الفصل الثاني Chapter Two نظرية الاهتزاز الحر الجامعة المستنصرية كلية التربية قسم الفيزياء المرحلة:الثانية الدراسة الصباحية المادة: الصوت والحركة الموجية الفصل الثاني Chapter Two نظرية الاهتزاز الحر

الحركة الاهتزازية: Vibration Motion مقدمة إن توليد أي حركة موجية كالصوت مثلا يقتضي بالضرورة وجود جسم مهتز. وما الحركة الموجية في الحقيقة إلا حركة اهتزازية لجسيمات الوسط الناقل للموجة. من هذا يتضح أن مصدر الحركة الموجية هو جسم مهتز وان انتقال الحركة الموجية يتم بواسطة جسيمات مهتزة. إن كل جسم في الطبيعة يمتلك القدرة على الاهتزاز، فهو أما أن يهتز كقطعة واحدة أو أن تهتز مختلف أجزائه بطرق عديدة ومختلفة. وعموما تكون الاهتزازات الطبيعية للأجسام الصغيرة سريعة بينما للأجسام الكبيرة تكون بطيئة وهذا يعتمد على طريقة إثارة الاهتزاز. وفي جميع تحليلاتنا النظرية للحركة الاهتزازية سنلجأ إلى تطبيق قوانين نيوتن في الحركة على مختلف النماذج الميكانيكية المهتزة للوصول إلى الصيغة الرياضية المناسبة لإيجاد التردد الطبيعي الذي يعتبر أهم خاصية من خواص الجسم المهتز إلى جانب تفسير سلوكه الاهتزازي. الحركة الاهتزازية: Vibration Motion إن كل جسم يمتلك خاصيتي المرونة والقصور الذاتي له القابلية على الاهتزاز إذا ما استثير. وما الاهتزاز بالأساس إلا حركة ذهاب وإياب حول نقطة ثابتة تدعى بموضع التوازن أو الاستقرار، وهي نقطة تنعدم فيها محصلة القوى المؤثرة في الجسيم المهتز وتمثل نقطة سكونه عندما يتوقف عن الاهتزاز، كما في الشكل أدناه. أي

الشكل يبين حركتين دوريتينa:: بسيطة، b: معقدة. أن هناك نمطا من الحركة يتكرر بفترات زمنية منتظمة. إن الحركة الدورية لآي جسم مهتز تعرف بأنها حركة في مسار محدد تتكرر في فترات زمنية متساوية. وقد يكون مسار هذه الحركة بسيطا أو معقدا كما مبين في الشكل أدناه. الشكل يبين حركتين دوريتينa:: بسيطة، b: معقدة. وفي الحقيقة أن الحركة الاهتزازية المعقدة الشكل تتألف من مجموعة كبيرة متداخلة من الحركات الاهتزازية البسيطة. لهذا السبب ولسهولة المعالجة الرياضية ستقتصر دراستنا في هذا الفصل على الحركة الاهتزازية البسيطة فقط. إن كل الأجسام في الطبيعة مهما كان شكلها أو حجمها قادرة على الاهتزاز عندما ندفعها لذلك. فالأجسام الضخمة كالبنايات والمكائن والطائرات والسفن تهتز اهتزازات معقدة جدا ونادرا ما تهتز كل أجزائها كمجموعة واحدة وبنمط واحد ولذلك تعتبر مثل هذه الأجسام مصادر اهتزاز معقدة. وابسط الأجسام المهتزة هي عبارة عن ”جسيم“. والمقصود بالجسيم هو أي جسم صلب وصغير لا يتغير حجمه ويتحرك كقطعة واحدة، ومن وجهة نظر إحصائية يمكن معاملة أي مجموعة من الجزيئات لها سلوك وخواص مشتركة وتتحرك كقطعة واحدة باعتبارها جسيم. إن دراسة الحركة الاهتزازية لأي جسيم يخضع لقوة استعادة نحو نقطة ثابتة، تساعد كثيرا في فهم سلوك مختلف الأجسام الحقيقية المهتزة مهما كانت درجة تعقيدها. لهذا الغرض سنركز دراستنا في هذا الفصل على حركة الجسيم في ابسط حركة اهتزازية. وابسط أنواع الحركة الاهتزازية هي الحركة التوافقية البسيطة الخطية. الإزاحة الإزاحة a الزمن b الزمن

الحركة الخطية التوافقية البسيطة: Simple Harmonic Motion (S.H.M) إن الحركة الخطية التوافقية البسيطة هي حركة اهتزازية تمثل ابسط أنواع الحركة الدورية على الإطلاق. والحركة الخطية التوافقية البسيطة المثالية لأي جسيم منفرد تعرف بأنها حركة ذلك الجسيم على خط مستقيم بتعجيل ثابت يتناسب مقداره طرديا مع أزاحته عن نقطة ثابتة تمثل موضع توازنه واتجاهه يكون دائما متجها نحو تلك النقطة، كما في الشكل. ويلاحظ من هذا التعريف انه يحدد ثلاثة شروط للحركة الخطية التوافقية البسيطة وهي 1.إن يكون مسار الجسيم على خط مستقيم يمر بنقطة ثابتة تمثل موضع التوازن. 2.إن مقدار تعجيل الجسيم يتناسب طرديا مع مقدار أزاحته عن موضع التوازن أي أن هناك قوة تدعى بقوة الاستعادة تحاول دائما إعادة الجسيم إلى موضع توازنه ويتناسب مقدارها مع مقدار الإزاحة. 3.إن اتجاه تعجيل الجسيم يكون دائما متجها نحو موضع التوازن، أي أن اتجاه قوة الاستعادة يكون دائما نحو موضع التوازن. وفي الحقيقة هناك أيضا حركة زاوية توافقية بسيطة تمثل ابسط أنواع الحركة الدورية الزاوية. وفي هذه الحالة يطبق نفس التعريف السابق إلا انه يؤخذ بدل الإزاحة الخطية الإزاحة الزاوية وبدل التعجيل الخطي التعجيل الزاوي. O

التعريفات الهامة الزمن الدوري (T): Periodic Time الفترة الزمنية التي تستغرقها الموجة لتقطع مسافة قدرها طول موجي λ بسرعة v. الطول الموجي (λ): Wavelength المسافة بين قمتين أو قاعدتين (قعرين) متتاليتين. التردد (ʋ or f): Frequency عدد الذبذبات في الثانية الواحدة، وتساوي مقلوب زمن الذبذبة. سعة الموجة (A): Amplitude أكبر إزاحة من موضع الاتزان لأي عنصر في الوسط. الإزاحة (x): Displacement هي المسافة التي يقطعها الجسيم عن موضع استقراره.

معادلة الحركة الخطية التوافقية البسيطة ولغرض اشتقاق معادلة الحركة الخطية التوافقية البسيطة بالنسبة لأي مهتز يجب إيجاد محصلة القوة الآنية المؤثرة عليه أثناء الحركة، ومن ثم نطبق قانون نيوتن الثاني. وهنا سنطبق ذلك على حركة المهتز التوافقي البسيط المبين في الشكل. نعتبر أن الجسيم مقيد ذهابا وإيابا على خط مستقيم على طول المحور السيني حول نقطة التوازن o. ومحصلة القوى المؤثرة عموديا على الجسيم صفرا لان وزنه mg يساوي ويعاكس قوة رد فعل السطح الأملس عليه. وسنعتبر أن قوة الاحتكاك مع السطح الأفقي الأملس وقوة مقاومة الهواء معدومة تماما أثناء الحركة. فإذا أزيح الجسيم إزاحة آنية طفيفة مقدارها x من موضع التوازن (وضمن حدود المرونة) فان قوة الاستعادة الآنية Fهي F=-kx (1) حيث أن k يمثل ثابت المرونة،والإشارة السالبة تشير إلى إن اتجاه القوة يعاكس اتجاه زيادة الإزاحة. إن قوة الاستعادة F تمثل القوة الوحيدة المؤثرة في الجسيم. الآن نطبق قانون نيوتن الثاني في الحركة ” الذي ينص على أن محصلة القوى المؤثرة في الجسيم ΣF يساوي حاصل ضرب كتلته m في التعجيل المكتسب a“، أي بصيغة رياضية ΣF=ma (2) وبما أن محصلة القوى المؤثرة في الجسيم المهتز ΣF=-kx وكتلة الجسيم المهتزm والتعجيل الآني المكتسب باتجاه المحو x هو a=d2x/dt2، لذلك فان المعادلة (2) تصبح -kx=m(d2x/dt2) (3) نقسم طرفي المعادلة (3)على m ونرتبها فتصبح كالآتي d2x/dt2=-(k/m)x (4) وإذا فرضنا أنk/m =ω2 حيث أن ω هو مقدار ثابت يمثل فيزيائيا التردد الزاوي للمهتز، وبذلك تصبح (4)بعد ترتيبها كالآتي d2x/dt2+ω2x=0 (5) هذه المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية تدعى بمعادلة الحركة الخطية التوافقية البسيطة. الشكل يبين أن قوة الاستعادة تكون دائما متجهة نحو موضع التوازن o.

معادلة الحركة الخطية التوافقية البسيطة مسقط حركة دائرية على قطر دائرة يمكن إيجاد سرعة الجسيم الذي يتحرك بحركة توافقية بسيطة باعتبار الحركة التي يؤديها مسقط إحدى نقط محيط الدائرة على قطرها عندما تدور النقطة بانتظام حول المحيط ويمكن تمثيلها هندسيا بالشكل الأتي افرض أن جسيما يتحرك بسرعة منتظمة v حول محيط دائرة نصف قطرها r، افرض نقطةP تمثل موضع الجسيم في أية لحظة، فعند رسم عمود من نقطة P على قطر الدائرة (y,y/) مثل MP تسمى M مسقط P على قطر الدائرة ، فعندما تتحرك P حول محيط الدائرة يكون المسقط M في حركة مستمرة على القطر (y,y/) فعندما تكون Pفي موضع x تكون M في مركز الدائرة O ، وعندما تكون Pفي موضع y تكون M في مركز الدائرة أيضا، وعندما تكمل P نصف الدورة تصل إلى النقطة x/ وترجع Mمرة ثانية إلى مركز الدائرة O. وعندما تكون P على الموقع y/ تكون M في مركز الدائرة ، وعندما تكمل P دورة كاملة ترجع مرة أخرى إلى x أي من نفس نقطة البداية، وهذا يعني أن M تقطع قطر الدائرة (y,y/) مرتين، من هذا نستنتج أن النقطة M تكون في حركة ذبذبة حول النقطة O، والتي هي عبارة عن مسقط لحركة دائرية منتظمة على قطرها وهذه الدائرة (y/, x/, y, x) تسمى بدائرة الإسناد. y vcosθ θ vsinθ M P y r o θ x/ x r y/

من الشكل السابق نحصل على sinθ=y/r (1) y=rsinθ والتردد الزاوي ω يساوي ω=θ/t الزمن الذي يقطعه الجسيم للوصول للنقطة P θ=ωt y=rsinωt ويكون r=A سعة الاهتزاز( أعظم إزاحة) يقطعها الجسيم P المتحرك على محيط الدائرة y=Asinωt (2) أي أنه عند حركة جسم بسرعة منتظمة على محيط دائرة، فإن حركة مسقطه على المحور الرأسي y-axis هي حركة توافقية بسيطة (S.H.M) وتكون إزاحته y عن مركز الاتزان تتغير مع الزمن بالعلاقة y=Asinωt y=Acosωt أما إذا كانت حركة مسقطه على المحور الأفقي x-axis فتكون إزاحته x عن مركز الاتزان تتغير مع الزمن بالعلاقة x=Asinωt x=Acosωt باشتقاق المعادلة (2) بالنسبة للزمن لغرض الحصول على سرعة الجسيم المتحرك على محيط الدائرة dy/dt=Aωcosωt (3) وبالاستفادة من المتطابقة التالية: sin2ωt+cos2ωt =1 ، فتصبح المعادلة (3)

dy/dt=Aω(1-sin2ωt)1/2 v=Aω(1-y2/A2)1/2 v=ω(A2-y2)1/2 سرعة الجسيم تساوي صفرا عندما يكون الجسيم في مركز الدائرة. وأعظم سرعة للجسيم المتحرك على محيط الدائرة تساوي vmax=ωA وباشتقاق المعادلة (3) مرة أخرى، نحصل على تعجيل الجسيم المتحرك على محيط الدائرة d2y/dt2=-ω2A sinωt a=-ω2A(y/A) a=-ω2y (4) عندما يكون الجسيم في مركز الدائرة فان amax=-ω2y وعندما يمر الجسيم في موضع الاستقرار، أي في مركز الدائرة، فان amin=0

الطور: Phase الشكل (1) يمثل حركة النقطة P من موقع x حول محيط الدائرة فيكون مسقط النقطة P في تلك النقطة هو O مركز الدائرة، في نقطة أخرى يكون مسقط P هو M وعندما تنطبق P على M عند النقطة y يكون طور كل من P و M هو (λ/4, T/4, π rad, 90o) وعندما تصل P إلىx/ فان الطور لكل من P و M هو (λ/2, T/2, π rad, 180o)، من هذا نستنتج إن قيمة الطور يمكن أن تقاس بدلالة الزوايا والزوايا النصف قطرية وطول الموجة وزمن الذبذبة. الشكل (1) الشكل (2) عندما يبدأ الجسيم بالحركة من نقطة أخرى مثل Po الشكل (2) بطور ابتدائي هو φ فتكون في هذه الحالة الزاوية الكلية θ(طور الحركة) مجموع الطور الابتدائي والزوايا الناتجة بسبب الحركة ωt، أي أن θ=ωt+φ y=rsin(ωt+φ) وعندما يبدأ الجسيم الحركة من P2 فان قيمة φ ستكون سالبة وبذلك تكون θ=ωt-φ y y P1 M Po M P θ y ωt y o φ x/ x x/ o θ x -φ P2 y/ y/

فرق الطور: Phase Deference y=rsin(ωt-φ) مما سبق يمكن تعريف الطور بأنه النسبة بين الإزاحة للجسيم المهتز في أية لحظة من لحظات الحركة إلى السعة. فرق الطور: Phase Deference إذا كان لدينا جسمين في حالة حركة توافقية بسيطة ومتساوين في زمن الذبذبة فان فرق الطور بينهما يساوي صفرا عندما يعبران مركز الاستقرار باتجاه واحد ويكون 180o عندما يعبرانه باتجاهين متعاكسين، أما إذا كان زمن الذبذبة لهما مختلفان فان فرق الطور سيكون صفرا أيضا عندما يعبران مركز الاستقرار في نفس الاتجاه و 180o في حالة الاتجاه المعاكس، ويكون في حالة تغير مستمر في بقية النقاط الأخرى للحركة.

حول الزاوية بالدرجات إلى الزاوية النصف قطرية radian. الفرق بين sinθ و cosθ مثال: حول الزاوية بالدرجات إلى الزاوية النصف قطرية radian. θ=5o to radian 1rad=360/2π=57.296o θo=5π/180=0.0873 rad

طاقة المهتز التوافقي البسيط عندما يهتز الجسيم بحركة توافقية بسيطة فان كل من الطاقتين الحركية والكامنة للجسيم تتغيران باستمرار ما عدا في نقطتين فقط يختفي احد الشكلين ليتحول كليا إلى الشكل الآخر. ففي أقصى إزاحة للجسيم من موضع التوازن حيث يتوقف الجسيم لحظيا عن الحركة تتحول الطاقة كليا إلى شكل طاقة كامنة. وفي لحظة مرور الجسيم في نقطة التوازن (أي عندما x=0 ) تتحول الطاقة كليا إلى شكل طاقة حركية. من هذا يتضح أن الاهتزاز يعني عملية تبادل متناوب بين شكلي الطاقة. وإذا لم يكن هناك تبديد أو فقدان في الطاقة فان مجموع الطاقة للمهتز يبقى ثابتا في أي لحظة زمنية t. باشتقاق المعادلة (1) نحصل على سرعة الجسيم المزاح عن موضع اتزانه o (2) Here is a ball moving back and forth with simple harmonic motion (SHM). Its position x as a function of time t is (1) where A is the amplitude of motion: the distance from the centre of motion to either extreme

أولا:نبدأ بحساب الطاقة الحركية للجسيم المهتز وبما أن الطاقة الكلية للجسيم المهتز تساوي مجموع الطاقتين الحركية K.EوالكامنةP.E ، أي أن E=K.E+P.E (3) أولا:نبدأ بحساب الطاقة الحركية للجسيم المهتز (4) نعوض المعادلة (2) في المعادلة (4) فنحصل (5) وبالاستفادة من المتطابقة التالية: sin2ωt+cos2ωt =1، تصبح المعادلة (5) (6) ثانيا:نحسب الطاقة الكامنة نفرض أن قوة مقدارها F قد أثرت على الجسيم عند موضع التوازن o، فأزاحته مسافة مقدارها x فان مقدار الشغل wالناتج من هذه القوة والذي يساوي الطاقة الكامنة هو P.E=w=F.dx (7) والقوة التي تحاول إرجاع (القوة المعيدة) الجسيم إلى موضع التوازن تساوي F=-kx (8) حيث أن k يمثل ثابت المرونة، والإشارة السالبة تشير إلى إن اتجاه القوة يعاكس اتجاه زيادة الإزاحة.إن قوة الاستعادة F تمثل القوة الوحيدة المؤثرة في الجسيم. من المعادلتين (7) و (8) نحصل P.E=-kxdx (9) نقوم بتكامل المعادل (9)، عندما يتحرك الجسيم من موضع التوازن o إلى أقصى مسافة يصلها x. (10)

المعادلة التفاضلية للحركة التوافقية البسيطة وبما أن مقدار التردد الزاوي يساوي (11) بتعويض المعادلة (11) في (10) نحصل على (12) إذن بتعويض المعادلتين (6) و (12) في المعادلة (3) نحصل على الطاقة الكلية للمهتز التوافقي البسيط. (13) المعادلة التفاضلية للحركة التوافقية البسيطة حسب قانون نيوتن الثاني (1) ومن قانون هوك F=-kx (2) ومن المعادلتين (3) أن حل معادلة الحركة الخطية التوافقية البسيطة المعادلة (3) سيوفر لنا معلومات كاملة عن موقع الجسيم المهتز، وسرعته، وتعجيله في آية لحظة زمنية إذا علمنا الشروط الابتدائية للحركة، أي إذا علمنا موقع الجسيم وسرعته عند بدء الحركة في الزمن t=0. إن المعادلة (3) لا يمكن حلها بالتكامل المباشر، لذلك ينبغي البحث عن دالة مناسبة. ومن ملاحظ طرفي المعادلة

نستنتج أن شكل الدالة المطلوبة التي تصلح أن تكون حلا يجب أن تكون مشتقتها الثانية لها نفس شكل الدالة المقترحة. ولتحقيق هذه المعادلة، نفرض جسيم يتحرك ذهابا وإيابا بحركة توافقية بسيطة حول موضع التوازن، فان مقدار إزاحة الجسيم كدالة للزمن تعطى بالعلاقة (4) حيث أن A يمثل ثابتا اختياريا، ولتعويض هذا الحل في المعادلة (3) يجب أن نحصل على المشتقة الثانية بالنسبة للزمن والتي تمثل التعجيل، بينما المشتقة الأولى بالنسبة للزمن تمثل السرعة، وكما يلي (5) (6) بتعويض المعادلة (4) و (6) في المعادلة (3) نحصل (7) ويمكن أن تمثل المعادلة التفاضلية للحركة التوافقية البسيطة بالصيغة الآتية (8) لجسيم يتحرك حركة توافقية بسيطة على محور y فان مقدار إزاحة الجسيم كدالة للزمن تعطى بالعلاقة (9) والمعادلة (9) تأتي من الأجراء التالي ملاحظة: لمعرفة المزيد عن طريقة حل معادلة الحركة الخطية التوافقية البسيطة، مراجعة الصفحات 70-71-72-73-74-75-76-77-78-79 في الكتاب المقرر.

تطبيقات على الحركة التوافقية البسيطة 1.النابض الحلزوني والحركة التوافقية البسيطة: Springs and SHM لإيجاد سرعة الجسيم الذي يتحرك SHM على فرض عدم وجود احتكاك والطاقة محفوظة للنابض الذي يتحرك حركة توافقية بسيطة أفقية (Horizontal motion) (وهذا يسمح بحساب سرعة الجسيم عند أي موضع من الحركة)، فان مجموع الطاقة الكلية (الحركية+الكامنة) ويساوي مقدار ثابت، أي آن (1) عند أعظم إزاحة يصلها الجسيم، فان سرعته تساوي صفر v=0، والطاقة الكلية عبارة عن طاقة كامنة، لذلك فالطاقة الكلية تساوي 0.5kA2، انظر الأشكال الآتية

بترتيب المعادلة (1) نحصل على (2) حيث أن v سرعة الجسيم الذي يتحرك SHM، والتي تكون في قيمتها العظمى عندما يمر الجسيم في موضع اتزانه، أي عندما تكون الإزاحة تساوي صفرا (x=0) وتكون اقل ما يمكن وتساوي صفرا عند أعظم إزاحة (x=A)، أي عندما يكون الجسيم في نهاية المسار. ويمكن كتابة المعادة (2) بالصيغة التالية لغرض إجراء التكامل عليها. (3) عند أعظم إزاحة، أي عند x=A و t=0 يمكن إيجاد قيمة الثابت c. بتعويض هذه القيم في المعادلة (3) نحصل على بتعويض قيمة c في المعادلة (3) نحصل

(4) حيث يمثل المقدار زاوية الطور، والمعادلة الآتية تمثل إزاحة الجسيم في آية لحظة زمنية. حيث تمثل قيمة الطور الابتدائي والمقدار يمثل زاوية فرق الطور. عند أعظم إزاحة، أي عندما يكون الجسيم في نهاية المسار ويتحرك مسافة مقدارها (x=±A) ويحتاج إلى زمن مقداره نصف ذبذبة (t=T/2)، عندئذ يمكن إيجاد زمن الذبذبة T. انظر الشكل التالي (5)

نعوض عن قيم x=-A و =T/2 t في المعادلة (5) (6) بما أن التردد الزاوي آو السرعة الزاوية (angular frequency or angular speed) يساوي فتصبح المعادلة (6) بالشكل

البندول البسيط: Simple Pendulum الجسيم m وان شدة الجذب الأرضي يتمثل بالتعجيل الأرضي g في حالة الاستقرار أي عندما يكون البندول في حالة التوازن تكون قوة الجذب الأرضي على كتلة البندول هي mg ومتجهة نحو مركز الأرض وقوة رد الفعل المساوية لها بالمقدار والمعاكسة لها في بالاتجاه هي قوة الشد (Tension) بالخيط T. في هذه الحالة تكون محصلة القوى المؤثرة في البندول صفرا. نفرض أن البندول مقيد بالحركة في مستوى واحد وليكن مستوى الورقة فإذا أزيح الجسيم قليلا عن موضع توازنه وترك وشانه فانه سيبدأ بالاهتزاز ذهابا وإيابا حول موضع التوازن. واضح أن مسار حركة الجسيم لن يكون خطا مستقيما بل يكون على شكل(يشكل جزء من محيط دائرة مركزه o).أي أن حركة الجسيم المهتز ستكون في بعدين وليس في واحد، وهذا ينافي احد شروط الحركة التوافقية البسيطة التي تقتضي أن يكون مسار الحركة في بعد واحد أي على خط مستقيم. إذن لابد من معالجة هذا الاختلاف ولو بشكل تقريبي. لهذا الغرض سنفرض أن الإزاحة الزاوية للبندول في أية لحظة زمنية tهيθ كما مبين في الشكل الأسفل، ولما كانت قوة الشد في خيط البندول عمودية دائما على مسار الجسيم لذلك فان تأثيرها على الحركة يكون معدوما. لذلك سنحلل قوة الجذب الأرضي على كتلة البندول m والتي تساوي وزنه mg إلى مركبتين المركبة الأولى على اتجاه الخيط وتساوي (mgcosθ) والمركبة الثانية عمودية على اتجاه الخيط وتساوي (–mgsinθ)، إن الإشارة السالبة هنا تشير إلى اتجاه زيادة القوة يعاكس اتجاه زيادة الزاوية θولما كانت المركبة الأولى تساوي قوة الشد في الخيط، أي أن mgcosθ=T (1) لذلك فان القوة الوحيدة المؤثرة في حركة الجسيم هي المركبة العمودية على اتجاه الخيط والتي هي بالحقيقة القوة المماسية لمسار الجسيم وتدعى بقوة الاستعادة التي تسبب الحركة الاهتزازية للبندول فإذا رمزنا لهذه القوة بالحرف F فان البندول البسيط في موضع التوازن. البندول البسيط في وضع مزاح بزاوية θ عن موضع التوازن.

الزاوية θ صغيرة جدا فان طول القوس s (AB) يساوي F=-mgsinθ (2) حيث الإشارة السالبة تشير إلى أن اتجاه قوة الاستعادة يعاكس اتجاه زيادة الإزاحة الزاوية θ. يلاحظ من الشكل الأسفل السابق إلى أن اتجاه قوة الاستعادة F لا يكون متجها بالضبط نحو نقطة التوازن A لكن يلاحظ انه كلما قلت الإزاحة الزاوية فان طول القوس المقابل لها AB يقترب من طول الإزاحة الخطية x حيث أن x تمثل الإزاحة الأفقية لكتلة البندول من نقطة التوازن A كما في الشكل التالي. وعندما تصبح الإزاحة الزاوية θ صغيرة جدا فان طول القوس s (AB) يساوي تقريبا طول الإزاحة الأفقية x وبذلك يصبح اتجاه القوة المماسية مقاربا جدا لاتجاه x وعندئذ يكون اتجاه قوة الاستعادة F متجها لدرجة مقبولة من الدقة نحو نقطة التوازن A وطبقا لمفكوك تايلر(بالمقياس النصف قطري للزاوية θ)) وعندما تكون الإزاحة الزاوية θ صغيرة (أي اقل من 5o فان sinθ تصبح مساوية تقريبا للزاوية θ بالتقدير النصف قطري)، أي أن sinθ~θ (3) نعوض في المعادلة (2) فتصبح F=-mgθ (4) وبأخذ قيمة θ بالمقياس النصف القطري نحصل على θ=x/L (5) نعوض (5) في (4) فينتج F=-(mg/L)x (6) لاحظ التشابه بين المعادلة (6) وقانون هوك (F=-kx). الآن نطبق قانون نيوتن الثاني في الحركة على كتلة البندول فينتج m(d2x/dt2)=-(mg/L)x (7) الشكل يبين انه كلما قلت الزاوية θ اقترب طول القوس s من طول الخط x .

حيث أن d2x/dt2 تمثل التعجيل الآني لكتلة البندول في اتجاه المحور x وبحذف m من الطرفين نحصل على (d2x/dt2)=-(g/L)x (8) وبمقارنة هذه المعادلة مع المعادلة القياسية للحركة التوافقية البسيطة المعادلة (5) في فقرة (معادلة الحركة الخطية التوافقية البسيطة) نجد أن المعادلتين متشابهتان تماما مما يشير إلى أن حركة البندول البسيط إذا ترك يتذبذب بذبذبات صغيرة ولا يتعرض لقوى مقاومة هي حركة توافقية بسيطة. وهذا الاستنتاج بالطبع صحيح فقط إذا كانت الزاوية θ التي يصنعها خيط البندول مع العمود صغيرة جدا. وبهذا التقريب فقط تتحقق شروط الحركة التوافقية البسيطة للبندول البسيط. من المقارنة بين المعادلتين (5) في فقرة (معادلة الحركة الخطية التوافقية البسيطة) والمعادلة (8) نحصل على ω2=(g/L) (9) لكن (ω=2π/T) T=2π(L/g)1/2 (10) ولكن (f=1/T) f=(1/2π)(g/L)1/2 (11) هذه المعادلة تشير إلى أن التردد الطبيعي للاهتزاز الحر للبندول البسيط يعتمد على طول البندول L والتعجيل الأرضي المحلي g وليس هناك تأثير لكتلة البندول. إن الحل العام للمعادلة (8) يمكن الحصول عليه بنفس الطريقة السابقة. فنجد أن الإزاحة الخطية x لكتلة البندول في الزمن t هي (12) حيث A و B ثابتان اختياريان يعتمدان على الشروط الابتدائية للحركة. وبدلالة الإزاحة الزاوية θ في الزمن t يكون الحل العام كالأتي θ=asin(g/L)1/2t+bcos(g/L)1/2t (13) حيثa و b ثابتان اختياريان أيضا ويساويان A/L و B/L على الترتيب. ويمكن إيجاد قيم كل a و bمن الشروط الابتدائية للحركة. فإذا فرضنا أن الإزاحة الزاوية θ=θo والسرعة الزاوية الابتدائية dθ/dt=0 في اللحظة t=0 فعند تطبيق الشرط الابتدائي الأول θ=θo في اللحظة t=0 على المعادلة (13) نجد أن b=θo وبتطبيق الشرط الابتدائي الثاني dθ/dt=0 في اللحظة t=0 على المعادلة (13) نجد أن a=0 وبذلك يكون الحل العام وفق الشروط المذكورة هو θ= θo cos(g/L)1/2t (14)

مثال:كرة بندول بسيط كتلتها 25g وثابت القوة لها تساوي 400dyne/cm مثال:كرة بندول بسيط كتلتها 25g وثابت القوة لها تساوي 400dyne/cm. إذا أزيحت الكرة إلى اليمين إزاحة مقدارها 10cm من موضع توازنها وبسرعة 40cm/S. أوجد كل من (x,a,v,A,E,ω,f) في لحظة زمنية تقع بعد بدا الحركة بـ(π/8) ثانية. ج: T=2π(m/k)1/2=2π(25/400)1/2=1.57S f=1/T=1/1.57=0.63Hz ω=2πf=2π(0.63)=4rad/S E=(1/2)mv2+(1/2)kx2 E=(1/2)x25x402+(1/2)x400x102=25x800+200x100=40000erg ولإيجاد قيمة السعة A نستخدم معادلة الطاقة الكلية للمهتز التوافقي البسيط. E=(1/2)mω2(A2-x2)+(1/2)mω2x2 E=(1/2)k(A2-x2)+(1/2)kx2 40000=(1/2)x400(A2-102)+(1/2)X400X102 40000=200(A2-102)+20000=200A2-20000+20000=200A2 A2=40000/200=200 A=10(2)1/2cm vmax=ωA vmax=4x10(2)1/2=40(2)1/2cm/S amax=ω2A amax=ω2A=42x10(2)1/2=16x10(2)1/2=160(2)1/2cm/S2 x=Asinφ sinφ=x/A=10/10(2)1/2=1/(2)1/2 φ=arcsin(1/(2)1/2)=(π/4)rad

لذلك فان معادلة حركة البندول x=Asin(ωt+φ) x=10(2)1/2sin(4t+π/4) وعندئذ يمكن أن نجد كل من a,v على النحو الأتي v=(dx/dt)=40(2)1/2cos(4t+π/2) a=(d2x/dt2)=-160(2)1/2sin(4t+π/2) ولما كانت t=π/8 فان زاوية الطور (4t+π/4)=(4π/8+ π/4)=(3π/4)rad x=10(2)1/2sin(3π/4)=10cm v=40(2)1/2cos(3π/4)=-40cm/S a=-160(2)1/2sin(3π/4)=-160cm/S2 مثال:يدور القمر حول الأرض في دائرة نصف قطرها 149380km ويحتاج إلى 273 يوما أو 2340000S للقيام بدورة كاملة. احسب تعجيل القمر نحو الأرض. ج: إن سرعة القمر هي v=2πr/T=2πx149380x1000/2340000=401m/S a=v2/r=(401)2/149380x1000=0.01076m/S2 مثال:يدور جسم صغير كتلته200g على محيط دائرة على مستو أفقي لا احتكاك فيه وهو مربوط بحبل صغير طوله 20cm إلى مسمار مثبت في السطح. فإذا دار الجسم دورتين كاملتين في كل ثانية. فاحسب القوة F التي يؤثر بها الحبل على الجسم. v=2πr/T=2πrf=2πx20x2=80πcm.S a=v2/r=(80π)2/20=3150cm/S2 F=ma=200x3150=630000dyne

3.الجسم الطافي أن أي جسم طافي على سطح سائل إذا ما دفع قليلا إلى الأسفل أو رفع قليلا نحو الأعلى ثم ترك حرا فانه سوف يهتز بحركة صعود ونزول عمودية على سطح السائل. ولإيجاد طبيعة هذه الحركة يجب إيجاد معادلة الحركة للجسم الطافي. إن تحليل مثل هذه الحركة يصبح سهلا إذا تعاملنا مع جسم طاف له مساحة مقطع عرضي ثابت في الجزء الذي يتقاطع مع سطح السائل. لهذا السبب سنفرض أن لدينا جسما اسطوانيا منتظما يطفو في سائل بحيث يكون محور الاسطوانة عموديا على سطح ذلك السائل. نفرض أن طول الاسطوانة L ومساحة مقطعها العرضي A وكثافتها ρ وان كثافة السائل ρL في حالة التوازن نفرض أن طول الجزء المغمور من الاسطوانة داخل السائل هو ℓ كما مبين في الشكل. وحسب قاعدة ارخميدس بالنسبة للجسم الطافي في حالة التوازن يكون وزن الجسم الطافي مساويا لوزن السائل المزاح. وبما أن وزن الاسطوانة يساوي ALρg ووزن السائل المزاح يساوي AℓρLg حيث أن g يمثل التعجيل الأرضي. لذلك فان (F=FL) أي أن ALρg=AℓρLg L/ℓ=ρL/ρ (1) فإذا دفعت الاسطوانة قليلا نحو الأسفل وكانت الإزاحة الآنية عن موضع التوازن x عند اللحظة الزمنية t كما مبين في الشكل الذي يقع لليمين فان وزن السائل الإضافي المزاح في هذه الحالة AxρLg يساوي قوة دفع السائل للاسطوانة نحو الأعلى. وهذه القوة هي الوحيدة المؤثرة في الاسطوانة. وتمثل قوة الاستعادة التي تحاول أعادة الاسطوانة إلى موضع توازنها وتسبب الاهتزاز. فإذا أهملنا حركة السائل المصاحبة لاهتزاز الاسطوانة وتطبيق قانون نيوتن الثاني نجد أن ALρ(d2x/dt2)=-AxρLg (2) إن الإشارة السالبة تشير إلى أن اتجاه قوة دفع السائل يعاكس اتجاه زيادة الإزاحة. d2x/dt2=-(ρLg/ρL)x (3)

4.السائل في أنبوبة على شكل حرف U وبمقارنة (3) بالمعادلة (5) في فقرة (معادلة الحركة الخطية التوافقية البسيطة) نستنج أن حركة الجسم الطافي إذا رفع آو خفض قليلا من موضع توازنه وترك حرا ستكون حركة توافقية بسيطة ترددها الزاوي ω هو ω=(ρLg/ρL)1/2 (4) والتردد الطبيعي f يمكن الحصول عليه من ω=2πf أي أن f=(1/2π)(ρLg/ρL)1/2 (5) والزمن الدوري T يمكن الحصول عليه من (f=1/T) أي أن T=2π(ρL/ρL g)1/2 (6) إن الإزاحة الآنية x في أية لحظة زمنية تكون x=Asin(ρLg/ρL)1/2t +Bcos (ρLg/ρL)1/2t (7) حيث أن A و B ثابتان اختياريان يمكن ايجادهما من الشروط الابتدائية للحركة. فإذا فرضنا انه في اللحظة t=0 كانت الإزاحة الابتدائية xo والسرعة الابتدائية (dx/dt=0). فمن الشروط نجد أن B=xo وان A=0 وبذلك يكون الحل العام وفق الشروط الابتدائية المذكورة كالأتي x=xocos (ρLg/ρL)1/2t (8) 4.السائل في أنبوبة على شكل حرف U نفرض أن لدينا أنبوبة على شكل حرف U ذات ذراعين قائمين ومساحة مقطع ثابت كما مبين في الشكل (1). فإذا وضع سائل الشكل (1)على اليسار يمثل السائل في وضع توازن وفي الوسط السائل في وضع أني غير متوازن.

في الأنبوبة فان مستوى سطح السائل يكون واحدا في كلا الذراعين في حالة التوازن. وإذا دفع سطح السائل في احد الذراعين قليلا نحو الأعلى أو الأسفل ثم ترك حرا فان السائل في الأنبوبة يهتز. وطبيعة الحركة الاهتزازية للسائل يمكن معرفتها من معادلة الحركة. نفرض أن الطول الكلي لعمود السائل L وكثافته هي ρ وان مساحة المقطع العرضي للأنبوبة هو A لذلك فان الكتلة الكلية للسائل هي ρAL فإذا أزيح سطح السائل في الذراع الأيسر نحو الأسفل إزاحة آنية صغيرة مقدارها x من موضع التوازن في أية لحظة زمنية t، فان مستوى سطح السائل في الذراع الأيمن سوف يزاح بنفس المقدار x نحو الأعلى من موضع التوازن، وبذلك يصبح فرق الارتفاع بين سطحي السائل في الذراعين 2x. إن ثقل عمود السائل الذي طوله 2x يمثل القوة الآنية الوحيدة المؤثرة في السائل وهي قوة الاستعادة التي تحاول أعادة السائل إلى موضع توازنه وتسبب الاهتزاز. إن حركة السائل في هذا النموذج لا تكون في بعد واحد بل في بعدين (أي أن حركة السائل ليست حركة انتقالية بسيطة وليست حركة دورانية بسيطة حول محور ثابت بل إنها حركة في بعدين) إلا انه يمكن وصف هذه الحركة بدلالة الإزاحة العمودية x في بعد واحد. وفي مثل هذه الحالة يفضل استخدام طريقة الطاقة لإيجاد معادلة الحركة للسائل. نفرض أن جميع أجزاء السائل تتحرك بنفس السرعة الآنية (dx/dt) لذلك فان الطاقة الحركية الآنية K.E يمكن كتابتها كالآتي (1) أما الطاقة الكامنة الآنية P.E فيمكن حسابها من ملاحظة الشكل (1) على اليمين. عندما يكون السائل في حالة توازن يكون مستوى السائل واحد في الذراعين، وفي هذه الحالة يكون مقدار الإزاحة x صفرا وبذلك تكون الطاقة الكامنة في هذا الوضع مساوية للصفر. أما إذا ارتفع سطح السائل في احد الذراعين (وليكن الذراع الأيمن مثلا) مسافة x عن موضع التوازن فان كل جزء من أجزاء السائل المرتفع سيمتلك طاقة كامنة تختلف عن الأجزاء الأخرى التي لا تقع في نفس المستوى. ولتلافي هذا التباين في الطاقة الكامنة في مختلف أجزاء السائل، سنفرض أن كتلة السائل المرتفع مركزه في مركز كتلة كمية السائل المحصور بين مستوى التوازن والإزاحة x. وبما أن السائل المرتفع متجانس وشكله اسطواني منتظم لذلك فان مركز كتلته سيقع في منتصف الإزاحة x. وعليه تكون الطاقة الكامنة التي يمتلكها السائل المرتفع في الذراع الأيمن هي (2)

وبنفس الطريقة يمكن حساب الطاقة الكامنة التي يمتلكها السائل المزاح في الذراع الآخر (الأيسر) وتساوي نفس المقدار، أي أن (3) وبجمع المعادلتين (2) و (3) نحصل على مجموع الطاقة الكامنة الآنية P.E التي يمتلكها السائل. (4) الآن نطبق قانون حفظ الطاقة على اعتبار انه ليس هنالك أي فقدان في الطاقة فنحصل على (5) والآن نفاضل طرفي المعادلة (5) (6) نقسم طرفي المعادلة (6) على (ρAL) ونرتب المعادلة فتصبح كالأتي (7) أما أن وهذا لا يتحقق دائما إلا في حالة سكون السائل لذلك فان (8) المعادلة (8)هي المعادلة التفاضلية للحركة التوافقية البسيطة، حيث المقدار (2g/L) يمثل التردد الزاوي ω.

أي أن (9) ومنها نحصل على التردد الطبيعي f (10) والزمن الدوري T (11) إن المعادلة (11) تشير إلى أن الزمن الدوري لاهتزاز السائل لا يعتمد على مساحة مقطع الأنبوبة أو نوعية السائل المستخدم. وبالحقيقة لا يعتمد أيضا على شكل الأنبوبة. إن الحل العام للمعادلة (11) هو (12) حيث أن A و B ثابتان اختياريان يمكن ايجادهما من الشروط الابتدائية للحركة. فإذا علمنا في اللحظة الزمنية t=0 الإزاحة الابتدائية هي xo والسرعة الابتدائية هي vo فان B=xo وان A=0، وبذلك يكون الحل العام للمعادلة (12) وفق الشروط المذكورة هو (13)

5.الاهتزاز الطولي لجسيم بين نابضين متماثلين نفرض أن لدينا جسيما كتلته m مربوطا بين نابضين حلزونيين متماثلين تماما لهما نفس الطول L ونفس الثابت k. ويكون الجسيم موضوعا على سطح أفقي أملس عديم الاحتكاك. والطرفان الآخران للنابضين مثبتين في النقطتين A و B كما مبين بالشكل التالي، في هذه الحالة يكون الجسيم في حالة توازن أي محصلة القوى المؤثرة فيه تساوي صفرا. فإذا أزيح الجسيم إزاحة طفيفة x من موضع التوازن o نحو جهة اليمين فان تشوها طوليا يحدث في النابضين. فالنابض الأيسر يتمدد بينما النابض الأيمن ينكمش كما هو موضح بالشكل الأسفل. أن قوة F التي تظهر في النابض الأيسر تكون متجهة نحو اليسار وتعطى بالمعادلة F=-kx وان قوة الاستعادة F التي يظهرها النابض الأيمن تكون متجهة نحو اليسار أيضا وتعطى بالمعادلة F=-kxإن الإشارة السالبة في المعادلتين الأخيرتين تشير إلى أن اتجاه القوة معاكس لاتجاه زيادة الإزاحة. ولما كانت القوتان تؤثران بنفس الاتجاه تكون محصلتهما هي -2kx، الآن نطبق قانون نيوتن الثاني في الحركة فنجد أن m(d2x/dt2)=-2kx (1) (d2x/dt2)=-(2k/m)x (2) هذه تمثل معادلة الحركة التوافقية البسيطة لجسيم يتحرك طوليا باتجاه النابضين بتردد زاوي ω حيث ω=(2k/m)1/2 (3) ومن هذه العلاقة نحصل على التردد الطبيعي f حيث f=(1/2π)(2k/m)1/2 (4) والزمن الدوري T حيث T=2π(m/2k)1/2 (5) إن الحل العام للمعادلة (5) هو x=Asin(2k/m)1/2t +Bcos (2k/m)1/2t (6) حيث A و B ثابتان اختياريان يمكن ايجادهما من الشروط الابتدائية للحركة.

الحركة الزاوية التوافقية البسيطة لقد وجدنا أن الحركة التوافقية البسيطة يمكن أن تكون خطية أو زاوية وذلك تبعا لحركة الجسيم المهتز. فإذا كانت حركة الجسيم مقيدة بمسار خطي وتحت تأثير قوة معيدة تحاول أعادته دائما إلى نقطة التوازن وصفت حركته بأنها حركة خطية توافقية وإذا كانت حركة الجسيم مقيدة بمسار دائري حول محور ثابت وتحت تأثير عزم قوة يحاول أعادته دائما إلى موضع التوازن فعندئذ توصف الحركة بأنها حركة زاوية توافقية. إن هناك تشابها واضحا في شكل معادلات الحركتين التوافقيتين الخطية والزاوية. 1.بندول اللي: Torsional Pendulum يتألف بندول اللي من قرص اسطواني معلق من مركزه بطرف قضيب رقيق (أو سلك) يتصل بمركز ثقل القرص اتصالا وثيقا ويتصل الطرف الآخر من القضيب بمسند ثابت كما مبين بالشكل.عندما يكون البندول في وضع التوازن أي في حالة سكون نرسم خطا من المركز إلى النقطة +θm كما موضح في الشكل. إذا أدير القرص أفقيا إلى النقطة -θm بزاوية θ يحدث لي في القضيب ونتيجة ذلك يؤثر القضيب بعزم لي Ƭ يعمل على أعادة البندول إلى موضع التوازن الأصلي. ومن قانون هوك الذي يشير إلى أن عزم لي الإرجاع Ƭيتناسب طرديا مع مقدار اللي الذي يتمثل بمقدار الإزاحة الزاوية θ أي أن Ƭαθ ومن ذلك نحصل على Ƭ=-kθ (1) حيث أن k هو ثابت التناسب ويدعى بثابت اللي ويتوقف مقداره على طول وقطر السلك وطبيعة مادته. والإشارة السالبة توضح أن عزم اللي يعمل في اتجاه معاكس لاتجاه زيادة الإزاحة الزاوية. وعندما يحرر البندول بعد إزاحته بزاوية θ فان عزم اللي الذي يمثل عزم القوة المعيدة يولد تعجيل زاوي (d2θ/dt2) يتناسب طرديا مع الإزاحة الزاوية ، والحركة الناتجة تدعى بالحركة الزاوية التوافقية البسيطة. ومعادلة الحركة لهذا البندول هي Ƭ=-kθ=I(d2θ/dt2) (2)

حيث I يمثل عزم القصور الذاتي للقرص، نرتب المعادلة (2)فتصبح (d2θ/dt2)=-(k/I)θ (3) ويلاحظ أن شكل هذه المعادلة مطابق تماما من وجهة النظر الرياضية للمعادلة القياسية للحركة الخطية التوافقية البسيطة (d2x/dt2)=-(k/m)x (4) حيث أننا استبدلنا الإزاحة الخطية x بالإزاحة الزاوية θ والكتلة m بعزم القصور الذاتي I وثابت النابض بثابت اللي k والحل العام للمعادلة (3) يمكن الحصول عليه بنفس الطريقة السابقة فنجد أن الإزاحة الزاوية θ في أية لحظة زمنية T هي θ=θocos(ωt-φ) (5) حيث أن θo هي النهاية العظمى للإزاحة الزاوية أي سعة الذبذبة الزاوية و φ هي زاوية الطور الابتدائي للحركة و ω هو التردد الزاوي والتردد الزاوي لبندول اللي هو ω=(k/I)1/2 (6) ومنها نجد التردد الطبيعي f والزمن الدوري T على الترتيب ω=2πf f =(1/2π)(k/I)1/2 (7) T=2π(I/k)1/2 (8) البندول الفيزيائي أو البندول المركب: Physical Pendulum or Compound Pendulum أن أي جسم صلب مهما كان شكله وقادر على التذبذب حول أي محور أفقي يمر خلاله يدعى بالبندول الفيزيائي (المركب). وفي الواقع فان جميع البندولات الحقيقية هي بندولات فيزيائية. وما البندول البسيط إلا حالة خاصة من هذا النوع من البندولات. لنأخذ بندول فيزيائي على شكل جسم غير منتظم يمكنه أن يدور حول محور أفقي أملس يمر من النقطة s التي تدعى بنقطة التعليق كما مبين بالشكل الأتي. يلاحظ من الشكل الذي يقع إلى اليمين انه في حالة التوازن يقع مركز الكتلة c للجسم على نفس الخط العمودي المار بنقطة التعليق s فإذا فرضنا أن المسافة بين نقطة التعليق ومركز الكتلة هي L وان كتلة الجسم هي m وان عزم القصور الذاتي للجسم حول نقطة التعليق حيث يمر محور الدوران هي I. في آية لحظة زمنية تكون القوة المؤثرة على الجسم عموديا نحو الأسفل هي mg وعند إزاحة الجسم إزاحة زاوية صغيرة θ فان الخط الواصل بين s و c يصنع زاوية θ مع العمود وبذلك يكون عزم القوة المعيدة التي تحاول أعادة الجسم إلى موضع توازنه الأصلي تساوي mgLsinθ وهذا العزم الوحيد الذي ينتج التعجيل الزاوي (d2θ/dt2) في البندول . وعليه فان معادلة الحركة للبندول هي

ومن هذه العلاقة نجد التردد الطبيعي f و الزمن الدوري T على الترتيب I(d2θ/dt2)=-mgLsinθ (1) إن الإشارة السالبة هنا تشير إلى أن القوة المعيدة متجهة دائما نحو موضع التوازن. وإذا كانت الزاوية θ صغيرة صغرا كافيا، فعندئذ تكون العلاقة sinθ=θ صحيحة لدرجة عالية من الدقة، وبذلك تصبح المعادلة (1) كالأتي (d2θ/dt2)=-(mgL/I)θ (2) وهذه تمثل معادلة الحركة الزاوية التوافقية البسيطة التي تحدث عندما تكون السعات صغيرة. وفي هذه الحالة يكون التردد الزاوي ω هو ω=(mgL/I)1/2 (3) ومن هذه العلاقة نجد التردد الطبيعي f و الزمن الدوري T على الترتيب f=(1/2π)(mgL/I)1/2 (4) T=2π (I/mgL)1/2 (5) ويمكن إيجاد قيمة عزم القصور الذاتي I حول محور الدوران من العلاقة I=mL2+mk2 (6) الشكل على اليسار البندول في حالة توازن والشكل على اليمين البندول وقد أزيح إزاحة زاوية θ عن موضع التوازن. حيث أن k يمثل نصف قطر التدويم حول مركز كتلة البندول وبالتعويض نجد أن التردد الطبيعي للبندول المركب هو f=(1/2π)(gL/L2+k2)1/2 =(1/2π)(g/L+k2/L)1/2 (7) وان الزمن الدوري هو T=2π(L+k2/L/g)1/2 (8) وهنا يشير المقدار (L+(k2/L)) إلى الطول المكافئ للبندول. والجدير بالذكر انه في السعات الكبيرة تكون حركة البندول الفيزيائي دورية، ولكنها لا تكون توافقية بسيطة.

مثال:جسم كتلته 1g يتذبذب بـS. H مثال:جسم كتلته 1g يتذبذب بـS.H.M سعة الذبذبة 2mm وكان تعجيله في نهاية المسار 8000m/S2. احسب زمن الذبذبة ، التردد وسرعة الجسيم عندما يمر في مركز الاستقرار، وعندما يكون على مسافة 1.2mm من موضع الاستقرار، ثم اكتب معادلة القوة المؤثرة على الجسم كدالة للإزاحة أولا وللزمن ثانيا. ج: في نهاية المسار تصبح الإزاحة تساوي السعة، أي أن x=A a=ω2x a=ω2A 8000=2x10-3 ω2 ω2=8000/0.02=4x106 ω=2x103S-1 T=2π(m/k)1/2=2π/ω=2π/2x103 T=πx10-3=0.00314S f=1/T=1000/π=318.31Hz Vmax=ωA=2x103x2x10-3=4m/S V1.2mm= [(k/m)(A2-x2)]1/2=ω (A2-x2)1/2=2x103[(2x10-3)2-(1.2x10-3)2]1/2 V1.2mm=32m/S F=-kx ω2=k/m k=ω2m=4x106x1x10-3=4x103 F=4x103x1.2x10-3=4.8N أي أن معادلة القوة كدالة للإزاحة تساوي F=-4x103.x ومعادلة القوة كدالة للزمن t. F=kAcosωt F=4x103x2x10-3cos2x103t F=8cos2x103t

مثال:نابض حلزوني ثبت طرفه العلوي في نقطة ووجد انه عند تعليق جسم كتلته 1kg يستطيل النابض بمقدار 10cm فإذا ابعد الوزن وعلق جسم كتلته 2kg بدلا عنه وسحب مسافة 8cm نحو الأسفل وأطلق من السكون احسب، ثابت القوة، مدة الذبذبة ، السرعة العظمى والتعجيل الأعظم، السرعة والتعجيل والزمن المستغرق بعد أن يقطع الجسم نصف المسافة بين موضعه الابتدائي ومركز الاستقرار. ج:نستخدم الكتلة 2kg لان الجسم عندها بدا يتذبذب. F=-kx k=F/x=mg/x=1x9.8/10x10-2=98N/m T=2π(m/k)1/2=2π/ω T=2π(2/98)1/2=(2π/7)=0.9S Vmax=ωA=(2π/T)xA=7x8x10-2=0.56m/S amax=ω2A=72x8x10-2=3.92m/S2 V4cm=ω(A2-x2)1/2=7[(8x10-2)2-(4x10-2)2]1/2=0.485m/S a4cm= ω2x=72x4x10-2=1.96m/S2 x=Acosωt 4=8cos7t (4/8)=cos7t 0.5=cos7t cos-1(0.5)=7t (π/3)=7t t=π/21=0.15S

مثال:جسم كتلته 0. 5kgيتحرك بـSHMبزمن ذبذبة 0. 1S وسعة الذبذبة 10cm مثال:جسم كتلته 0.5kgيتحرك بـSHMبزمن ذبذبة 0.1S وسعة الذبذبة 10cm. احسب التعجيل، القوة، الطاقة الحركية والكامنة عندما يكون الجسم على بعد 5cm من موضع الاستقرار. ج: a=ω2x a=(2π/T)2x=(4π2/0.01)(5)=19739.21cm/S2 F=ma=500(2000π2)=59.22dyne F=-kx=mxω2=(4π2/0.01)(500)(5)=59.22dyne Ek=0.5mω2(A2-x2)=(0.5)(500)(4π2/0.01)(102-52)=74022033.01erg Ep=0.5kx2=0.5mω2 x2=(0.5)(500)(4π2/0.01)(52)=24674011.003erg مثال:إذا كانت معادلة الحركة لجسيم تعطى بالمعادلة (x=Asin(ωt+π/2)، افرض إن (t=0) وان الجسيم في أقصى إزاحة عن موضع استقراره. جد كل من (a,v,x). عندما t=0 تصبح معادلة الحركة للجسيم x=Asin(ωx0+π/2)=Asin(90)=A x=Asin(ωt+π/2)=Acos(π/2) sinωt+ Asin(π/2)cosωt x=Acos(0)sinωt+Asin(90)cosωt=0+Acosωt x= Acosωt v=(dx/dt)=-Aωsinωt a=(d2x/dt2)=-Aω2cosωt

مثال:يتحرك جسم حركة توافقية بسيطة سعتها 1. 5m وترددها 100Hz، احسب:1 مثال:يتحرك جسم حركة توافقية بسيطة سعتها 1.5m وترددها 100Hz، احسب:1.التردد الزاوي، 2.سرعته، 3.تعجيله، 4.طوره عندما تكون أزاحته 0.75m. ج: 1. f=1/T T=1/f=1/100=0.01S T=2π(m/k)1/2=2π/ω ω=2π/T=2π/0.01=628.32Hz 2. v= ωA=628.32x1.5= 942.5m/S 3. a=ω2A=(942.5)2x1.5= 1332459.375m/S2 4. x=Acosθ cosθ=x/A θ=arccos(x/a)=arccos(0.75/1.5)=arccos(0.5)=60o x=Asinθ sinθ=x/A θ=arcsin(x/a)=arcsin(0.75/1.5)=arcsin(0.5)=30o

مثال:متذبذب توافقي بسيط معادلة حركته x=4sin(0. 1t+0. 5) أوجد:1 مثال:متذبذب توافقي بسيط معادلة حركته x=4sin(0.1t+0.5) أوجد:1.السعة، السرعة، التعجيل، التردد، زمن الذبذبة، الطور الابتدائي للحركة، 2.الظروف الابتدائية، 3.الموضع، السرعة، التعجيل عند t=5S. ج: 1. A=4m, v=dx/dt=0.4cos(0.1t+0.5) a=d2x/dt2=-0.04sin(0.1t+0.5)=-0.04cos(0.1x5+0.5)=-0.04cos(1)=-0.04m/S2 a=ω2x 0.04=4ω2 ω=(0.04/4)1/2 ω=0.1 T=2π(m/k)1/2=2π/ω=2π/0.1=62.832S f=1/T=1/62.832=0.016Hz φ=0.5rad 2. x=4sin(0.1x0+0.5)=4sin(0.5)=1.75m v=dx/dt=0.4cos(0.1x0+0.5)=0.4cos(0.5)=4m/S a=d2x/dt2=-0.04sin(0.1t+0.5)=-0.04cos(0.1x0+0.5)=-0.04cos(0.5)=-0.04m/S2 3. x=4sin(0.1x5+0.5)=4sin(1)=6.98m v=dx/dt=0.4cos(0.1t+0.5)=0.4cos(0.1x5+0.5)=0.4cos(1)=0.4m/S

على الطلبة مراجعة الأمثلة المحلولة وغير المحلولة في نهاية الفصل من صفحة 122 إلى الصفحة 150 في الكتاب المقرر.