An Ardteistiméireacht Ardleibhéal Páipéar 2 Céimseata 2017 C5 2013 C6 2017 C6 2012 C6 2017 C7 2011 C4 2016 C4 2011 C6 2015 C6 2010 C3 2014 C6 2010 C9

Páipéar 2 Ceist 5 2017 25 marc

F ∈ [AB], G ∈ [BC], [FD]  [AG] = {E}, agus FD  AG. Is dronuilleog ABCD. F ∈ [AB], G ∈ [BC], [FD]  [AG] = {E}, agus FD  AG. |AE| = 12 cm, |EG| = 27 cm, agus |FE| = 5 cm. (a) Cruthaigh go bhfuil ΔAFE agus ΔDAE comhchosúil (comhuilleach). | AEF | = | AED | = 90° (Tugtha) | EAF | + |  EFA | = 90° (180º suim na n-uillinneacha Δ) | EAF | + |  EAD | = 90° (Is dronuilleog ABCD)  | EFA | = |  EAF |  ∆ AFE agus ∆ DAE comhchosúil A D  12 5  F E 27 10 B C G

F ∈ [AB], G ∈ [BC], [FD]  [AG] = {E}, agus FD  AG. Is dronuilleog ABCD. F ∈ [AB], G ∈ [BC], [FD]  [AG] = {E}, agus FD  AG. |AE| = 12 cm, |EG| = 27 cm, agus |FE| = 5 cm. (b) Faigh |AD|. | AF | = 13 cm (Teoirim Phíotagarás) 31·2 A D D  | AD | 12 × –––– = 12 13 13 5 5 5  = 31·2 cm F E 27 E  12 A B C G

F ∈ [AB], G ∈ [BC], [FD]  [AG] = {E}, agus FD  AG. Is dronuilleog ABCD. F ∈ [AB], G ∈ [BC], [FD]  [AG] = {E}, agus FD  AG. |AE| = 12 cm, |EG| = 27 cm, agus |FE| = 5 cm. (c) ΔAFE agusΔAGB comhchosúil. Taispeáin go bhfuil|AB| = 36cm. | DG | = 12 + 27 = 39 cm 31·2 A A D  | AB | 39 × –––– = 12 13 12 13 5 5  = 36 cm F E 39 27 B  B C G G

F ∈ [AB], G ∈ [BC], [FD]  [AG] = {E}, agus FD  AG. Is dronuilleog ABCD. F ∈ [AB], G ∈ [BC], [FD]  [AG] = {E}, agus FD  AG. |AE| = 12 cm, |EG| = 27 cm, agus |FE| = 5 cm. (d) Faigh achar an cheathairshleasáin GCDE. Teoirim Phíotagarás Achar ABCD = 31·2×36 = 1123·2 cm2 31·2 D | ED | 2 + 122 = 31·22 – A | ED | 2 = 829·44 = 28·8 cm 12 13 28·8 Achar ΔAED = ×12×28·8 1 2 – 5 F E = 172·8 cm2 39 36 | BG | 2 + 362 – = 392 27 | BG | 2 = 225 = 15 cm Achar ΔABG = ×15×36 1 2 – B C G 15 = 270 cm2 Achar GCDE = 1123·2 – 172·8 – 270 = 680·4 cm2 5

Páipéar 2 Ceist 6 2017 25 marc

Glac le A mar lárphointe an domhain agus faigh |JH|, an (a) Glac leis an domhan mar sféar le ga 6371 km. Tá Seán ag seasamh ar Aillte an Mhothair ag an bpointe J atá 214 méadar os cionn leibhéal na farraige. Tá sé ag féachaint amach ar an bhfarraige ar phointe H ar an léaslíne. Glac le A mar lárphointe an domhain agus faigh |JH|, an fad ó Sheán go dtí an léaslíne. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an km is gaire. H Teoirim Phíotagarás J 6371 km | JH | 2 + 63712 = 6371·2142 – | JH | 2 = 2726·833796 A 214 m 10 = 52 ·21909…. km

(b) Tá Aillte an Mhothair, ag an bpointe C, ag domhanleithead 53º ó thuaidh ón meánchiorcal. Seasann s1 ar an léaráid don chiorcal atá ag domhanleithead 53º. Seasann s2 don mheánchiorcal (atá ag domhanleithead 0º). Is é A lárphointe an domhain. Tá s1 agus s2 ar phlánaí comhthreomhara. Faigh fad an chiorcail s1. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an km is gaire. Uillinneacha ailtéarnacha cos C = cóngarach taobhagán r s1 C r 53° cos 53º = 53° 6371 s2 r = 3834·163513 A 6371 km Imlíne = 2π r Fad s1 = 2π (3834·163513) 15 = 2409 1 km 0·75985

Páipéar 2 Ceist 7 2017 40 marc

Táthaítear dhá chón sholadacha, a bhfuil ga R cm agus airde R cm ag an dá cheann, le chéileag a stuaiceanna agus cuirtear iad sa sorcóir folamh is lú is féidir iad, mar a léirítear i bhFíor 1 thíos. (a) Léirigh gurb ionann toilleadh (toirt) an spáis fholaimh sa sorcóir agus toilleadh sféir fholaimh de gha R cm (Fíor 2). Toirt an tsorcóir Fíor 1 V =  r2h Fíor 2 =  R22R R = 2 R3 cm3 R Toirt an chóin V =  r2h 1 3 =  R2R 1 3 =  R3 cm3 1 3 Spás folamh = 2 R3 –  R3 =  R3 cm3 2 3 4 10

(b) Sa chuid eile den cheist seo, tá R = 12 cm. Doirtear uisce isteach sa sorcóir agus sa sféar araon go dtí go mbíonn sé 6 cm ar doimhneacht, mar a léirítear thíos (Fíor 3 agus Fíor 4 faoiseach). (i) Faigh |AB|, ga dhromchla ciorclach an uisce sa sféar (Fíor 4). Bíodh do fhreagra san fhoirm a b cm, áit a bhfuil a, b ∈ ℕ. Fíor 3 Teoirim Phíotagarás Fíor 4 12 | AB | 2 + 62 = 122 – | AB | 2 = 108 10 = 6 3 cm 12 6 C D A B 6 6 6 3

(b) Sa chuid eile den cheist seo, tá R = 12 cm. Doirtear uisce isteach sa sorcóir agus sa sféar araon go dtí go mbíonn sé 6 cm ar doimhneacht, mar a léirítear thíos (Fíor 3 agus Fíor 4 faoiseach). (ii) Faigh |CD|, ga an chóin ag leibhéal an uisce, mar a léirítear i bhFíor 3. Fíor 3 Triantáin chomhchosúla Fíor 4 12 10  | CD | = 6 cm 12 6 6 12 C D A B 6 6 6 6 6 3 12

(b) Sa chuid eile den cheist seo, tá R = 12 cm. Doirtear uisce isteach sa sorcóir agus sa sféar araon go dtí go mbíonn sé 6 cm ar doimhneacht, mar a léirítear thíos (Fíor 3 agus Fíor 4 faoiseach). (iii) Fíoraigh gurb ionann achar dhromchla an uisce sa sféar agus achar dhromchla an uisce sa sorcóir. Achar dhromchla an uisce Fíor 3 Fíor 3 =  (122) –  (62) Fíor 4 12 = 108  cm2 Achar dhromchla an uisce Fíor 4 =  (6 3)2 12 6 5 = 108  cm2 6 C D A B 6 6 6 6 6 3 12 Ceantar ciorcal mór – limistéar ciorcal beag

6 cm ar doimhneacht. Bíodh do fhreagra i dtéarmaí . (c) Fuair an matamaiticeoir Cavalieri amach gurb ionann toirt an uisce sa spás atá ar fáil sa sorcóir agus toirt an uisce sa sféar, ag an doimhneacht chéanna. Bain úsáid as an bhfionnachtain seo chun toirt an uisce sa sféar a fháil nuair atá an t-uisce 6 cm ar doimhneacht. Bíodh do fhreagra i dtéarmaí . Pg. 11 Fíor 3 Toirt an tsorcóra = 864 Fíor 4 V =  r2h 12 – =  (12)2(6) Toirt an fhrustaim = 504 12 6 ––––– 6 C D A B 6 6 6 6 6 3 Toirt uisce = 360 cm3 12 Toirt an fhrustaim =  h(R2 + Rr + r2) 1 3 5 =  6(122 + 12(6) + 62) 1 3

Páipéar 2 Ceist 4 2016 25 marc

Sa léaráid taispeántar leathchiorcal agus é ina sheasamh ar an trastomhas [AC], agus tá [BD] ⊥ [AC]. (a) (i) Cruthaigh go bhfuil na triantáin ABD agus DBC comhchosúil le chéile. | ABD | = | DBC | = 90°(Tugtha) | BDC | + |  BCD | = 90° (180º suim na n-uillinneacha Δ) | ADB | + |  BDC | = 90° (Uillinn i leathchiorcal)  | ADB | = |  BCD |  ∆ ABD agus ∆ DBC comhchosúil le chéile D   A B C 15

Sa léaráid taispeántar leathchiorcal agus é ina sheasamh ar an trastomhas [AC], agus tá [BD] ⊥ [AC]. (ii) Ma tá | AB | = x, | BC | = 1, agus | BD | = y, scríobh y i dtéarmaí x. y 1 x = D  y 2 = x y 5 y = x  A x B 1 C

(b) Bain úsáid as do thoradh i gcuid (a)(ii) chun mírlíne a thógáil a bheidh ar comhfhad (ina ceintiméadair) le fréamh chearnach an fhaid atá sa mhírlíne [TU] thíos. 5 TU 1 cm T U

Páipéar 2 Ceist 6 2015 25 marc

(a) Tóg meánlár an triantáin ABC thíos. Taispeáin na línte tógála go léir. (San áit a ndéantar tomhas, taispeáin go soiléir na tomhais agus an t-áireamh ábhartha go léir.) A 5 O C B

(b) Má ghearrann trí líne chomhthreomhara mírlínte cothroma ar thrasnaí éigin, cruthaigh go ngearrfaidh siad mírlínte cothroma ar thrasnaí ar bith eile. Léaráid: Tugtha: s agus t mar transaí trí líne chomhthreomhara, a thrasnaíonn a chéile ag A, B, C agus D, E, F. s t A D | AB | = | BC | 5 1 B E 2 Le cruthú: G 3 | DE | = | EF | C F 4 H Togáil: Tarraing AG agus BH, comhthreomhar le t, ag bualadh na línte eile ag G agus H. Maircéail na huillinneacha 1, 2, 3 agus 4 mar atá léirithe. 5

(b) Má ghearrann trí líne chomhthreomhara mírlínte cothroma ar thrasnaí éigin, cruthaigh go ngearrfaidh siad mírlínte cothroma ar thrasnaí ar bith eile. 10 Cruthú: Féach ar na triantán ∆ ABG agus ∆ BCH. |1| = |3| uillinneacha comhfhreagracha s t | AB | = | BC | tugtha A D |2| = |4| uillinneacha comhfhreagracha 1 B E 2 ∆ ABG ≡ ∆ BCH USU G 3 C F 4 | AG | = | BH | sleasa comhfhreagracha H Is comhthreomharán iad ADEG agus BEFH, mar bhí AG agus BH comhthreomhar le t | AG | = | DE | | BH | = | EF | | DE | = | EF | QED

Cruthú: Féach ar na triantáin ∆ ABG agus ∆ BCH. |1| = |3| uillinneacha comhfhreagracha s t | AB | = | BC | tugtha A D 1 |2| = |4| uillinneacha comhfhreagracha B E 2 G 3 C F ∆ ABG ≡ ∆ BCH USU 4 H | AG | = | BH | sleasa comhfhreagracha | AG | = | DE | Is comhthreomharán iad ADEG agus BEFH, mar tá AG agus BH comhthreomhar le t. | DE | = | EF | | BH | = | EF | QED

Páipéar 2 Ceist 6A 2014 25 marc

(a) Má tá dhá thriantán ΔABC agus ∆A′B′C′ comhchosúil, cruthaigh go bhfuil a sleasa comhréireach, in ord: | AB | | A′B′ | | BC | | B′C′ | ––––– = | CA | | C′A′ | A A′ Léaráid: 5 M N B′ C′ B C Tugtha: Na triantáin chomhchosúla ∆ABC agus ∆A′B′C′ | AB | | A′B′ | | BC | | B′C′ | ––––– = | CA | | C′A′ | Le Cruthú: 5 Tógáil: Marcáil M ar [AB] sa chaoi go mbeidh | AM | = | A′B′ | Marcáil N ar [AC] sa chaoi go mbeidh | AN | = | A′C′ |.

(a) Má tá dhá thriantán ΔABC agus ∆A′B′C′ comhchosúil, cruthaigh go bhfuil a sleasa comhréireach, in ord: | AB | | A′B′ | | BC | | B′C′ | ––––– = | CA | | C′A′ | A A′ 4 Cruthú: 1 MN || BC 5 M N 2 7 B′ C′ B C | AM | = | A′B′ | Togáil | AN | = | A′C′ | Togáil |1| = |4| Tugtha  ∆AMN ≡ ∆A′B′C′ SUS  |2| = |5| ach |2| = |7| |5| = |7|

(a) Má tá dhá thriantán ΔABC agus ∆A′B′C′ comhchosúil, cruthaigh go bhfuil a sleasa comhréireach, in ord: Teoirim 12 Líne atá comhthreomhar le slios amháin ar thriantán, gearrann sí an dá shlios eile sa chóimheas céanna | AB | | A′B′ | | BC | | B′C′ | ––––– = | CA | | C′A′ | A A′ 1 Cruthú: 4 MN || BC 5 M N 2 7 B′ C′ B C | AB | | AM | | CA | | NA | –––– = | AB | | A′B′ | | CA | | C′A′ | ––––– = | AM | = | A′B′ | Ach | AN | = | C′A′| Cosúil le, | AB | | A′B′ | | BC | | B′C′ | ––––– = | AB | | A′B′ | | BC | | B′C′ | ––––– = | CA | | C′A′ | 10

(b) Má thugtar an mhírlíne [BC ] duit, tóg pointe A, gan uillinntomhas ná dronbhacart a úsáid, sa tslí go mbeidh | ABC | = 60. Taispeáin do línte tógála. 5 60 B C

Páipéar 2 Ceist 6A 2013 25 marc

(a) Críochnaigh gach ceann de na ráitis seo a leanas. (i) Is é is imlár triantáin ann ná pointe trasnála __________________________________________ dhéroinnteoirí ingearacha shleasa an triantáin (ii) Is é is ionlár triantáin ann ná pointe trasnála __________________________________________ 10 dhéroinnteoirí uillinneacha an triantáin (iii) Is é is meánlár triantáin ann ná pointe trasnála __________________________________________ mheánlínte an triantáin (b) I dtriantán comhshleasach, bíonn an t-imlár, an t-ionlár agus an meánlár ar an bpointe céanna. Mínigh cén fáth. I dtriantán comhshleasach, bíonn na meánlínte ingearach leis na sleasa urchomhaireacha agus déroinneann siad na huillinneacha. Dá bhrí sin, is aon líne amháin iad déroinnteoirí na sleasa, déroinnteoirí na n-uillinneacha agus na meánlínte, agus trasnaíonn siad a chéile san aon phointe amháin. 5

(c) Tóg ingearlár an triantáin ABC thíos. Taispeáin go soiléir na línte tógála go léir. 10 C Déan dhá airdí an triantáin a thogáil. Má maoluillinn é an triantáin, caithfear na bonnlínte a leanúint. A B Is é idirtheasca na hairdí an ingearlár.

Páipéar 2 Ceist 6B 2013 25 marc

(a) Tá dhá shlios chomhthreomhara atá ar comhfhad ar cheathairshleasán (fíor cheathairshleasach). Cruthaigh gur comhthreomharán é an ceathairshleasán. B C 4 Déan an trasnán | AC | a thogáil 1 A D | AD | = | BC | Tugtha |1| = |4| Uillinneacha ailtéarnacha | AC | = | AC | Comónta  ∆ ABC ≡ ∆ ADC SUS  Is comhthreomharán é ABCD. 10

(b) Sa chomhthreomharán ABCD, tá DE ingearach le AC. tá BF ingearach le AC. Cruthaigh gur comhthreomharán é EBFD. D C F E A B Sa chomhthreomharán ABCD, Sa chomhthreomharán ABCD, DE  AC agus AC  BF Achar ∆ DAC = Achar ∆ ABC  DE || BF  | DE | = | BF |  Is comhthreomharán é EBFD. 15

Páipéar 2 Ceist 6A 2012 25 marc

(a) (i) Má thugtar duit na pointí B agus C thíos, tóg, gan uillinn tomhas ná dronbhacart a úsáid, pointe A sa tslí go mbeidh | ABC | = 60. 10 5 (ii) Uaidh sin, tóg uillinn 15 ar an léaráid chéanna thuas gan ach compás agus corr dhíreach a úsáid. 37

(b) Sa léaráid, is línte comhthreomhara iad l1, l2, l3, agus l4 a ghearrann idirlínte atá ar comhfhad ar an trasnaí k. Tá FG comhthreomhar le k, agus HG comhthreomhar le ED. Cruthaigh go bhfuil na triantáin ∆CDE agus ∆FGH iomchuí. 10 k | CD | = | I J | tugtha F l1 H K I 2 = | FG | 5 1 4 l2 sleasa urchomhaireacha an chomhthreomharáin G J |1| = |2| = |3| l3 uillinneacha comhfhreagracha C 3 |4| = |5| = |6| E 6 l4 uillinneacha comhfhreagracha D | HGF | = | EDC | ∆ CDE ≡ ∆ FGH USU

Páipéar 2 Ceist 4 2011 25 marc

Tá dhá thriantán tarraingthe ar ghreille cearnóg, mar a thaispeántar. Tá na pointí P, Q, R, X, agus Z ar stuaiceanna den ghreille agus tá an pointe Y suite ar [PR]. Is méadú é an triantán PQR den triantán XYZ. Q P R X Y Z (a) Ríomh fachtóir scála an mhéadaithe agus taispeáin do chuid oibre. | PR | | XZ | 6 4 3 2 –––– 15 = –– = –– (b) Trí thógáil nó ar shlí eile, aimsigh lárphointe an mhéadaithe ar an léaráid thuas. O 5

Tá dhá thriantán tarraingthe ar ghreille cearnóg, mar a thaispeántar. Tá na pointí P, Q, R, X, agus Z ar stuaiceanna den ghreille agus tá an pointe Y suite ar [PR]. Is méadú é an triantán PQR den triantán XYZ. Q (c) Ríomh | YR | ina aonaid ghreille. | AR | = 4 Y P R A 2 3 8 3 | BR | = –– ×4 = –– X Z B 8 3 5 3 –– –– 5 | YR | = – 1 = O

Páipéar 2 Ceist 6A 2011 25 marc

Cruthaigh, má ghearrann trí (3) líne chomhthreomhara mírlínte ar comhfhad ar thrasnaí áirithe,go ngearrfaidh siad mírlínte ar comhfhad ar aon trasnaí eile. Tugtha: s agus t mar transaí trí líne chomhthreomhara, a thrasnaíonn a chéile ag A, B, C agus D, E, F. | AB | = | BC | s t A D Le cruthú: | DE | = | EF | 1 B E 2 G 3 C F 4 H Togáil: Tarraing AG agus BH, comhthreomhar le t, ag bualadh na línte eile ag G agus H. Maircéail na huillinneacha 1, 2, 3 agus 4 mar atá léirithe.

Cruthaigh, má ghearrann trí (3) líne chomhthreomhara mírlínte ar comhfhad ar thrasnaí áirithe,go ngearrfaidh siad mírlínte ar comhfhad ar aon trasnaí eile. 25 Cruthú: Féach ar na triantáin ∆ ABG agus ∆ BCH. |1| = |3| uillinneacha comhfhreagracha s t | AB | = | BC | tugtha A D 1 |2| = |4| uillinneacha comhfhreagracha B E 2 G 3 C F ∆ ABG ≡ ∆ BCH USU 4 H | AG | = | BH | sleasa comhfhreagracha | AG | = | DE | Is comhthreomharán iad ADEG agus BEFH, mar tá AG agus BH comhthreomhar le t. | DE | = | EF | | BH | = | EF | QED

Páipéar 2 Ceist 3 2010 25 marc

(a) Gan ach compás agus corr dhíreach á n-úsáid agat, tóg inchiorcal an triantáin ABC thíos. Taispeáin na línte tógála go léir go soiléir. A 20 C Úsáid stuanna chun déroinnteoir an dá uillinn a dhéanamh. B Is é pointe trasghearrtha na déroinnteoirí lár an inchiorchail.

(b) Tá sleasa d’fhad 2 aonad ar thriantán comhshleasach. Faigh achar a inchiorcail. Uillin i triantán comhshleasach = 60º 60 urchomhaireach cóngarach ––––––– r 2 2 tan 30 = – 1 3 –– r = 1 Achar =  r2 r 3 –– =  1 2 60 30 60 1 2 1  –– 3 = aonad cearnaithe 5 Inchiorcail déanta trí na déroinnteoirí uillinneacha

Páipéar 2 Ceist 9B 2010 20 marc

(a) Cruthaigh, má ghearrann trí líne chomhthreomhara mírlínte ar comhfhad ar thrasnaí áirithe, go ngearrfaidh siad mírlínte ar comhfhad ar aon trasnaí eile. Tugtha: s agus t mar transaí trí líne chomhthreomhara, a thrasnaíonn a chéile ag A, B, C agus D, E, F. | AB | = | BC | s t A D Le cruthú: | DE | = | EF | 1 B E 2 G 3 C F 4 H Togáil: Tarraing AG agus BH, comhthreomhar le t, ag bualadh na línte eile ag G agus H. Maircéail na huillinneacha 1, 2, 3 agus 4 mar atá léirithe.

(a) Cruthaigh, má ghearrann trí líne chomhthreomhara mírlínte ar comhfhad ar thrasnaí áirithe, go ngearrfaidh siad mírlínte ar comhfhad ar aon trasnaí eile. 20 Cruthú: Féach ar na triantáin ∆ ABG agus ∆ BCH. |1| = |3| uillinneacha comhfhreagracha s t | AB | = | BC | tugtha A D 1 |2| = |4| uillinneacha comhfhreagracha B E 2 G 3 C F ∆ ABG ≡ ∆ BCH USU 4 H | AG | = | BH | sleasa comhfhreagracha | AG | = | DE | Is comhthreomharán iad ADEG agus BEFH, mar tá AG agus BH comhthreomhar le t. | DE | = | EF | | BH | = | EF | QED