,,Matavimai ir paklaidos’’ Karina Turba 8g

Matavimai ir paklaidos 1. Apytikslės dydžių reikšmės 2. Absoliučioji ir santykinė paklaidos(Maksimalios absoliučioji ir santikynė paklaidos) 3. Matavimo tikslumas 4. Matavimo vienetų sąryšiai 5. Uždaviniai.

Apytiksliai skaičiai ir paklaidos Matematiniame modelyje dažniausiai naudojami pradiniai duomenys ir koeficientai, kurie žinomi arba matuojami tik apytiksliai. Kitas apytikslių skaičių šaltinis glūdi kompiuterių aritmetikoje – kompiuterio atmintynėje visi realieji skaičiai užrašomi baigtine dešimtaine trupmena, kurios ilgis priklauso nuo kintamajam išsaugoti skirtų bitų skaičiaus , t.y. apvalinami . Pvz., (1:3)·3 = ? Sprendžiant realius uždavinius, atliekami milijonai aritmetinių veiksmų. Kai nėra kontroliuojamos, pradinės ir apvalinimo paklaidos gali susikaupti ir neatpažįstamai iškreipti gaunamą sprendinį. Tokie metodai vadinami nestabiliais. Sieksime sudarinėti stabilius skaitinius metodus ir algoritmus, kai paklaidos nesikaupia (neauga).

Apytikslės dydžių reikšmės Spręsdami uždavinius susiduriame su tiksliais ir apytiksliais skaičiais. Tiksliai galime pasakyti, kiek yra suskaičiuojamų objektų (pvz., lėkštėje yra 12 obuolių, kubas turi 6 sieneles). Tiksliai žinome, kad 1 m sudaro 100 cm, 1 minutėje yra 60 s. Koeficientai ir laipsnio rodikliai, esantys įvairiose formulėse, taip pat yra tikslūs skaičiai, pvz., rutulio tūris V apskaičiuojamas pagal formulę V = 4/3R 3 ; skaičiai 4/3 ir 3 yra tikslūs. Jeigu kalbame apie matavimo rezultatą, jis visada yra apytikslis. Išmatuotosios ir tikrosios fizikinio dydžio verčių skirtumas vadinamas matavimo paklaida. Vienos paklaidos būna atsitiktinės, atsirandančios dėl įvairiausių atsitiktinių veiksnių, kitos - sisteminės, susijusios, pavyzdžiui, su matavimo prietaisų charakteristikomis. Paprastai dydis matuojamas ne vieną, o kelis kartus ir iš tų duomenų apskaičiuojama vidutinė dydžio vertė. Ant avizų pakelio parasyta kad jo masė 400g ± 1%. 400g=100%         1%=400*1/100=4g Xg = 1%                 Tai reiskia, kad avizų esančių tame pakelyje masė m gali būti tarp 400-4=396g ir 400+4=404g t.y.: 396<m<404. Avizų masę m=(400±4)g m=400g (10g tikslumu)

Absoliučioji ir santykinė paklaida Dydžio apytikslės ir tikslios reikšmių skirtumo modulis vadinamas absoliučiąją paklaida. Tikslaus skaičiaus x ir jam artimo apytikslio skaičiaus skirtumo modulis. Paklaidos modulis kai x < a, a. p. yra |x-a|. jei egzistuoja toks d, su kurio |x-a|< d, tai tikslioji x reikšmė yra intervale (a-d;a+d), taigi ji tenkina nelygybes a-d < x < a+d. Rašome: x < a < d. Pažymėję apytikslę dydžio reikšmę x, o tikslią – a, absoliučiąją paklaidą galime užrašyti taip: |x-a|. Kuo mažesnė absoliučioji paklaida, tuo apytikslė reikšmė yra artimesnė tiksliajai reikšmei. Absoliučioji paklaida nepakankamai apibūdina matavimo arba skaičiavimo tikslumą. Pavyzdžiui, jei padarėme 1cm paklaidą, tai nieko negalim pasakyti, ar tai maža, ar didelė paklaida. Norint tiksliau apibūdinti skaičiavimo tikslumą, skaičiuojama santykinė paklaida. Santykinė paklaida yra normuotas dydis ir dažniausiai išreiškiama procentais. Dydžio apytikslės reikšmės santykine paklaida vadiname obsoliučiosios paklaidos ir apytikslės reikšmės santykį. Tarkime, kad yra žinomas skaičiaus a artinys (apytikslė reikšmė) –x. Apibrėžimas. Skaičiaus a artinio x absoliučiąją paklaida vadinamas dydis. Apskaičiuokime absoliučiąsas paklaidas, kai a=1000, o x=1012 ir b=0,01, o y=0,0098. Kurio skiačiaus (a arba b) artinys yra tikslesnis? Apibrėžimas.Skaičiaus a artinio x santikyne paklaida vadinamas dydis. δa=∆a=|x-a| |a| |a| ∆a = |x − a|.

Maksimalios absoliučioji ir santikynė paklaidos Praktiniuose taikymuose tikslus skaičius a dažniausiai nėra žinomas, t.y. Negalime apskaičiuoti tiksliai ∆a ir δa. Tada naudojamas kuo tikslesnis absoliučios paklaidos įvertis vadinamas maksimalia (ribine) absoliučiąja paklaida. Žymėsime ∆a , t.y. ∆a ≤ ∆a . Pavyzdžiui, ∆a gali būti nustatoma ,kaip apvalinimo arba matavimo paklaida. Ap. Skaičiaus a artinio x maksimalia santykine pakliada vadinamas dydis δa=∆a x Nustatykite , kuri apytiklė lygybė tikslesnė : 9 ≈0,818 arba √ 18 ≈4,24 ? 11

Matavimo tikslumas Jei dydis randamas naudojamas kokiu nors matavimo prietaisu , matavimo tikslumas priklauso nuo to prietaiso skalės – kai ji sudalyta smulkesnių matavimo vienetų padalomis, matavimas bus tikslesnis. Centimetrinės liniuotės padalos vertė 1 cm. Milimetrinės liniuotės padalos vertė 1 mm. Slankmačio padalos vertė 0,1 mm.Galima teigti, kad strypelio ilgis, gautas matuojant centimetrine liniuote, apytiksliai lygus 2 cm (1 cm tikslumu); matuojant milimetrine liniuote -1,9 cm (1 mm tikslumu); matuojant slankmačiu -1,95 (0,1 mm tikslumu-tai matosi iš apatinės skalės, kuri padalyta į 10 lygių dalių, atitinkančių milimetro dalis.) Mažiausia matavimo prietaiso padalos vertė vadinama to prietaiso tikslumu. Aišku,kad matavimo rezultatas bus tiksliausias matuojant slankmačiu, kurio padalos vetė, arba tikslumas, lygus 0,1 mm. Matavimo slankmačiu rezultatą galima užrašyti taip: x ≈19,5mm(0,1mm tikslumu), arba X=(19,5+0,1)mm.

Matavimo tikslumas Laikoma ,kad absoliučioji matavimo paklaida yra mažesnė už prietaiso tikslumą h, t.y |x-AB| < h. Tai reiškia , kad matavimo slankmačiu rezultatas 19,5mm nuo tikslios strypelio ilgio reikšmės AB skiriasi mažiau kaip 0,1 mm, t.y. |19,5-AB| < 0,1 Vadinasi, tikslus strypelio ilgis yra didesnis už (19,5-0,1)mm ir mažesnis už (19,5+0,1)mm 19,4< AB< 19,6 Santykinė matavimo paklaida yra mažesnė už prietaiso tikslumo ir matavimo rezultato santykį: |x-AB|< h x x. Todėl mūsų nagrinėjimo matavimo slankmačiu santykinė paklaida mažesnė už 0,1 = 1 19,5 195 t.y. Apytiksliai 0,5 %

Matavimo vienetų sąryšiai Lentelėje pateiktos kartotinų ir dalinių matavimo vienetų dalys,jų žymėjimas ir jas atitinkantys daugikliai. Pirmojo žodžio dalis Mega- Kilo- hekto- Deka- Deci- centi- Mili- Mikro- Reikšmė milijonas tūkstantis šimtas dešimt dešimtoji šimtoji Tūkstan toji milijonoji Žymėjimas M k h da d c Daugiklis 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6

Matavimo vienetų sąryšiai Lietuvoje naudoti senieji matavimo vienetai. Matavimo vienetas – rodiklis, pagal kurį apskaičiuojami kokio nors objekto matmenys. Lietuvoje naudoti senieji matavimo vienetai Lietuvoje iki Pirmojo pasaulinio karo buvo naudojami senieji matavimo vienetai, kuriuos vėliau pakeitė dabar naudojami šiuolaikiniai matavimo vienetai. Čia pateikiamos Lietuvoje naudotų senųjų matavimo vienetų vertės. Ilgio matai 1 mylia = 7 varstams 1 varstas = 500 sieksnių 1 sieksnis = 3 aršinams 1 aršinas = 16 verškų 1 sieksnis = 7 pėdoms 1 pėda = 12 colių 1 colis = 10 linijų 1 metras = 100 centimetrų arba 10 decimetrų 1 decimetras = 10 centimetrų 1 centimetras = 10 milimetrų Ploto matai 1 mylia² = 7 X 7 varstų² 1 sieksnis² = 7 X 7 pėdų² 1 varstas² = 500 X 500 sieksnių² 1 sieksnis² = 3 X 3 aršinų² 1 aršinas² = 16 X 16 verškų² 1 pėda² = 12 X 12 colių² 1 colis² = 10 X 10 linijų Biralų matai arba saikai 1 puras = 6 siekams 24 gorčiams (Kauno gub.) 1 kartis = 2 puskarčiam = 32 gorčiam (Suvalkų gub.)

Matavimo vienetų sąryšiai Lietuvoje naudoti senieji matavimo vienetai. Aptiekos svoris 1 svaras = 12 uncijų 1 uncija = 8 drachmos 1 drachma = 3 skrupulos 1 skrupula = 20 granų. Aptiekos svaras turi apie 84 zolotnikus. Lietuvos svaras turi 25 kubinius colius garinto vandens (4 °C). Skysčių matai 1 bosas = 40 kibirų 1 kibiras = 10 stuopų Kibiras vandens (13 1/2°R.) sveria 30 svarų ir jame telpa 750 kubinių colių. Popieriaus matai 1 rietimas = 10 stopų 1 stopa = 20 dėsčių 1 dėstė = 24 lakštams (lapams) [taisyti]Laiko matai 1 metai = 12 mėnesių 52 savaitės = 365 (366) dienos 1 savaitė = 7 dienos 1 diena = 24 valandos 1 valanda = 60 minučių 1 minutė = 60 sekundžių Svorio matai 1 birkavas = 10 pūdų 1 pūdas = 40 svarų 1 svaras = 32 lotai 1 svaras = 96 zolotnikai 1 zolotnikas = 96 dalios

Matavimo vienetų sąryšiai Šiuolaikiniai matavimo vienetai Ilgio matavimo vienetai metras – pagrindinis SI ilgio matavimo vienetas. milimetras 1 mm = 10-3 m (1 m = 1000 mm) mikrometras 1 µm = 10-6 m (1 mm = 1000 µm) nanometras 1 nm = 10-9 m (1 µm == 1000 nm) angstremas 1 Å = 10-10 m (1 nm = 10 Å) kilometras 1 km = 1000 m 1 av (astronominis vienetas) = 149 597 870 km 1 šm (šviesmetis) = 9,46 * 1012 km = 0,3066 pc = 63240 av 1 pc (parsekas) = 3,085 * 1013 km = 3,2616 šm = 206 264,8 av 1 jūrmylė = 10 kabeltovų = apie 6076 pėdų = 1 852 m 1 ml (mylia) = 1760 jardų = 1 608 m 1 Olimpinė mylia = 1 988 m 1 geografinė mylia = 7420 m 1 yd (jardas) = 3 pėdos = 36 coliai = 0,9144 m 1' (1 ft; pėda) = 12 colių = 0,3048 m 1" (1 in; colis) = 0,0254 m Ploto matavimo vienetai Metrinės sistemos vienetai: 1 cm² = 100 mm² 1 dm² = 100 cm² = 10000 mm² 1 m² = 100 dm² = 10000 cm² 1 aras = 100 m² 1 ha (hektaras) = 100 arų (a) 1 km² = 100 hektarų (ha) = 10000 arų 1 colis² = 6,45 cm² 1 pėda² = 144 colio² = 0,093 m² 1 jardas² = 9 pėdoms² = 1296 coliai² = 0,836 m² 1 akras = 4840 jardų² = 5280 pėdų = 4046,8 m² 1 mylia² = 640 akrų = 258,99 ha Senosios Britų sistemos vienetai: 1 ft² (kvadratinė pėda) = 0,09290304 m² 1 akras = 43 560 ft² = 4046,856 m² Tūrio matavimo vienetai 1 brl (barelis) = 190,9 l 1 barelis D. Britanijos = 163,65 l 1 barelis JAV biralų = 115,628 l 1 barelis naftos ir jos produktų = 158,988 l 1 l (litras) = 1000 ml 1 l = 10-3m³ = 1 dm³ = 1000 cm³ Kubinis centimetras 1 cm = 0,001 l Kubinis colis 1 cu in = 16,387 cm³ = 0,016387 l Kubinė pėda 1 cu ft = 28316,85 cm³ = 1728 cu in = 28,317 l Kubinis jardas 1 cu yd = 764554,8579 cm³ = 27 cu ft = 764,5548 l Pinta (amer., skysčiui) 1 pt = 30,08 cu in = 0,1243 gal (amer.) = 0,47 l Pinta (angl.) 1 pt = 36,48 cu in = 0,1255 gal (angl.) = 0,57 l Litras 1 l = 61,03 cu in = 1,7543 pt (angl.) = 2,1276 pt (amer.) = 1000 cm³ Galonas (amer., skysčiui) 1 gal = 241,92 cu in = 8,0425 pt (amer.) = 3,78 l Galonas (angl.) 1 gal = 290,56 cu in = 7,9649 pt (angl.) = 4,54 l Barelis 1 bbl = 10176 cu in = 35,022 gal (angl.) = 42,0634 gal (amer.) = 159 l Kubinis metras 1 m³ = 61030 cu in = 220,2643 gal (angl.) = 264,5502 gal. (amer.) = 1000 l

Matavimo vienetų sąryšiai Šiuolaikiniai matavimo vienetai Laiko matavimo vienetai SI sistemos bazinis laiko matavimo vienetas – sekundė (s). 1 metai = 12 mėnesių = 365 arba 366 dienos (Keliamieji metai) 1 mėnuo = 28-31 dienos 1 savaitė = 7 dienos 1 para = 24 h 1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 s = 1000 ms [taisyti]Kampo matavimo vienetai Laipsnis 1°= 60' = 3600" = 0,01745 rad Radianas 1 rad = 57,2958° = 0,1591551 r [taisyti]Temperatūros matavimo vienetai SI sistemos bazinis temperatūros matavimo vienetas – kelvinas (K). Celsijaus (C) skalėje nulis nustatytas pagal vandens užšalimo ar tirpimo temperatūrą, t. y. 273,15°K. 1 °C = 1°K Farenheito (F) skalėje nulis yra nustatytas pagal vandens su druska mišinio tirpimo temperatūrą. 1 °F = 5/9 °C Farenheito laipsnius verčiant į Celsijaus, taikoma formulė: °C = (5/9)(°F-32) Verčiant iš Celsijaus laipsnių į Farenheitą: °F = °C × 1,8 + 32.

Matavimo vienetų sąryšiai Informacijos kiekio matavimo vienetai Žemiau pateikti informacijos kiekio matavimo vienetai: Mažiausias informacijos kiekis – bitas. 1 bitas gali turėti tik dvi reikšmes: 0 arba 1, „teisinga“ arba „klaidinga“. 1 B (baitas) = 8 b (bitai); Vienas baitas gali turėti 28 skirtingų reikšmių – jei saugomas sveikas skaičius, tai reikšmė gali būti nuo 0 iki 255 KB (kilobaitas) 10001 = 10³ KB 10241 = 210 KiB 210 MB (megabaitas) 1000² = 106 MB 1024² = 220 MiB 220 GB (gigabaitas) 1000³ = 109 GB 1024³ = 230 KiB 230 TB (terabaitas) 10004 = 1012 TB 10244 = 240 TiB 240 PB (petabaitas) 10005 = 1015 PB 10245 = 250 PiB 250 EB (exabaitas) 10006 = 1018 EB 10246 = 260 EiB 260 ZB (zettabaitas) 10007 = 1021 ZB 10247 = 270 ZiB 270 YB (yottabaitas) 1000 8 1024 YB 10248 = 280 YiB 280 1998 metų pabaigoje buvo patvirtinti nauji informacijos vienetų pavadinimai[2]. Informacijos perdavimo greitis gali būti matuojamas baitais ar bitais per sekundę (B/s ar bps) ir atitinkamai kB/s, MB/s, kbps, Mbps ir t. t. Informacijos kanalo laidumas gali būti matuojamas lygio pasikeitimais per sekundę. Tuo atveju, jei galimi du lygiai, tokio matavimo reikšmė atitinka bitus per sekundę. [taisyti]Energijos matavimo vienetai

Matavimo vienetų sąryšiai Aukso praba Grynojo aukso = 24 karatai (ct) = 1000 grynojo aukso lydinys = 24/24 grynojo aukso dalių I = 23 ct = 958 grynojo aukso lydinys = 23/24 grynojo aukso dalių II = 18 ct = 750 grynojo aukso lydinys = 18/24 grynojo aukso dalių III = 14 ct = 583 grynojo aukso lydinys = 14/24 grynojo aukso dalių IV = 8 ct = 330 grynojo aukso lydinys = 8/24 grynojo aukso dalių [taisyti]Biralų matai 1 anglų pinta (british pint) = 1,03 JAV pintos = 0,57 l 1 anglų kvorta (british quart) = 2 anglų pintos = 1,03 JAV kvortos = 1,14 l 1 anglų bušelis (british bushel) = 32 anglų kvortos = 1,03 JAV bušelio = 36,37 l 1 JAV pinta (U.S. pint) = 0,969 anglų pintos = 0,55 l 1 JAV kvorta (U.S. quart) = 2 JAV pintos = 0,969 anglų kvortos = 1,101 l 1 JAV bušelis (U.S. bushel) = 32 JAV kvortos = 0,969 anglų bušelio = 35,24 l [taisyti]Skysčio matai 1 anglų skysčio uncija (british liquid ounce) = 0,028 l 1 anglų pint (british pint) = 20 anglų skysčio uncijų = 0,57 l 1 anglų kvorta (british quart) = 2 anglų pintos = 1,2 JAV kvortos = 1,14 l 1 anglų galonas (british gallon) = 4 anglų kvortos = 1,2 JAV galono = 4,55 l 1 JAV skysčio uncija (U.S. liquid ounce) = 0,029 l 1 JAV pinta (U.S. pint) = 16 JAV skysčio uncijų = 0,83 anglų kvortos = 0,946 l 1 JAV galonas (U.S. gallon) = 4 JAV kvortos = 0,83 anglų galono = 3.79 l 1 anglų barelis = 163,5 l 1 JAV barelis = 158,987 l [taisyti]

Ilgio matavimas kūno dalimis

Apytikslės dydžių reikšmės Uždavinys: Ant avizų pakelio parasyta kad jo masė 400g ± 1%. 400g=100%         1%=400*1/100=4g Xg = 1%                 Tai reiskia, kad avizų esančių tame pakelyje masė m gali būti tarp 400-4=396g ir 400+4=404g t.y.: 396<m<404. Avizų masę m=(400±4)g m=400g (10g tikslumu)

Absoliučioji ir santykinė paklaida. Uždaviniai: Sugalvojau skaidziu nuo 1iki10 ir dviejų savo draugu paprasiau spėti koks tai skaičius. Edvinas spėjo kad mano sugalvotas skaičius yra 5, o Vėra 3. Mano sugalvotas skaičius buvo 2 tad ir Vėros ir Edvino spėjimai buvo su pertekliumi. Edvino spėjimas |x-a|=|5-2|=3   Vėros spėjimas |x-a|=3-2|=1 Taigi Vėra  suklydo maziau nes 3>1

Matavimo vienetų sąryšiai Uždaviniai: Mantas pastebėjo, jog kieme augančios pušies viršūnė ,, nudegusi’’ , o spygliai nudžiuvę. Pasidomėjęs Mantas sužinojo, jog medžius žaloja rūgštieji lietūs. Juos sukelia oro teršalai- ypač sieros junginiai, o jų pasaulio pramonė kasmet išmeta į orą apie 150 mrgatonų! Mantas nusprendė suskaičiuoti, kiek kilogramų sieros junginių per metus vidutiniškai tenka kiekvienam iš 6 milijardų planetos gyventojų. Mantas skaičiavo taip: 150 Mt = 150000000 t =150000000000 kg = 150 mlrd. kg. Vidutiniškai kiekvienam planetos gyventojui tenka: 150 mlrd. kg : 6 mlrd. =25 kg. Vadinasi, vienam planetos gyventojui per metus vidutiniškai tenka apie 25 kg sieros junginių.

Matavimo tikslumas Uždaviniai: Sveriant buvo naudoti šie 2 klasės svarsčiai: 10 g, 5 g, 200 mg, 50 mg, 10 mg ir 2 mg. Svėrimo rezultatas 15,262 g. Tačiau kiekvienas svarstis pagamintas su paklaida (1.1lentelė), todėl sudėję šių svarsčių atskiras paklaidas, gauname: Sprendimas:10 + 6 + 2 + 2 + 2 + 0,4 = 22,4 mg = 0,02 g