = 𝜎 1 − 𝜎 2 2 + 𝜎 1 − 𝜎 3 2 + 𝜎 2 − 𝜎 3 2 2 1 2 جذر عبارت داخل کروشه را بنام تنش فان- میسز میخوانند یعنی: 𝜎 ′ = 𝜎 1 − 𝜎 2 2 + 𝜎 1 − 𝜎 3 2 + 𝜎 2 − 𝜎 3 2 2 1 2 𝜎 ′ = 𝜎 𝐴 2 − 𝜎 𝐴 𝜎 𝐵 + 𝜎 𝐵 2 1 2 تنش فان – میسز در حالت دو بعدی معیار انرژی واپیچش 𝜎 ′ = 𝑆 𝑦 𝑛

تعیین مقاومت برشی با معیار انرژی واپیچش در برش خالص داریم: 𝜎 𝐴 =𝜏 , 𝜎 𝐵 =−𝜏 𝜎 ′ = 𝜎 𝐴 2 − 𝜎 𝐴 𝜎 𝐵 + 𝜎 𝐵 2 1 2 از معیار فان-میسز داشتیم: همچنین در لحظه تسلیم در برش خالص داریم: 𝜎 𝐴 =− 𝜎 𝐵 = 𝑆 𝑠𝑦

استحکام تسلیم در برش از دیدگاه معیار فان-میسز حال اگر به جای 𝜎 𝐴 و − 𝜎 𝐵 در معیار فان- میسز مقدار 𝑆 𝑠𝑦 را قرار دهیم خواهیم داشت: 𝜎′ 2 = 𝑆 𝑦 2 =3 𝑆 𝑠𝑦 2 𝑺 𝒔𝒚 = 𝟏 𝟑 𝑺 𝒚 =𝟎.𝟓𝟕𝟕 𝑺 𝒚 استحکام تسلیم در برش از دیدگاه معیار فان-میسز

مقایسه فضای طراحی تعریف شده توسط دو معیار طراحی ترسکا و فان-میسز مقایسه فضای طراحی تعریف شده توسط دو معیار طراحی ترسکا و فان-میسز

شکل مقابل قطعه ای از یک ماشین را نشان می دهد که نیروی F=500 N و لنگر T=150 Nm مطابق شکل بر آن وارد می شود.این قطعه به روش آهنگری گرم ساخته شده و قطر آن در سراسر طولش به یک اندازه می باشد.مصالح مورد استفاده در ساخت قطعه از فولادی با مشخصات 𝑆 𝑈𝑡 =690𝑀𝑃𝑎 , 𝑆 𝑦 =480𝑀𝑃𝑎 میباشد. الف – قطر قطعه را با استفاده از معیار حداکثر تنش برشی و ضریب ایمنی 2 بدست آورید. ب – با توجه به قطر بدست آمده در قسمت الف ضریب ایمنی را با استفاده از معیار انرژی واپیچش تعیین نمایید.

در شکل زیر قطعه تحت بار از فولاد AISI1006 ساخته شده است را با استفاده از معیارهای ترسکا و انرژی واپیچش بدست آورید در شکل زیر F =550N P =8000N T=30Nm

نظریه کولمب – موهر برای مواد شکل پذیر این نظریه که در سال 1900 توسط موهر ارائه گردید بر نتایج سه آزمون کشش ساده، فشار ساده و برش ساده تا مرحله تسلیم بنا شده است. خط ABCDE مرز طراحی است. این نظریه توسط کولمب تکمیل و بنام نظریه کولمب- موهر شناخته میشود. با نوشتن معادله خطی که از O رسم میشود داریم 𝜎 1 𝑆 𝑡 − 𝜎 3 𝑆 𝑐 =1

𝑆 𝑡 و 𝑆 𝑐 می توانند استحکام تسلیم یا استحکام نهایی باشند . 𝑆 𝑡 و 𝑆 𝑐 می توانند استحکام تسلیم یا استحکام نهایی باشند . 𝜎 1 𝑆 𝑡 − 𝜎 3 𝑆 𝑐 = 1 𝑛 با اعمال ضریب ایمنی (𝑛) معادله بشکل روبرو در میآید در حالت تنش دو بعدی تنش های اصلی 𝜎 𝐴 , 𝜎 𝐵 به جای 𝜎 1 و 𝜎 3 قرار می گیرند ، معادله بالا مربوط به حالتی است که 𝜎 𝐴 >0> 𝜎 𝐵 باشد . اگر 𝜎 𝐴 > 𝜎 𝐵 >0 در آنصورت 𝜎 3 =0 , 𝜎 1 = 𝜎 𝐴 و خواهیم داشت : 𝜎 1 𝑆 𝑡 = 1 𝑛 ⟹ 𝜎 1 = 𝜎 𝐴 = 𝑆 𝑡 𝑛

− 𝜎 3 𝑆 𝑐 = 1 𝑛 ⟹ 𝜎 3 = 𝜎 𝐵 = −𝑆 𝑐 𝑛 𝜎 1 𝑆 𝑡 − 𝜎 3 𝑆 𝑐 = 1 𝑛 اگر 0> 𝜎 𝐴 > 𝜎 𝐵 در آنصورت 𝜎 3 = 𝜎 𝐵 , 𝜎 1 =0و خواهیم داشت : − 𝜎 3 𝑆 𝑐 = 1 𝑛 ⟹ 𝜎 3 = 𝜎 𝐵 = −𝑆 𝑐 𝑛 برای بدست آوردن استحکام تسلیم در برش با معیار کولمب- موهر کافی است که در رابطه کولمب-موهر (رابطه روبرو) به جای 𝜎 1 و − 𝜎 3 عبارت 𝑆 𝑠𝑦 را قرار دهیم 𝜎 1 𝑆 𝑡 − 𝜎 3 𝑆 𝑐 = 1 𝑛 𝑆 𝑆 𝑦 𝑆 𝑦 𝑡 − −𝑆 𝑆 𝑦 𝑆 𝑦 𝑐 =1⟹ 𝑆 𝑆 𝑦 = 𝑆 𝑦 𝑡 𝑆 𝑦 𝑐 𝑆 𝑦 𝑡 +𝑆 𝑦 𝑐

معادله کولمب- موهر فضای زیر را بعنوان فضای طراحی معرفی میکند

معیارهای طراحی برای مواد ترد در طراحی برای مواد ترد سه نظریه مطرح میباشد نظریه حداکثر تنش قائم نظریه کولمب - موهر نظریه اصلاح شده کولمب - موهر

نظریه حداکثر تنش قائم: 𝝈 𝟑 ≤− 𝑺 𝒖𝒄 𝝈 𝟏 ≥ 𝑺 𝒖𝒕 این نظریه میگوید : گسیختگی وقتی رخ می دهد که یکی از تنشهای اصلی با استحکام قطعه برابر یا از آن بیشترگردد . یعنی: 𝝈 𝟑 ≤− 𝑺 𝒖𝒄 𝝈 𝟏 ≥ 𝑺 𝒖𝒕 یا دررابطه بالا 𝑺 𝒖𝒕 و 𝑺 𝒖𝒄 استحکام نهایی بترتیب در کشش و فشار هستند

𝝈 𝑩 ≤− 𝑺 𝒖𝒄 𝝈 𝑨 ≥ 𝑺 𝒖𝒕 𝜎 𝐴 = 𝑆 𝑢𝑡 𝑛 یا 𝜎 𝐵 =− 𝑆 𝑢𝑐 𝑛 یا در تنش صفحه ای اگر تنشهای اصلی غیر صفر را به 𝜎 𝐴 و 𝜎 𝐵 نشان دهیم، رابطه بالا را میتوان بشکل زیر نوشت با اعمال ضریب ایمنی خواهیم داشت: 𝜎 𝐴 = 𝑆 𝑢𝑡 𝑛 یا 𝜎 𝐵 =− 𝑆 𝑢𝑐 𝑛 این نظریه اولین معیار طراحی استاتیکی بود که برای مواد شکل پذیر ارائه گردید. ولی بواسطه برخی ایرادات کاربرد خود را ازدست داد این معیار برای مواد ترد کاربرد دارد.

آیا نظریه حداکثر تنش قائم را میتوان برای مواد شکل پذیراستفاده نمود؟ 𝜎 1 𝝈 𝟑 آیا نظریه حداکثر تنش قائم را میتوان برای مواد شکل پذیراستفاده نمود؟ این معیار در یک بارگذاری صرفا برشی عملکرد خوبی ندارد به همین خاطر نمیتواند مورد استفاده قرار گیرد 𝝈 𝟏 𝝈 𝝈 𝟑 𝝉 در این معیار تنش اصلی میتواند تا استحکام تسلیم افزایش یابد، اما در یک بار گذاری برشی، تنش برشی برابر تنش اصلی است و تنش اصلی قبل از آنکه به تنش تسلیم برسد شکست در قطعه اتفاق خواهد افتاد

نظریه کولمب – موهر برای مواد ترد در نظریه کولمب- موهر برای مواد ترد داریم 𝜎 1 𝑆 𝑢𝑡 − 𝜎 3 𝑆 𝑢𝑐 = 1 𝑛 رابطه بالا شبیه رابطه کولمب- موهر برای مواد شکل پذیر است بجز اینکه بجای 𝑺 𝒚 از 𝑺 𝒖 استفاده شده است

نظریه اصلاح شده کولمب – موهر برای مواد ترد نظریه اصلاح شده کولمب – موهر برای مواد ترد