Difrakcija X-zraka na kristalima Bragov zakon

W.H.Bragg i njegov sin W.L.Bragg dobili su Nobelovu nagradu 1915.g. Zanimaju nas ravni u kristalnoj rešeci u kontekstu difrakcije X-zraka i Bragovog zakona: nl = 2 d sin(q) Ovdje je: n - cijeli broj l - talasna dužina X-zraka d - rastojanje između susjednih ravni u rešeci q - upadni ugao snopa X-zraka Bragov zakon izražava uslove koji moraju biti ispunjeni da bi reflektovani talasi X-zraka bili međusobno u fazi (konstruktivna interferencija). Ako ovi uslovi nisu ispunjeni, destruktivna interferencija redukuje reflektovani intenzitet na nulu. W.H.Bragg i njegov sin W.L.Bragg dobili su Nobelovu nagradu 1915.g.

Izvođenje Bragovog zakona Bragov zakon se može izvesti korištenjem jednostavne geometrije i razmatranjem rastojanja koja pređu dva paralelna X-zraka koji se reflektuju od susjednih ravni. X-zrak koji udari donju ravan mora putovati ekstra rastojanje AB i BC. Da bi ostao u fazi sa prvim X-zrakom, ovo rastojanje mora biti multipl talasne dužine: nl = AB+BC = 2AB (pošto su ova dva trougla identična) Distanca AB se može izraziti preko rastojanja među ravnima (d) i upadnog ugla (q) pošto je d hipotenuza trougla zAB koji je na slici desno. sin(q) = AB/d pa je AB = d sin(q) Stoga je: nl = 2 d sin(q) Primjedba: d i sin(q) su inverzno proporcionalni (recipročni). Ovo znači da manje vrijednosti d difraktuju pri većim uglovima – ovdje leži značaj podataka “pri visokim uglovima!

I(2q) = Io [(n e4)/(2 r2 m2 c4)] [(1 + cos2(2q))/2] Zašto se X-zraci ovako reflektuju? Zbog interakcije između X-zraka i ELECTRONA u kristalu, a to je tip elastičnog rasijanja. Oscilirajuće električno polje X-zraka uzrokuje da naelektrisane čestice u atomu osciliraju istom frekvencijom. Emisijom fotona sa tom frekvencijom (elastična) vraćaju se čestice u atomu u stabilnije stanje. Emitovani foton može biti u bilo kojem pravcu, a intenzitet rasijanja je dat jednačinom : I(2q) = Io [(n e4)/(2 r2 m2 c4)] [(1 + cos2(2q))/2] I(2q) = uočeni intenzitet Io = upadni intenzitet n = broj izvora rasijanja r = rastojanje detektora od izvora rasijanja m = masa izvora rasijanja c = brzina svjetlosti, e = naboj elektrona, [(1 + cos2(2q))/2] je faktor polarizacije Treba uočiti da je masa rasijane čestice (m) u nazivniku – ovo znači da se rasijanje koje vidimo može pripisati samo elektronima (čija je masa skoro 2000 puta manja od mase protona).

Laue’ova interpretacija Max von Laue je izveo različit niz jednačina koje opisuju difrakciju X-zraka “u fazi” na liniji objekata rasijanja (cijeli broj u jednačinama ispod odgovara cijelom broju u Bragovoj jednačini). Svaka linija objekta stvara konus koji je “u fazi” rasijanja prema jednačinama: a(cos Y1 – cos j1) = lh (za liniju u a pravcu) b(cos Y2 – cos j2) = lk (za liniju u b pravcu) c(cos Y3 – cos j3) = ll (za liniju u c pravcu) Gdje je Y ugao između upadnog snopa i linije, a j je ugao između konusa i linije raspršivača. U tri dimenzije, refleksija će moći da se uoči na presjeku konusa u svia tri pravca (zadovoljene su svetri jednačine). Sa malo geometrije moguće je dokazati da jeovaj tretmanekvivalentan Bragovom zakonu.

Difrakcija na ravnima Ako intereaguju sa elektronima u kristalu, upadni X-zraci će se rasijati. Samo oni X-zraci koji se rasijavaju “u fazi” (konstruktivna interferencija) pojačaće refleksije koje uočavamo. Možemo koristiti Bragov zakon da interpretiramo difrakciju preko rastojanja između kristalnih ravni rešetke u kristalu, a na osnovu upadnog i reflektovanog ugla refleksije. Primjedba: Ugao difrakcije se označava sa 2q radi geometrijske relacije prikazane na sl. Lijevo.

Recipročna rešetka Zbog recipročne prirode rastojanja d i q iz Bragovog zakona, šare difrakcije koje uočavamo mogu se povezati sa kristalnom rešetkom preko matematičke konstrukcije koju zovemo recipročna rešetka. Drugim riječima, šara refleksije X-zraka pravi neku repetku koju možemo iskoristiti da dobijemo informacije o kristalnoj rešetki. Recipročna rešetka se konstruiše na slijedeći način: Izabere se tačka koja će biti ishodište u kristalnoj rešeci. Neka vektor, koji je normalan na set kristalnih ravni u realnoj rešetki izlazi iz ishodišta tako da je rastojanje vektora recipročno sa rastojanjem d za svaku familiju ravni, tj. vektor za ravan (hkl) ima rastojanje od 1/d(hkl) (ili općenitije K/d(hkl)). Ovo treba ponoviti za sve tačke realne rešetke.

Recipročna rešetka Ovom procedurom konstruiše se recipročna rešetka (RR) u kojoj svaka tačka rešetke odgovara refleksiji koju stvara određena familija ravni. Ova rešetka se lako može indeksirati tako da se svakoj tački rešetke pripiše odgovarajuća vrijednost (hkl). Treba primijetiti da je posljedica ove recipročne relacije: Velike vrijednosti d rastojanja odgovaraju malim rastojanjima u RR – ovo je važna činjenica koja se se mora uzeti u obzir toko prikupljanja podataka. - Tupi uglovi u realnoj rešetki odgovaraju tupim uglovima u RR

Recipročna Rešetka - RR Ako se prisjetimo operacija sa vektorima :a · a* = 1 (itd. – ovo je recipročni dio) a · b* = 0 (itd. – vektori su ortogonalni u ovoj geometriji) Na bazi toga recipročna rešetka se može predstaviti preko vektora kao: Rhkl = ha* + kb* + lc*, | Rhkl | = K / dhkl Gdje su h, k, i l indeksi seta ravni u kristalu, a K može imati vrijednosti 1, λ, or 2πλ, zavisno od konvencije koju koristimo u kristalografiji, fizici čvrstog stanja itd. Mi ćemo uzeti da K ima vrijednost 1. Pojedinačni vektori rešetke su onda definirani kao: a* = K (b × c) / (a · b × c) a = (b* × c*) / K (a* · b* × c*) b* = K (c × a) / (a · b × c) b = (c* × a*) / K (a* · b* × c*) c* = K (a × b) / (a · b × c) c = (a* × b*) / K (a* · b* × c*) cosα* = (cosβ cosγ - cosα) /( sinβ sinγ) cosα = (cosβ* cosγ* - cosα*) /( sinβ* sinγ*) cosβ* = (cosα cosγ - cosβ) /( sinα sinγ) cosβ = (cosα* cosγ* - cosβ*) /( sinα* sinγ*) cosγ* = (cosα cosβ - cosγ) /( sinα sinβ) cosγ = (cosα* cosβ* - cosγ*) /( sinα* sinβ*) V = a · b × c = 1/V* = abc √ (1 - cos2α - cos2β - cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ) V* = a* · b* × c* = 1/V = a*b*c* √ (1 - cos2α* - cos2β* - cos2γ* + 2 cosα* cosβ* cosγ*)

Recipročna rešetka Neke od važnih relacija između realne rešetke i recipročne rešetke (u ne-vektorskoj notaciji) sumirane su ovdje. Uzeto je da je u ovim jednačinama K = 1 .