Brojevi

Korišćenje matematičkih simbola u bilo kom vidu (počev od cifara pa do složenih matematičkih oznaka) predstavlja rutinsku stvar koja ne zahteva razmišljanje o njenom nastanku. Uglavnom se odnosimo prema matematičkom aparatu kao da je oduvek postojao i to u obliku koji danas koristimo. Ova iluzija podstaknuta je i činjenicom da mi svoje prvo matematičko znanje stičemo tako rano da se toga i ne sećamo. Štaviše, skloni smo verovanju da su neki od apstraktnih pojmova (kao pojam broja ili decimalni sistem) intuitivni.

Međutim, ne sme se zaboraviti da je sadašnjem stanju u ovoj oblasti prethodio dug period od oko 6000 godina postepenog razvoja matematike u kome je matematička apstrakcija dala neke od najbriljantnijih doprinosa ljudskoj misli. Tako fascinantan tok pronalazaka u matematici ne postoji ni u jednoj drugoj nauci. Uporedo s njim došlo je do razvoja matematičke simbolike i terminologije. Nezgrapna i nejasna u početku, ona se razvila do današnjeg elegantnog i mnogo razumljivijeg oblika u procesu koji još uvek traje i predstavlja rastuće polje stalno promenljivih oblika apstraktnih pojmova.

Civilizacija i matematika su se istovremeno razvijale. Matematika je oduvek za čovečanstvo bila velika vrednost, a njena korist neprestano raste. Ustvari možemo reći da je matematika bila neophodna čoveku u njegovom savladavanju prirode i formirajući njegovo mišljenje uticala je na celokupni ljudski razvitak. U jednom pogledu matematika je vrlo specifična među ostalim naukama: ni jedan njen rezultat ne može zastareti daljim razvojem nauke. Jednom dokazana teorema ne može postati neistinita, samo se tokom daljeg razvoja može pokazati kao specijalan slučaj neke uopštenije istine. Matematička znanja ne podležu reviziji, njihova ukupna zaliha neprestano raste.

Numerički termini izražavaju neke od najapstraktnijih pojmova koje je stvorio ljudski um. Međutim, proces njihovog kreiranja bio je spor i dugotrajan. Koncept apstraktnog broja je proizvod duge i lagane kulturne evolucije koja zadire duboko u vreme pre pisane istorije. Kao što je rekao Bertrand Rasel (Russell, 1872- 1970), britanski matematičar i filozof, bile su potrebne hiljade godina dok je shvaćeno da par fazana i dva dana imaju zajedničku karakteristiku – broj 2.

Dugo se smatralo da je najstariji postojeći matematički artefakt od značaja egipatsko vladarsko žezlo, za koje se veruje da datira približno iz 3100. godine pre nove ere. Na žezlu je napisano nekoliko brojeva reda miliona i stotina hiljada, napisanih egipatskim hijeroglifima, kojima su zabeleženi preuveličani rezultati uspešnog vojnog pohoda. Međutim, nedavno je pronađen znatno stariji artefakt koji se takođe odnosi na brojanje.

Na ručnom alatu od kosti nalaze se zarezi aranžirani prema određenim numeričkim obrascima zajedno sa komadom kvarca koji je pričvršćen za glavu ručice. Artefakt je poznat kao kost iz Išanga, a pronađen je na obali Edvardovog jezera u Republici Kongo. Smatra se da datira iz perioda između 9000 i 6500 godina pre nove ere. Dakle, sasvim je moguće da se začeci matematike nisu desili ni u Egiptu ni u Mesopotamiji, već u afričkim predelima južno od Sahare.  

Neka plemena u Južnoj Americi čak i danas broje pomoću šake: ,,Jedan, dva, tri, četiri, šaka, šaka-i-jedan", itd. Seoski kalendari u Nemačkoj koristili su petični sistem sve do kraja osamnaestog veka. Maje, Asteci i Kelti imali su dvadesetični sistem, što je odgovaralo ukupnom broju prstiju na rukama i nogama, istovremeno dajući svedočanstvo o bosonogom periodu čovečanstva.

“Brojanje pomoću tela” je definisanje brojeva pomoću određenih delova ljudskog tela, kao što su glava, oči, uši, ruke, itd. Ovakvo brojanje koriste neki primitivni narodi. Na primer, jedno pleme Papuanaca na jugoistoku Nove Gvineje broji na sledeći način:

1 desni mali prst 12 nos 2 desni prst ,,prstenjak" 13 usta 3 desni srednji prst 14 levo uvo 4 desni kažiprst 15 levo rame 5 desni palac 16 leva obrva 6 desni ručni zglob 17 levi ručni zglob 7 desna obrva 18 levi palac 8 desno rame 19 levi kažiprst 9 desno uvo 20 levi srednji prst 10 desno oko 21 levi prstenjak 11 levo oko 22 levi mali prst

Kod primitivnih naroda, pa čak i nekih naprednijih, uobičajeno je da verbalno brojanje prate određeni gestovi. Na primer, u nekim plemenima reč ,,deset" često je propraćena udarcem dlana o dlan a reč ,,šest" ponekad je propraćena brzim zamahom jedne ruke pored druge. Karl Meninger tvrdi da se neka afrička plemena mogu razlikovati i etnički klasifikovati na osnovu toga da li brojanje počinju levom ili desnom rukom, da li savijaju prste i da li okreću dlanove ka telu ili od tela.

Opšte je mišljenje da cifre koje danas koristimo, takozvane arapske cifre, kao i simbol za nulu potiču iz Indije. Dva najstarija zapisa pojavili su se, prvi u Brahmi sredinom trećeg veka pre nove ere, drugi u Gvalioru. Suštinska odlika Hindu matematike bilo je uvođenje simbola za nulu. Bez nule pozicioni sistem zapravo ne bi mogao da postoji. Ovaj pronalazak omogućio je razvoj od indoarapskih cifara do današnjeg brojnog sistema sa pozicionom vrednošću.

Šezdesetih godina 20. veka gospođa Abdelkri Budžibar, direktor Muzeja u Maroku, izložila je javnosti svoju interesantnu i prilično ubedljivu studiju o tome kako je nepoznati arapski matematičar mogao pre nekih hiljadu godina da oblikuje takozvane arapske brojeve, odnosno cifre od 0 do 9. Ona smatra da su cifre formirane prema kriterijumu da svaka sadrži odgovarajući broj uglova, kao što je prikazano na slici. Dakle, cifra broja ,,jedan" sadrži jedan ugao, cifra broja ,,dva" ima dva ugla, broja ,,tri" ima tri ugla, i tako dalje. Nula je, naravno oblikovana tako da nema uglova.

Arapski astrolog Aben Ragel, iz desetog ili jedanaestog veka, sugerisao je atraktivan mada istorijski nedokazan prikaz cifara dat na slici ispod. Ovakva maštovita obrazloženja proističu iz želje amatera da proniknu u ključ misterije, nedostupan i ekspertima.

G. H. HARDY: Bulletin of the American Mathematical Society, 35 (1929), 818 “Elementarna teorija brojeva je najbolji predmet za rano matematičko obrazovanje. Ona zahteva vrlo malo predznanja, a predmet njenog proučavanja je opipljiv i vrlo blizak. Proces rezonovanja koji ona upotrebljava je prost, opšti i izabran. Ona je jedina od matematičkih grana koja privlači prirodnu ljudsku radoznalost‘”.

Brojevi su fascinirali ljude od najranijih početaka civilizacije. Na primer, još u Vavilonu, hiljadu godina pre Pitagore, matematičari su znali kako sistematski da odrede Pitagorine brojeve, tj. cele brojeve koji čine stranice pravouglog trougla. Pitagora je otkrio da muzička harmonija zavisi od odnosa malih celih brojeva i zaključio da je sve u prirodi broj, odnosno da je sve uređeno na osnovu broja. Leopold Kroneker je rekao: ''Bog je stvorio cele brojeve, sve ostalo je delo ljudi''.

Pojam prirodnog broja, koji se pojavljuje kao rezultat postepenog apstrahovanja – osnova je čitavog daljeg razvoja matematike. Izučavanje osobina prirodnih brojeva, koje je započeto u primitivnom obliku od strane generacija davno otišlih matematičara, zauzima veliko mesto u savremenoj matematici, čineći osnovni sadržaj jedne od njenih vodećih grana, koju mi nazivamo teorija brojeva. Prilikom razmatranja prirodnih brojeva primećujemo, da među njima postoje brojevi sa veoma raznovrsnim osobinama.

Tako, na primer, među prirodnim brojevima izdvajamo proste brojeve i naravno, postavlja se pitanje kakav je njihov raspored u skupu prirodnih brojeva. Takođe primećujemo, na primer, da među prirodnim brojevima postoje brojevi, koji se ne mogu predstaviti u obliku sume dva kvadrata prirodna broja i postavljamo pitanje, koji brojevi imaju baš te osobine i koliko se često sreću takvi brojevi.

U teoriji brojeva, naravno, u prvom redu se izdvajaju i razmatraju oni problemi, koji su duboko i dovoljno neposredno vezani za izučavane objekte i koji su važni za konstrukciju matematike u celini. Neki teorijsko – brojčani zadaci nastaju već u okviru školskog kursa aritmetike. Istorijski, teorija brojeva je nastala kao neposredni razvoj aritmetike. U sadašnje vreme, u teoriju brojeva se uključuje znatno širi krug pitanja, koja izlaze iz okvira izučavanja prirodnih brojeva. U teoriji brojeva razmatraju se ne samo prirodni, već i celi, a takođe i racionalni brojevi.

Za savremenu teoriju brojeva karakteristična je primena veoma raznovrsnih metoda istraživanja, tako, na primer, mnogi problemi teorije brojeva, mogu biti, naravno, formulisani u geometrijskom obliku, i za rešavanje takve vrste zadataka se primenjuju geometrijska rasuđivanja (geometrijska teorija brojeva). U savremenoj teoriji brojeva široko se koriste metode matematičke analize, recimo prilikom izučavanja pitanja, vezanih za raspored prostih brojeva, veoma često se mora primenjivati teorija funkcija kompleksne promenljive.

Teorijsko – brojčana istraživanja u kojima se prvenstveno koriste metode matematičke analize čine sadržaj značajnog dela teorije brojeva, koji je dobio naziv – Analitička teorija brojeva.

Razvoj teorije brojeva tesno je i neposredno vezan sa razvojem celog niza grana matematike. Teorija brojeva široko koristi ne samo metode, koje su razrađene u graničnim matematičkim disciplinama, nego i sama utiče na formiranje tih disciplina. Niz pitanja teorije brojeva nalazi primenu u praksi; na primer, u teoriji telefonskih mreža, u kristalografiji, biologiji, hemiji, kod problema parketiranja, prilikom rešavanja nekih zadataka teorije aproksimacija i svakako najzanimljivija u kriptoanalizi.

Elementarna teorija brojeva (teorija kongruencija, teorija forme, neodređene jednačine). Ovom delu pripadaju pitanja teorije brojeva, koja su neposredno vezana za razvoj teorije deljivosti, i pitanja o predstavljanju brojeva u određenom obliku. Još opštiji je zadatak rešavanja sistema neodređenih jednačina, tj. jednačina, u kojima vrednosti nepoznatih moraju biti obavezno celi brojevi. Neodređene jednačine zovu se takođe i Diofantove jednačine, jer je Diofant bio prvi matematičar, koji je sistematski razmotrio takve jednačine. Mi uslovno nazivamo taj deo – Elementarna teorija brojeva, jer se ovde često primenjuju obični aritmetički i algebarski metodi istraživanja.

Algebarska teorija brojeva Ovom delu pripadaju pitanja vezana za izučavanje različitih vrsta algebarskih brojeva. Diofantove aproksimacije Ovom delu pripadaju pitanja vezana za izučavanje aproksimacije realnih brojeva racionalnim. Diofantovim aproksimacijama slična su pitanja izučavanja aritmetičke prirode raznih vrsta brojeva, koja su tesno vezana sa istim krugom ideja.

Savremenu teoriju brojeva možemo uglavnom podeliti na sledeće grane:

Analitička teorija brojeva U ovaj deo ulaze pitanja teorije brojeva za čije se izučavanje moraju koristiti metode matematičke analize. Naravno, podela teorije brojeva na ovakve delove nije standardna. Ponekad se izdvaja kao poseban deo teorije brojeva – Geometrijska teorija brojeva, a iz opšteg kruga pitanja Diofantovih aproksimacija izdvaja se – Teorija transcedentnih brojeva. Osim toga, treba imati u vidu da veoma često moramo imati posla sa istraživanjima, koja je nemoguće ograničiti u okvire jednog određenog dela (grane).

Teoriju brojeva kao posebnu oblast matematike moguće je razmatrati samo ako se počne od radova Diofanta (vreme njegovog života nije tačno poznato, verovatno III vek naše ere). Diofant je razotkrio niz zadataka o predstavljanju brojeva u određenom obliku i još opštije probleme rešavanja neodređenih jednačina sa celim i pozitivnim racionalnim brojevima. Upravo ti problemi kasnije su postali polazna tačka i baza čitave teorije forme, odakle se razvila teorija Diofantovih aproksimacija.

U sadašnjem smislu teoriju brojeva kao nauku treba smatrati počev od radova francuskog matematičara P. Ferma (1601 – 1655), koji je došao do osnovnog rezultata teorije deljivosti za zadati prost broj i koji je rešio niz važnih zadataka teorije neodređenih jednačina. Dvadeseti vek je dao suštinske promene u analitičkoj teoriji brojeva, čiji je razvoj bio vezan za usavršavanje već poznatih metoda, a naročito za stvaranje sasvim novih metoda.

Problemi teorije brojeva se dele na dve vrste. Prvoj vrsti pripadaju oni za koje su poznati metodi rešavanja, ali za čiju primenu su ponekad potrebna vrlo dugačka izračunavanja. Drugoj vrsti pripadaju problemi za koje metodi rešavanja nisu poznati. Elektronske mašine i savremeni računari se mogu primeniti samo za rešavanje prve vrste problema.

Od početka računarske ere, programeri testiraju svoje sposobnosti, kvalitet svojih programa i moć računara rešavajući probleme iz teorije brojeva i otkrivajući razne kuriozitete u toj oblasti. U ranoj fazi bilo je vrlo popularno izračunavanje broja π sa velikom tačnošću i slični problemi. Otkrivanje prostih brojeva nije nikada izgubilo popularnost i verovatno i neće.

Broj kao jedan od najelementarnijih apstraktnih pojmova, koji je oduvek bio usko povezan sa praktičnim životom, razvijao se uporedo s opštim napretkom ljudske svesti. Moglo bi se reći da je nivo razvijenosti pojma broja u jakoj korelaciji sa stepenom razvijenosti određene ljudske zajednice, pa čak i to da je, u određenom smislu, karakterisao pojedine kulture i civilizacije.

Poznata je činjenica da se kod primitivnih naroda pojam broja iscrpljuje na shvatanju nekoliko početnih prirodnih brojeva, da bi se već kod Starih Grka duboko shvatio smisao prirodnih brojeva i pozitivnih razlomaka. Zatim je trebalo proći skoro 2000 godina da bi negativni brojevi ''dobili pravo građanstva'' u matematici, dok je spoznaja realnog, broja kao potrebe ljudskog uma da kvantitativno izrazi i opiše svaki (realni i misaoni) proces merenja, stara nešto više od stotinak godina.

PRIRODNI I CELI BROJEVI Prvo matematičko znanje koje stičemo je znanje o prirodnim brojevima. U toku školovanja, u osnovnoj i srednjoj školi, stečeno znanje ne podvrgavamo kritici. Radimo sa nekim konkretnim prirodnim brojevima, ispitujemo svojstva koja imaju i pripisujemo ih svim prirodnim brojevima. Uvereni smo da možemo sabrati i pomnožiti bilo koja dva prirodna broja, da za sabiranje i množenje važe komutativni i asocijativni zakon i slično.

Nedostatak koji imaju prirodni brojevi, da jednačina a + x = b nije rešiva u ovom skupu za b < a, otklanjamo uvođenjem skupa celih brojeva. Slično, kao u slučaju prirodnih brojeva, prihvatamo da postoji zbir i proizvod svaka dva cela broja, a sabiranje i množenje celih brojeva učimo preko pravila.

Za razliku od (elementarne) geometrije, koja je aksiomatski zasnovana još u drevnoj Grčkoj (Euklid i drugi), aksiomatske postavke raznih vrsta brojeva su stare stotinak godina. Intuicija prirodnog broja bila je dovoljno čvrsta osnova aritmetike. Aksiomatizacijom aritmetike nije poljuljana sigurnost intuitivnog shvatanja broja. Zadatak aksiomatizacije aritmetike je njeno logičko oblikovanje: izdvajanje osnovnih aritmetičkih pojmova (određivanjem njihovih osnovnih svojstava) dovoljnih za izgradnju deduktivnog sistema aritmetike.

Prirodni brojevi Svi se pisci razmatranja o brojevima slažu da su prirodni brojevi bili prvi apstraktni pojmovi kod ljudi. Brojanje istovrsnih predmeta, kao i dodavanje još jednog primerka zbirci istovrsnih primeraka, čini sigurnu osnovu za apstrakciju prirodnog broja. Prvi zapis o prelasku sa konkretnog brojanja na apstraktno datira iz 3001. godine p.n.e. Na jednoj sumerskoj glinenoj pločici prikazan je broj 33 pomoću tri kružića (desetice) i tri zareza (jedinice), zapisanih ispod kružića. Zajedno sa znakom za ćup, koji se nalazi pored, ceo zapis bi se mogao pročitati kao 33 ćupa ulja.

Prirodni brojevi su poznat objekat N = {1, 2, 3,…}. Intuitivno se podrazumeva da iza svakog broja sledi broj, te da se nabrajanje može odvijati bez ograničenja. Oznaka N za skup prirodnih brojeva je prvo slovo latinske reči naturalis=prirodno. Radi jednostavnijeg dokazivanja potrebno je preciznije fiksirati našu intuiciju o brojevima. To ćemo učiniti koristeći Peanovu aksiomatiku. Peanova aksiomatika temelji deduktivni aritmetički sistem na trima osnovnim pojmovima: prirodan broj, sledbenik, 1.

Aksiomatika prirodnih brojeva, koja se danas izlaže, se po formi donekle razlikuje od izvorne. Strukturu prirodnih brojeva uvodimo kao uređenu trojku (N, ‘, 1), gde N je neprazan skup, ‘ (prim) je operacija dužine jedan i 1 je konstanta iz N, tako da važi:

(P1) (1 nije sledbenik nijednog prirodnog broja.) (P2) (Ako su sledbenici dva broja jednaki, onda su ta dva broja jednaka.) (P3) (Aksioma indukcije.) Ako je koji zadovoljava uslove: (1) i (2) onda je M = N.