المحاضرة السابعة حل معادلة شرود نجر في بعد واحد (2)بئر الجهد المحدود (3)الجهد السلمي (1)

بئر الجهد المحدود Finite Potential Well (Square Potential Well) V0 ш Π Ι v=0 m x 0 a

نعتبر أن لدبنا حالة جسم مقيد ويتحرك في بعد واحد هو في اتجاه المحور x كما هو موضح بالشكل أعلاه , أي مربوط ببئر جهد يمكن تعريفه على النحو التالي : (1) ولحل معادلة شرودنجر الموجية يجب أن نأخذ في الاعتبار ثلاث مناطق : المنطقة الأولى: ويكون قيمة الجهد تساوي V0 حيث نعتبر أن طاقة الجسيم أصغر من طاقة الجهد في هذه المنقطة, وهذا ما يجعل الجسم مقيدا , وهي المنطقة التي تكون فيها x<0 وتأخذ معادلة شرودنجر فيها الشكل التالي (2)

وحل هذه المعادلة يكون على الصورة (3) حيث C,F ثوابت ومن الشروط الحدية المعلومة أن الدالة y1 لابد أن تكون محددة القيمة لأي قيمة كبيرة من x وبذلك نجد أن الدالة الموجية ستؤول إلى الصورة التالية (4) لأن الجزء الثاني من الارتباط الخطي لن يكون محدودا للقيم الكبيرة من x أي أن F=0

وفي المنطقة الثانية : وهي المنطقة التي يكون فيها 0<x<a, حيث كما هو واضح من الرسم تكون= 0 V0 وتأخذ معادلة شرودنجر في هذه المنطقة الشكل التالي (5) وحل المعادلة رقم (5) هو (6)

وفي المنطقة الثالثة : (7) وحل هذه المعادلة يكون على الصورة (8) وهي المنطقة عندما يكون x>a وفيها نجد أن V(x)= V0 وتأخذ معادلة شرودنجر في هذه المنطقة الشكل التالي : (7) وحل هذه المعادلة يكون على الصورة (8)

وحتى يصبح هذا الحل صحيحا لمعادلة شرودنجر لابد أن تكون الدالة الموجية محقة للشروط المفروضة ومن ضمنها أن تكون محددة القيمة , وبما انه للقيم الكبيرة جدا من x في هذه المنطقة يصبح الحد الأول من هذا الحل غير محدود القيمة لذلك فلا بد أن تكون G = 0 وبذلك يصبح الحل على الصورة (9) وبما أن من شروط الدالة الموجية المميزة أن تكون مستمرة ,ان تكون المشتقة الأولى لها مستمرة أيضا لذلك بتطبيق شروط الاتصال نحصل على : (10)

كما أن (11) ومن الشرط (10) نحصل على A=C (13) k2B=k1C ومن الشرط (11) نحصل على (14) (15)

بالتعويض من 12 , 13 في 14, 15 نحصل على (16) (17) (18) وبقسمة المعادلتين 17 على 18 نحصل على (19)

وهي العلاقة التي تربط بين k1 و k2 وعرض دالة الجهد a , ومن تلك العلاقة يمكن تعيين قيم الطاقة E , وفي الحالة الخاصة حيث يكون عمق بئر الجهد لانهائيا أي أن , فإننا نجد من المعادلة (2) أن وحينئذ نجد أن معادلة (19) ستؤول إلى مالا نهاية أي أن وهذه المعادلة تعطي مستويات الطاقة المختلفة لقيم n عندما يكون الجهد لا نهائيا .

مسائل التصادم : جهد العتبة (الجهد على هيئة درجة سلمية ) Potential Step V0 x جسيم ساقط بطاقة E وكتلته m V(x)

من أبسط الأنظمة دراسة حركة جسيم في بعد واحد , بحيث يسير حرا في اتجاه محور x تحت تأثير طاقة الوضع الموضحة بالشكل , وبذلك يسير الجسيم حرا حتى يصل إلى النقطة x=0 حيث يتعرض لقوة F ناشئة عن وجود جهد له قيمة معينة V تعمل على عكس حركته إلى اتجاه اليسار وحيث أن الطاقة الكلية عبارة عن E=T+V لذا نجد أنفسنا بصدد حالتين :

الحالة الأولى : وهي عندما يكون E>V ويمكن مناقشتها كلاسيكيا وكميا على النحو التالي : أ-من وجهة النظر الكلاسيكية عندما يقترب الجسيم القادم من اليسار من حاجز الجهد حاملا طاقة حركة مقدارها T0 يكون الجهد في المنطقة قبل x=0 وفيها يكون الجهد مساويا للصفر وبالتالي فإن الطاقة الكلية ستساوي الطاقة الحركية للجسيم أي أن E=T0أي أن وبعد دخول الجسم للحاجز تقوم القوى F بإبطاء حركته حيث وبذلك يتحول جزء من طاقة الحركة للتغلب على القوى الناشئة من طاقة حاجز الجهد , وبما أن الافتراض الأساسي وبما أن الافتراض الرئيسي هو أن الطاقة الكلية أكبر من طاقة حاجز الجهد لذلك فإن جزء من هذه الطاقة يكون مساويا لحاجز الجهد وبالتالي يستنفذ في التغلب على القوى العكسية الناشئة من حاجز الجهد وتخرج الجسيمات حاملة طاقة حركة T1 تعطى بالمقدار T1= E-V وهذا يعني نفاذ كلي للجسيمات .

ب : من وجهة النظر الكمية : ينقسم مدى الدراسة إلى منطقتين يمكن تعريفها كما يلي (20) وحيث أنه يمكن الحصول على الطاقة من معادلة شرودنجر الكمية والتي تعطى بالصورة : وبالتعويض بها في المنطقة الأولى نحصل على (21) وبذلك نجد أنه في المنطقة الأولى يكون (22)

وحل المعادلة 22 هو على الصورة (23) وفي المنطقة الثانية يكون (24)

وحل المعادلة 24 يكون على الصورة وحيث لايوجد انعكاس للجسيمات في هذه المنطقة لذلك نجد أن D=0 وبذلك يصبح الحل في هذه المنطقة على الصورة (25) وعندما نطبق شروط الاتصال عند الحدود للدوال المميزة وهي (26)

وبتطبيق الحلول 23 و25 في الشرط 26 نحصل على

وبذلك فإن النظام الذي يكون فيه E>V يمكن أن يحمل أي قدر من الطاقة أي لايوجد شرط يقيد قيم الطاقة المتاحة كما هو الحال في الوضع الكلاسيكي إلا أن الحركة المتاحة كميا تختلف اختلافا جوهريا عن نظيرها الكلاسيكي ولنبين ذلك نقوم بحساب كثافة الاحتمال لتواجد الجسيم عند المنطقة التي يكون فيها النقطة أصغر من الصفر (27)

إن الحد التذبذبي الأخير في هذه المعادلة ليس له أهمية فيزيائية كبيرة ويمكن التخلص منه بأخذ متوسط الاحتمال النسبي في منطقة كبيرة بالنسبة للمقدار , أما الحدين الأخيرين فيتولدان مباشرة من الموجة الساقطة والموجة المنعكسة ويمثلان الشدتين النسبيتين لهاتين الموجتين , وبإتباع نفس الطريقة يكون احتمال تواجد الجسيم في المنطقة الثانية هو B2 ويمثل الشدة النسبية للموجة النافذة , والسمة الوصفية الجديدة والمهمة في ميكانيكا الكم هي عدم تلاشي الموجة المنعكسة حيث نجد أن

وبذلك يمكن أن نصل إلى الحد الكلاسيكي عند قيم كبيرة لطاقة الحركة عندما تكون الطاقة الكلية أكبر بكثير جدا من طاقة الجهد , بحيث يصبح بالإمكان إهمال قيمة طاقة الجهد مقارنة بالطاقة الكلية E حيث نحصل في هذا الوضع على وهذا هو الحد الكلاسيكي الصحيح لحدوث النفاذ الكلي

أما الحد الكمي للغاية فينشأ عندما يكون أي أن V كبيرة جدا ولكن بقيمة سالبة بمعنى أن E>>V حيث V سالبة الإشارة , وهذا يؤدي إلى حدوث انخفاض مفاجئ كبير في طاقة الوضع , ويمكن تفسير ذلك كلاسيكيا بأن الجسيم سوف يخترق طاقة الوضع السالبة مع زيادة كبيرة جدا في طاقة حركته , أما من وجهة النظر الكمية فإن ذلك يؤدي إلى أن تصبح K1<<K2 وبالتالي يمكن إهمال k1 مقارنة ب k2 وتصبح k1=0 A=-1 , B≈ 0 ويعني هذا كميا حدوث انعكاس كلي , ويلاحظ هذا التأثير في الفيزياء النووية عند سقوط نيوترون له طاقة صغيرة على نواة ما , حيث يشاهد عندئذ انعكاس للنيوترون عند اقترابه من سطح النواة نتيجة طاقة الوضع السالبة الكبيرة الجاذبة للنواة .