GEOMETRIJSKE KONSTRUKCIJE SAMO ŠESTAROM Vojislav Petrović Departman za matematiku i informatiku, PMF Novi Sad vojpet@dmi.uns.ac.rs

1. Konstrukcije lenjirom i šestarom 1.1 Definicija elementarne konstrukcije (aksiome) (1) izbor tačke u ravni (2) konstrukcija prave kroz dve tačke  lenjir (3) konstrukcija kružnice s datim centrom i datim poluprečnikom  šestar (4) određivanje preseka dve prave, prave i kružnice, dve kružnice (ukoliko postoje) 2 2 2 2 2

konstrukcija lenjirom i šestarom i konačnog broja elementarnih konstrukcija (1)  (4) konstrukcija tražene figure pomoću datih elemenata PRIMER 1. Konstruisati simetralu s date duži AB. Rešenje. s C k1 k2 1o k1(A; AB) (3) 2o k2(B; AB) (3) A B 3o k1  k2 = {C, D} (4) 4o s = CD (2) D  3 3 3 3

jednostavne kombinacije elementarnih konstrukcija koje se često sreću osnovne konstrukcije jednostavne kombinacije elementarnih konstrukcija koje se često sreću  prava koja sadrži datu tačku i paralela je s datom pravom  prava koja sadrži datu tačku i normalna je na datu pravu  simetrala duži  simetrala ugla  tangenta iz date tačke na datu kružnicu  kružnica sa centrom u datoj tački koja dodiruje datu pravu  kružnica opisana oko datog trougla  kružnica upisana u dati trougao  GMT iz kojih se data duž vidi pod datim uglom 4 4 4 4 4

1.2 Nerešive konstrukcije lenjirom i šestarom 1. klasične (antičke)  udvajanje kocke  trisekcija ugla  kvadratura kruga 2. druge nerešive konstrukcije 5 5 5 5 5

2 se ne može konstruisati lenjirom i šestarom (algebra) Udvajanje kocke Problem. Pomoću lenjira i šestara konstruisati ivicu kocke čija je zapremina dva puta veća od zapremine date kocke. a  ivica date kocke x a a + = x  ivica tražene kocke x3 = 2a3  x = a 2 3 2 se ne može konstruisati lenjirom i šestarom (algebra) 3 Zaključak. Problem udvajanja kocke je nerešiv lenjirom i šestarom. 6

lenjirom i šestarom ne može se izvršiti trisekcija ugla (algebra) Problem. Pomoću lenjira i šestara podeliti dati ugao na tri jednaka dela. a O b φ φ φ lenjirom i šestarom ne može se izvršiti trisekcija ugla (algebra) Zaključak. Problem trisekcije ugla je u opštem slučaju nerešiv lenjirom i šestarom. 7

π je transcedentan broj (Lindemann-Weierstrass, 1882) Kvadratura kruga Problem. Pomoću lenjira i šestara konstruisati kvadrat čija površina jednaka površini datog kruga. r r π π je transcedentan broj (Lindemann-Weierstrass, 1882) lenjirom i šestarom ne može se konstruisati π, te ni π Zaključak. Problem kvadratura kruga je nerešiv lenjirom i šestarom. 8

drugi nerešivi problemi Konstruisati Δ ABC ako su dati odsečci simetrala uglova sa, sb, sc. Konstruisati kvadrat ABCD, tako da temena A i B pripadaju datoj kružnici k1, a temena C i D datoj kružnici k2. A C B k1 k2 sa sb sc A D C B sc sa sb 9 9 9 9 9

2. Konstrukcije samo šestarom 2.1 Definicija elementarne konstrukcije (1) izbor tačke u ravni A (3) konstrukcija kružnice s datim centrom i datim poluprečnikom  šestar O (4') određivanje preseka dve kružnice (ukoliko postoji) prava 10 10 10 10 10

Jørgen (Georgius) Mohr, Euclides Danicus, Amsterdam 1672 Lorenzo Mascheroni, La Geometria del Comasso, Pavia 1797 Svaka konstrukcija koja se može izvesti lenjirom i šestarom može se izvesti i samo šestarom. Pokazuje se da se samo šestarom mogu izvesti sve elementarne konstrukcije (1)-(4) s k a b 11 11 11 11 11

2.2 Primeri PRIMER 1. Date su tačke A, B i C. Samo šestarom konstruisati tačku D, tako da je CD  AB. Rešenje. k1(A; BC) k2(C; AB) D k2 A B C D  k1  k2 D, B AC k1 k1 k2 k2 k2 k1 k1 A B C D D C A B D A C B 

ponovi se n  1 puta konstrukcija (a) PRIMER 2. Dati su duž AB i prirodan broj n  2. Samo šestarom konstruisati tačku C prave AB, takvu da je |AC| = n  |AB|. k2 Rešenje. |AB| = d k1 D E (a) n = 2 k k3 k (B; d) k1(A; d) D  k1  k A B d C k2(D; d) E  k2  k k3(E; d) C  k3  k |AC| = 2 |AB| A B C (b) n > 2 ponovi se n  1 puta konstrukcija (a) |AC| = 4 |AB|  13 13 13 13 13

PRIMER 3. Dati su duž AB i prirodan broj n  2 PRIMER 3. Dati su duž AB i prirodan broj n  2. Samo šestarom konstruisati tačku C prave AB, takvu da je |AC| = |AB|. 1 n k2 Rešenje. 1o |AB| = d E k1 |AD| = n  |AB| (primer 1) k3 k1(A; AB) k2(D; DA) k4 B A C D k1  k2 = {E, F} k3(E; EA) k4(F; FA) F k3  k4 = {A, C} |AC| = |AB| 1 n |AC| : d = d : nd Δ ACE  Δ AED |AC| = d 1 n |AC| : |AE| = |AE| : |AD| |AC| = |AB| 1 n 14 14 14 14 14

Napomena. Tehnički problem. n  veliko   k3k4  mali  nejasan položaj tačke C rešenje G  dijametralno suprotna od F na k1 (primer 1) ACEG  paralelogram  AC = GE k (A; GE) C  k  k3 (k4) k4 k3 k2 k1 B A C E D F G k 15 15 15 15

ADEF  ravnokraki trapez  CDEF  paralelogram  C AD 2o |AB| = d |AD| = n  |AB| (primer 1) k1(A; AB) k2(D; AB) k6 F k4 k3 E k3(A; AD) k4(D; AD) k5 k1 k2 E  k2  k3 F  k1  k4 A B C D k5(D; EF) k6(F; AB) C  k5  k6 |AC| = |AB| 1 n ADEF  ravnokraki trapez  CDEF  paralelogram  C AD Δ ACF  Δ ADF  |AC| : |AF| = |AF| : |AD|  |AC| : d = d : nd  |AC| = 1 n d |AB| 1 n =  16 16 16 16

PRIMER 4. Dati su prava s svojim dvema tačkama A i B i tačka C PRIMER 4. Dati su prava s svojim dvema tačkama A i B i tačka C. Samo šestarom konstruisati tačku C' simetričnu tački C u odnosu na pravu s. C k2 Rešenje. k1(A; AC) k2(B; BC) k1 k1  k2 = {C, C'} s A B C'  PRIMER 5. Dati su prava s svojim dvema tačkama A i B i tačka X. Samo šestarom ispitati da li Xs. C Rešenje. Cs C' = σs (C) k X  s  XC = XC' s A B  C'  k (X ; XC') X  C' 17 17 17 17

PRIMER 6. Samo šestarom konstruisati proizvoljan broj tačaka prave s date svojim dvema tačkama A i B. Rešenje. 1o kao u primeru 1 2o Cs C' = σs (C) (primer 4) k1(C; r1) k1(C'; r1) ' k2 k1 k1  k1 = {X1, X2} ' C k2 ' C' k2(C; r2) k2(C'; r2) ' k1 ' s B A Y1 Y2 X1 X2 k2  k2 = {Y1, Y2} ' . . . X1, X2, Y1, Y2, ...  s  18 18 18 18

PRIMER 7. Dati su prava s svojim dvema tačkama A i B i tačka C PRIMER 7. Dati su prava s svojim dvema tačkama A i B i tačka C. Samo šestarom konstruisati normalu iz tačke C na pravu s. C Rešenje. (a) Cs C' = σs (C) (primer 4) s A B CC'  AB = s C' (b) Cs C  A  C  B D k1 k2 ACE , |AC| = |CE| (primer 2) k1 (A; AE) k2 (E; AE) s B A C E D  k1  k2 CD  AB = s  19 19 19 19 19

PRIMER 8. Date su tačke A i B PRIMER 8. Date su tačke A i B. Samo šestarom konstruisati simetralu duži AB. Rešenje. s k1(A; AB) k2(B; AB) X Y k1 k2 k1  k2 = {X, Y} s = XY A B AYBX  romb  s = XY  sim. AB  20 20 20

PRIMER 9. Date su kružnica k(O) i tačke A van nje PRIMER 9. Date su kružnica k(O) i tačke A van nje. Samo šestarom konstruisati tangente iz A na k. Rešenje. S  sredina OA (primer 3) k' (S; SO) k  k' = {T1, T2} T1 T2 k' t1 O k t1 = AT1 t2 = AT2 t2 S A 

PRIMER 10. Date su duži a, b, c (svojim krajevima) PRIMER 10. Date su duži a, b, c (svojim krajevima). Samo šestarom konstriusati duž x, takvu da je a : b = c : x. Rešenje. (a) c < 2a a b c k1(O; a) k2(O; b) P, Q  k1 , PQ = c k1 O k3(P; m) k4(Q; m) P1  k3  k2 Q1  k4  k2 k2 P1Q1 = x a b b a k3 k4 Q1 x m OPP1  OQQ1 (SSS) m P1   POQ   P1OQ1 P Q c   POQ   P1OQ1  PO : P1O = PQ : P1Q1  a : b = c : x 22 22 22 22

(b) b < 2a a : b = c : x  a : c = b : x k1(O; a) k2(O; c) P, Q  k1 , PQ = b . . . kao (a) (c) c  2a  b  2a nN , c < 2na y , na : b = c : y kao (a) x = ny (primer 2) na : b = c : y  a : b = c : ny  a : b = c : x  23 23 23

PRIMER 11. Date su tačke A i B kružnice k PRIMER 11. Date su tačke A i B kružnice k. Samo šestarom konstruisati sredine oba luka AB. Rešenje. k(O; r) AB = l k1(O, l) k2(A, r) k3(B, r) k4 k5 C  k1  k2 D  k1  k3 E k6 k7 S1 S k4(C, CB) k5(D, DA) k A B O k2 k3 l k1 E  k4  k5 C D k6(C, OE) k7(D, OE) k6  k7 = {S, S1} S, S1  sredine lukova AB 24 24 24 24

 CO = OD = AB = l CA = OB = OA = DB = r COBA , ODBA  paralelogrami k4 COBA , ODBA  paralelogrami k5 E k6 k7  C, O, D  kol. O  sred. CD S CO = DO A B  ESOS1  sim. CD k k2 k3 l CE = DE k1 CS = DS C O D CS1 = DS1 S1 S, S1  k COBA  CB2 + OA2 = 2OB2 + 2AB2 COS  OS2 = CS2  CO2  CB2 + r2 = 2r2 + 2l2 = OE2  CO2  CB2 = r2 + 2l2 (1) = r2 + l2  l2 (2) COE  OE2 = CE2  CO2 = r2 = CB2  CO2 = r2 + 2l2  l2 (1)  S  sredina luka AB = r2 + l2 (2)  S1  sredina luka AB 25 25 25 

PRIMER 12. Date su prava s svojim dvema tačkama A i B i kružnica k PRIMER 12. Date su prava s svojim dvema tačkama A i B i kružnica k. Samo šestarom konstruisati tačke preseka prave s i kružnice k. Rešenje. k(O; r) s A B O k (a) O  s O' = σs (O) (primer 4) O' k' X Y k' (O'; r)  k' = σs (k) s  k = k  k' = {X, Y} (b) O  s k1 Q P k1(A) k1  k = {P, Q} k s A B O X, Y  sred. lukova PQ na k (primer 11) X Y s  k = {X, Y}  26 26 26 26

PRIMER 13. Date su prava s tačkama A i B i prava t tačkama C i D PRIMER 13. Date su prava s tačkama A i B i prava t tačkama C i D. Samo šestarom konstruisati tačku preseka pravih s i t. Rešenje. C' = σs (C) D' = σs (D) (primer 4) k1(C; CD) k2(D'; CC') E  k1  k2 t D C k3 x , DE : DD' = DC : x (primer 10) (1) C' D' k3(D; x) k4(D'; x) X  k3  k4 (2) k4 s A B (2)  X  s X s  t = {X} k1 k2 CED'C'  paralelogram  D'E  C'C (3)  E  D'D (3) E C'C  D'D CD  C'D'  s = {Y} (4) DEC  DD'Y  DE : DD' = DC : DY (5) (1), (5)  X  Y  s  t = {X} (4) 27 27 27 27

C' = σs (C) D' = σs (D) k1(C; CD) k2(D'; CC') E  k1  k2 t D C x , DE : DD' = DC : x D' k3(D; x) k4(D'; x) X  k3  k4 k3 k1 . . . k4 C' s  t = {X} s A B X k2 E  Napomena. t C D s A B AB  CD  CC' = DD' C' D' 28 28 28

TEOREMA. (Mohr, Mascheroni) Svaka geometrijska konstrukcija koja se može izvesti lenjirom i šestarom može se izvesti i samo šestarom. Dokaz. Sledi iz primera 12 i 13.  29 29 29

PRIMER 14. Samo šestarom konstruisati centar date kružnice k. Rešenje. 1o A, B, C  k k KL  sim. AB (primer 8) K L N M MN  sim. BC (primer 8) A C B O KL  MN = {O} (primer 13) O  centar k 30 30 30

2o A, B  k k1(B; AB) k1  k = {A, C} D , AD  prečnik k1 (primer 2) k2(D; DC) k3(B; DC) k E  k2  k3 k4 k5 O k4(E; ED) k6 F k1 C F  k4  k1 E k2 k3 k5(A; AF) k6(B; AF) D B A O  k5  k6 O  centar k 31 31 31

 BDE  BFE  jednakokraki DBE = BDE = FBE = BFE =  (1) BED = BEF =  BDE  ABE = BDE + BED =  +  (2) k (1), (2)  ABF =  , BAF = BFA =  k4 O  AFB  BDE k5 F  FA : AB = BD : DE C φ φ E k6 θ  OA : AB = BD : DC (FA = OA , DE = DC) θ φ θ φ φ  OAB  BDC (SSS) D A B k3  ABO = BDC (3) k1 k2 BDC  ABC = BDC + BCD = 2BDC (4) (3), (4)  ABO = CBO  ABO  CBO (SUS)  OA = OB = OC  O  centar k  32 32 32

F, G  k, |AG| = 2 |AB| (primer 2) PRIMER 15. Samo šestarom konstruisati kvadrat ABCD ako su data temena A i B. Rešenje. |AB| = 1 k2 k3 k(B; 1) k1(A; 1) H k5 E  k  k1 D E C F k1 k4 k F, G  k, |AG| = 2 |AB| (primer 2) k2(A; AF) k3(G; GE) A B 1 G H  k2  k3 k4 (A; BH) C  k  k4 |AF| = |AH| = 3 k5 (C; 1)  |BH| = |AC| = 2 Dk1  k5 ABCD  kvadrat  33 33 33 33 33

r2  koeficijent inverzije 3. Inverzija O  centar inverzije A r2  koeficijent inverzije A' φ : α \ {O}  α \ {O} O B' B r φ(X) = X' C (a) O, X, X'  kolinearne = C' X, X'  sa iste strane O (b) OX  OX' = r2 OA > r  OA' < r OB < r  OB' > r O, r2 φ φ O r2 φ OC = r  OC' = r  C' = C 34 34

O, r2 φ k(O; r) O, r2 φ = φk k O C C' r D A' A B B' = D' 35 35

PRIMER 16. Data je inverzija φk PRIMER 16. Data je inverzija φk . Samo šestarom konstruisati tačku A' inverznu datoj tački A, tj. A' = φk(A). Rešenje. k(O; r) (a) OA = r A' = A k1 C B (b) OA > r A k O k1(A; AO) k1  k = {B, C} (1) k2 k2(B; BO) k3(C; CO) k3 A' k2  k3 = {O, A'} (2) (1)  OA  BC  O, A, A' kol. (3) (2)  OA'  BC OAB  OBA' (3), (4)  φk(A) = A' OA : OB = OB : OA' OA  OA' = OB2 = r2 (4) 36 36

(c) OA < r B , OB = n  OA > r (primer 2) φk(B) = B' (b) OB  OB' = r2 (5) n = 3 A' , OA' = n  OB' (primer 2) B B' A' φk(A) = A'  OB 1 n OA  OA' =  n  OB' = OB  OB' = r2 (5)  37 37

PRIMER 17. Data je inverzija φk PRIMER 17. Data je inverzija φk . Samo šestarom konstruisati pravu s' inverznu datoj pravi s, tj. s' = φk(s). Rešenje. k(O; r) (a) O  s k s = s' B B' O A A' φk (s) = s' = s 38 38

(b) O  s O' = σs(O) (primer 4) O" = φk(O') (primer 16) OO'  OO" = r2 A B OO'  OO" = r2 (1) s' (O"; O"O) s' = φk(s) s' O' O" C' C s  OO' = {C} s'  OO' = {O, C'}  OO' 1 2 OC  OC' =  2  OO" = OO'  OO" = r2 (1) φk(C) = C'  φk(s) = s'  39 39

PRIMER 18. Data je inverzija φk PRIMER 18. Data je inverzija φk . Samo šestarom konstruisati inverznu sliku s' date kružnice s, tj. s' = φk(s). Rešenje. k(O; r) (a) O  s s' A, B  s A' s O k φk(A) = A' φk(B) = B' B A s' = A'B' B' iz primera 17(b) 40 40

(b) O  s S  centar s O1 = φs(O) (primer 16) S1 = φk(O1) A  s A' = φk(A) s' (S1; S1A') O k s S s' = φk(s) A A' s' O1 S1  41 41

PRIMER 19. Samo šestarom konstruisati tačku X  presek datih pravih s(A, B) i t(C, D). Rešenje. O, O  s , O  t k(O) φk(s) = s' φk(t) = t' (primer 17) T s'  t' = {O, X'} D C t B A s φk(X') = X (primer 16) s  t = {X} k t' X T' s' X' O S S'  42

PRIMER 20. Samo šestarom konstruisati centar date kružnice s. Rešenje. O  s k(O) φk A, B  k A, B  O s' A' φk (A) = A' k (primer 16) B A φk (B) = B' s A'B' = s' = φk (s) O B' O' S σs' (O) = O' (primer 4) φk (O') = S (primer 16) S  centar s (primer 17 (b))  43

PRIMER 21. Samo šestarom konstruisati kružnicu opisanu oko datog ABC. Rešenje. k(A; AB) φk (C) = C' (primer 16) φk (BC') = k1(A, B, C) (primer 17(b)) A C B k1 k C' 