Stability Theory of Structures تئوری پایداری سازه ها Stability Theory of Structures كريم عابدي

فصل چهارم تحلیل پایداری قاب ها

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها 1- مقدمه : در يك قاب معمولاً اعضا به طور صلب در گره ها به يكديگر متصل هستند. در نتيجه هيچ عضو فشاري نمي تواند كمانش كند، مگر اينكه كليه اعضاي قاب همزمان تغييرشكل يابند. به بيان ديگر، گيرداري ارتجاعي در انتهاي يك عضو فشاري، نه فقط به اعضايي كه مستقيماً در دو انتها به آن متصل هستند، بلكه به تمام اعضاي تشكيل دهنده قاب نيز بستگي دارد. بنابراين براي بدست آوردن بار بحراني اعضاي فشاري يك قاب، لازم است كه پايداري كل قاب به صورت يك واحد منفرد بررسي شود. در اينجا ذكر يك نكته بسيار مهم، ضروري است. در يك قاب ساده مانند قاب پرتال، كمانش يك ستون، معادل ناپايداري كل قاب است. ولي در قاب هاي پيچيده، كمانش يك عضو فشاري نمي تواند حتماً بيانگر ناپايداري كل قاب باشد، بلكه تحت شرايطي مي تواند به عنوان كمانش محلي (Local buckling) مطرح شود كه در واقع اثر موضعي در رفتار قاب دارد. بنابراين شايد بتوان براي قاب هاي ساده، با قضاوت مهندسي بار كمانش يك عضو فشاري خاصي را پيدا كرده و از آن بار كمانشي قاب را بدست آورد، ولي براي قاب هاي پيچيده اين عمل امكان پذير نخواهد بود.

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها پس بايد به دنبال روش هايي باشيم كه داراي ويژگيهاي زير باشند: الف) قابليت استخراج بار بحراني قاب هاي پيچيده را داشته باشند؛ ب) توانايي ارائه يك تحليل كيفي از رفتار پايداري قاب را داشته باشند؛ پ) قابليت پياده سازي در يك برنامه كامپيوتري را داشته باشند.

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها 2- تحليل كيفي پايداري يك قاب ساده: در اين بخش به بررسي كيفي اثر ساير اجزاي يك قاب در رفتار پايداري يك ستون در آن قاب مي پردازيم: مطالعه مورد نظرخود را با يك قاب يك طبقه و يك دهانه شروع مي كنيم. فرض براين است كه بارهاي خارجي P مستقيماً روي ستون ها عمل مي كنند، به طوري كه قبل ازكمانش در هيچ يك از اعضاء قاب لنگر خمشي وجود ندارد. براي تحليل قاب ها آنها را به دو دسته تقسيم مي كنيم: قاب هاي بدون حركت جانبي و قاب هايي كه در آنها حركت افقي گره هاي فوقاني آزاد است.

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها ابتدا قابي را در نظر مي گيريم كه در آن از حركت جانبي جلوگيري مي شود. تحت اثر بار بحراني، قاب به صورتي كه در شكل با خط توپر نشان داده شده است، كمانش مي كند. واضح است كه در اين قاب ساده، وقتي بار وارده برابر بار بحراني ستون ها است، كمانش رخ مي دهد . واضح است كه انتهاي بالايي هر ستون توسط تيري كه با آن يك گره صلب نشكيل مي دهد، به طور ارتجاعي گيردار است. بنابراين بار بحراني ستون نه تنها به سختي ستون، بلكه به سختي تير نيز بستگي دارد. اگر سختي تير بي نهايت فرض شود، مسئله خيلي ساده مي شود، يعني وقتي قاب تغييرشكل مي يابد تير بايد مستقيم باقي بماند ( شكل الف ) و ستون ها در انتهاهاي بالايي نه مي توانند چرخش كنند و نه انتقال يابند. تحت اين شرايط ستون ها مانند حالت دو سر گیردار رفتار مي كنند و بار بحراني قاب چهار برابر بار اولر ستون ها است: همچنين تير مي تواند بي نهايت انعطاف پذير فرض شود. اين بدان معناست كه تير هيچ قيدي روي دوران انتهاهاي بالاي ستون ايجاد نمي كند ( شكل ب)، در اين حالت ستون ها مثل حالت يك انتها گیردار و انتهاي ديگر مفصلي رفتار مي كنند و بار بحراني قاب تقريباً دو برابر بار اولر ستون ها است:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها براي يك قاب واقعي، انعطاف پذيري تير بين دو حالت حدي فوق قراردارد. بنابراين بار بحراني چنين قابي كه در آن از حركت جانبي جلوگيري مي شود، داراي حدود زير است: بار اولرستون مقدار بار بحراني وارده اكنون قابي را كه در آن حركت جانبي گره هاي فوقاني آنها آزاد است، در نظر مي گيريم. اگر سختي تير بي نهايت فرض شود، قاب به روشي كه در شكل( ج ) نشان داده شده است، كمانش مي كند. حركت جانبي انتهاهاي بالايي ستون ها آزاد، ولي چرخش آنها غيرممكن است. بنابر اين بار بحراني قاب با بار اولر ستون ها برابر است. يعني داريم:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها از طرف ديگر، اگر تير بي نهايت انعطاف پذير باشد، همان گونه كه در شكل ( د ) نشان داده شده است، انتهاهاي فوقاني ستون ها براي هر دو حالت دوران و حركت جانبي آزاد هستند. در اين حالت، ستون ها مثل اينكه در پايين گیردار و در بالا آزاد هستند، رفتار مي كنند و بار بحراني قاب با يك چهارم بار اولر ستون ها برابر است: بنابراين بار بحراني قابي كه حركت جانبي گره هاي بالايي آن آزاد است بايد بين و قرار گيرد، يعني داريم : مقايسه نتايج كمانش قاب بدون حركت جانبي (كمانش متقارن (Symmetric Buckling با كمانش قاب با حركت جانبي نشان مي دهد كه صرف نظر از سختي اعضا، بار لازم براي ايجاد كمانش متقارن بزرگ تر از بار لازم براي ايجاد كمانش داراي حركت جانبي است. بنابراين كمانش قاب هميشه از نوع توام با حركت جانبي خواهد بود، مگر اينكه از حركت جانبي آن جلوگيري شود كه در اين صورت قاب بايد در حالت متقارن كمانش كند. محققين نشان داده اند كه اين نتيجه گيري براي قاب هاي چند طبقه هم صحيح است.

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها 3- محاسبه بار بحراني قاب ها با استفاده از روش تعادل خنثي: در اين بخش به عنوان يك نمونه، بار بحراني قاب ساده پرتال را با استفاده از روش تعادل خنثي به دست مي آوريم تا بخشي از پيچيدگي هاي استفاده از روش تعادل خنثي در تعيين بار بحراني يك قاب را به نمايش گذاريم. قاب شكل زير را در نظر مي گيريم كه در پايين گيردار و بالاي آن در حركت جانبي آزاد است. فرض مي شود كه مصالح ساختماني قاب طبق قانون هوك رفتار مي كنند و تغييرشكل ها كوچك هستند و قبل از كمانش در قاب، خمش وجود ندارد. براي مشخصات ستون زير نويس 1 و براي مشخصات تير، زير نويس 2 در نظر گرفته مي شود. وقتي قاب كمانش مي كند ، وضعيتي را به خود مي گيرد كه با خط پر در شكل زير نشان داده شده است .

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها نيروهاي عمل كننده بر هر يك از اعضاء، وقتي قاب به اين طريق تغييرشكل يابد، در شكل زير نشان داده شده اند. بايد توجه كرد كه از نيروهاي برشي ناشي از خمش عضو افقي در مقايسه با بار وارده ، هنگام بررسي اعضاي قائم صرف نظر مي شوند. با محورهاي مختصات نشان داده شده در شكل زير، معادله تعادل لنگر براي عضو قائم برابر است با:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها با فرض خواهيم داشت: جواب معادله ديفرانسيل عبارت است از: براي يافتن ضرايب و ، از شرايط مرزي استفاده مي كنيم: بنابراين خواهيم داشت: جابجايي افقي ستون در را با نشان مي دهيم، بنابراين خواهيم داشت:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها از طرف ديگر تعادل لنگر لازم مي دارد كه: فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها بنابراين از جايگزين كردن دررابطه مربوط به خواهيم داشت : ( الف ) حال معادله ديگري كه نماينده شرط تعادل عضو افقي است، به دست خواهد آمد. با به كار بردن رابطه شيب - افت براي عضو افقي خواهيم داشت: اما با توجه به وضعيت تغييرشكل داريم : ؛ بنابراين . شرط سازگاري در گره لازم مي دارد كه حاصل از رابطه با شيب در حاصل از معادله برابر باشد:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها از آنجا داريم: ( ب ) معادلات ( الف ) و ( ب ) شرايط تعادل قاب هستند. معمولاً يك قاب داراي عضو ، معادله از هر يك از اين دو نوع معادله لازم دارد. اگر چه در مورد فعلي چون اعضاء قائم يكسان هستند، دو معادله كفايت مي كند . براي تعيين شرط پايداري، دترمينان معادلات ( الف ) و ( ب ) را برابر صفر قرار مي دهيم:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها بار بحراني كوچك ترين ريشه اين معادله است. براي مثال اگر فرض كنيم: و ، دراين صورت خواهيم داشت: پس مقدار مذكور، بار بحراني قاب پرتالي است كه تكيه گاه هاي تحتاني آن گيردار و حركت جانبي گره هاي فوقاني آن آزاد است. توجه شود كه اين بار بحراني همان طور كه قبلاً گفته شد، در محدوده قرار دارد . بررسي يك قاب پرتال ساده ( بدون حركت جانبي ) را نيز مي توان به طريقه ذكر شده در بالا انجام داده و بار بحراني را محاسبه كرد.

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها آنچه كه مشهود است، استفاده از روش تعادل خنثي براي يافتن بار بحراني يك قاب ساده مستلزم محاسبات زياد و طولاني است و كارايي مطلوبي ندارد. اگر قاب مورد نظر، يك قاب پيچيده اي باشد، استفاده از روش تعادل خنثي بسيار مشكل و شايد حتي ناممكن باشد؛ بنابراين بايد به دنبال روش هايي باشيم كه بتواند آن سه شرط مورد نظر ارائه شده در مقدمه اين فصل را برآورده نمايد، یعنی: الف) قابليت استخراج بار بحراني قاب هاي پيچيده را داشته باشند؛ ب) توانايي ارائه يك تحليل كيفي از رفتار پايداري قاب را داشته باشند؛ پ) قابليت پياده سازي در يك برنامه كامپيوتري را داشته باشند.

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها تکلیف سری ششم کامپیوتری: بارهای بحرانی و مدهای کمانش قاب یک دهنه و یک طبقه را در دو حالت با حرکت جانبی و بدون حرکت جانبی در حالات زیر با استفاده از تحلیل خطی سازی کمانش به دست آورده و با جواب های حاصل از روش تحلیلی مقایسه نمایید: سختی تیر= سختی ستون، سختی تیر= بی نهایت، سختی تیر= در حدود صفر.

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها 4- تاثير نيروي محوري بر روي سختي خمشي ( استخراج رابطه شيب - افت اصلاح شده (( Modified Slope - Deflection Relationship ) معادله شيب - افت روش مناسبي براي بيان سختي خمشي يك عضو فراهم مي كند. بر مبناي معادله شيب - افت ، لنگر انتهايي را كه در انتهاي از يك تير ايجاد مي شود، برحسب دوران هاي و و جابجايي در يك انتهاي عضو نسبت به انتهاي ديگر، مشخص مي كند. اين معادله به صورت زير نوشته مي شود: را مي توان به صورت زير نوشت :

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها كه در آن و و ضرايب سختي مي باشند. در تحليل خطي سازه ها، معمولاً از تاثير نيرو هاي محوري روي سختي خمشي اعضاي خمشي صرفنظر مي شود و بر طبق آن ضرايب ثابت و و را تعيين مي كنند. تا موقعي كه نيروي محوري در مقايسه با بار بحراني عضو، كوچك باشد مي توان همچنان از تاثير نيرو هاي محوري روي سختي خمشي اعضاء صرفنظر كرد، ولي وقتي نسبت بار محوري به بار بحراني نسبتاً بزرگ شود، سختي خمشي به علت فشار محوري به طور قابل ملاحظه اي كاهش مي يابد و ديگر نمي توان از اين كاهش در تعيين سختي صرف نظركرد. پس لازم است فرمي از معادله شيب - افت را كه شامل تاثير نيروهاي محوري روي سختي خمشي مي باشد ، به دست آوريم . به بيان ديگر لازم است ضرايب و و در معادله شيب - افت براي يك عضو كه همزمان تحت فشار محوري و خمش قرار مي گيرد محاسبه شوند. ( Stiffness Coefficients )

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها در انجام محاسبات بهتر است كه دوران گره ها و چرخش عضو جداگانه در نظر گرفته شوند. عضو را طبق شكل زير در نظر مي گيريم كه روي آن نيروهاي محوري فشاري عمل مي كنند و انتهاي آنها به اندازه و دوران كرده اند و در نتيجه لنگرهاي و در انتهاي آنها ايجاد شده است. چون انتقال گره ها بعداً به طور جداگانه در نظر گرفته خواهد شد، فرض بر اين است كه دو انتهاي عضو نسبت به يكديگر به طور مورب انتقال نمي يابند. محورهاي مختصات در جهات نشان داده شده انتخاب مي شوند، لنگرها و دوران هاي موجود در دو انتهاي عضو، طبق علامت قرار دادي شيب - افت، در جهت عقربه هاي ساعت مثبت فرض مي شوند.

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها لنگر خارجي در فاصله از نقطه برابر است با: با مساوي قرار دادن اين رابطه با لنگر مقاوم داخلي خواهيم داشت: با فرض معادله ديفرانسيل به صورت زير به دست مي آيد: جواب معادله ديفرانسيل مذكور برابر است با: براي به دست آوردن ضرايب و از شرايط مرزي استفاده مي كنيم:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها بنابراين با جايگذاري ضرايب و ، معادله به صورت زير در مي آيد: نيز به صورت زير به دست مي آيد: با انجام عمليات مثلثاتي مي توان را به صورت زير خلاصه كرد:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها دوران انتهاي - - با قرار دادن به دست مي آيد: اگرصورت و مخرج رابطه مربوط به ، در ضرب شوند و به جاي جايگذاري شود، نتيجه زير حاصل مي شود: كه در آن داريم:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها به طور مشابه دوران در انتهاي عضو مي تواند با قرار دادن در معادله مربوط به به دست آيد: و در نهايت نيز به صورت زير به دست مي آيد: از حل دو معادله مربوط به و ، و به صورت زير به دست مي آيند:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها با فرض و نتايج نهايي زير به دست مي آيند: اكنون بايد براي همين عضو، رابطه بين لنگرهاي انتهايي و جابجايي گره ها نسبت به يكديگر – يعني - را در نظر بگيريم: تغييرشكل نشان داده شده در شكل زير، با جابجا كردن انتهاهاي عضو نسبت به يكديگر به مقدار و با مساوي نگه داشتن دوران هاي انتهايي و با صفر حاصل شده است:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها با مساوي قرار دادن لنگرهاي داخلي و خارجي، در فاصله از ، رابطه زير به دست مي آيد: با فرض معادله ديفرانسيل حاكم به صورت زير به دست مي آيد: جواب معادله ديفرانسيل مذكور به صورت زير به دست مي آيد: ضرايب و را با استفاده از شرايط مرزي به دست مي آوريم:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها با جايگزين كردن نتايج و در معادله مربوط به نتيجه نهايي زير حاصل مي شود: نيز به صورت زير به دست مي آيد: در رابطه را داريم كه منجر به نتيجه زير مي شود: از رابطه مذكور به صورت زير به دست مي آيد:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها كه از آن داريم : از اين جا به صورت زير به دست مي آيد: از تركيب رابطه مربوط به و با رابطه فوق، رابطه نهايي شيب - افت براي عضو تحت اثر خمش و نيروي محوري به صورت زير به دست مي آيد: بديهي است كه اگر باشد، در اين صورت و به دست خواهد آمد .

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها  

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها 5- تعيين بار بحراني قاب ها با استفاده از روابط شيب - افت اصلاح شده مراحل تعيين بار بحراني قاب ها با استفاده از روابط شيب - افت عبارتند از: الف ) تحليل اوليه سازه و تعيين نيروهاي محوري در داخل اعضاء بر حسب بار وارده اسمي، ب ) تعيين لنگرهاي انتهايي اعضاء با استفاده از روابط شيب - افت اصلاح شده، پ ) نوشتن معادلات تعادل لنگر در گره هاي آزاد قاب، ت ) تعيين يك دستگاه معادلات برحسب دوران هاي گره هاي آزاد (و هاي مربوط به هرعضو)، ث ) مساوي صفر قرار دادن دترمينان ضرايب و به دست آوردن بارهاي بحراني و مدهاي كمانش قاب ها.

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها به عنوان مثال بار بحراني قاب دو طبقه زيررا مي خواهيم تعيين نماييم. فرض بر اين است كه از حركت جانبي قاب جلوگيري شده و سختي خمشي براي كليه اعضاء يكسان است. اعضاء قاب را به صورتي كه در شكل زير نشان داده شده است، شماره گذاري مي كنيم:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها با توجه به تقارن قاب، تنها نيمي از آن لازم است كه در تحليل در نظر گرفته شود. با سختي خمشي ، لنگرها بر طبق معادله شيب - افت اصلاح شده به دست مي آيند: چون در اعضاي افقي نيروي محوری مهمي وجود ندارد، لذا داریم: همچنين به علت تقارن داريم:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها بنابراین نتایج زیر حاصل می شوند: توجه شود که αn1 و αn3 و αf3 با در نظر گرفتن اثر نیروی محوری P در عضو 3 و نیروی محوری P2 در عضو 1 محاسبه می شوند. در این مرحله معادلات تعادل لنگر را در گره های آزاد B و C می نویسیم:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها از جایگذاری لنگرهای بدست آمده در معادلات مذکور دو معادله اصلی زیر بدست می آیند: برای بدست آوردن شرط پایداری، دترمینان ضرایب این معادلات را برابر صفر قرار می دهیم و از آنجا بار بحرانی قاب را بدست می آوریم:

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها تکلیف سری هفتم کامپیوتری: بارهای بحرانی و مدهای کمانش قاب یک دهنه و دو طبقه روبرو را در حالت بدون حرکت جانبی با استفاده از روابط شیب-افت اصلاح شده و نیز با استفاده از تحلیل خطی سازی کمانش به دست آورده و جواب های حاصل را با همدیگر مقایسه نمایید.

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها 6- تحلیل بار بحرانی قاب ها با استفاده از روش تحلیل ماتریسی سازه ها در روش معمول تحلیل ماتریسی سازه ها در هنگام تعیین ماتریس سختی عضو از اثر نیروی محوری در رفتار خمش عضو صرف نظر کردیم. ولی در بررسی پایداری سازه های قاب بندی شده، نیروی محوری بر توزیع لنگر خمشی و از آنجا بر مولفه های مربوط به خمش و برش در ماتریس سختی عضو اثر داده می شود. عضو نشان داده شده در شکل زیر را در نظر می گیریم:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها نیروی فشاری موجود در این عضو را با نیروی P نشان می دهیم. لازم است که در بررسی شرایط ماتریس سختی عضو، P را مانند L ، I ، E به صورت یک پارامتر معلوم در نظر بگیریم. ابتدا معادله دیفرانسیل تعادل عضو را می نویسیم که به صورت زیر می باشد: با انتگرال گیری از این معادله و با اعمال شرایط مرزی انتهایی مناسب: و با داشتن معادلات تعادل زیر :

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها در نهایت معادلات شیب-افت اصلاح شده را به صورت زیر به دست می آوریم: که در آن توابع ‌ ф2 و ф3 و ф4 به صورت زیر تعریف می شوند:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قابها که در آنها Cو S به صورت زیر می باشند: اگر مقادیر بدست آمده برای m1 و m2 را در معادله تعادل لنگر جایگذاری کنیم روابط مربوط به نیروی برشی به دست می آیند: که در آنها داریم:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قابها     یک بررسی مقایسه ای                

فصل چهارم : تحلیل پایداری قابها        

فصل چهارم : تحلیل پایداری قابها لازم به ذکر است که تمامی توابع به ازای P =0 برابر واحد هستند و در شکل زیر نشان داده شده اند:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قابها برای تکمیل معادلات بار - تغییرمکان لازم است که بارهای انتهایی Px1و Px2 بر حسب تغییر مکان های انتهایی بیان شوند. لذا داریم: لازم به ذکر است که در تحلیل مذکور فرض های زیر را عملا در نظر گرفته ایم: 1- تغییر شکل ها کوچک هستند. 2- تغییر شکل ها در محدوده ارتجاعی هستند.

فصل چهارم : تحلیل پایداری قابها اگر فرض کنیم که: در این صورت خواهیم داشت: k11 وk12 وk21 وk22 به صورت زیر می باشند:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها x y z اکنون می توان ماتریس سختی یک عضو قاب فضایی را بدست آورد. مختصات محلی را به صورت زیر در نظر می گیریم:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها ابتدا ماتریس سختی در صفحه xy را بدست می آوریم. به دیگر فرض می کنیم که تغییر مکان ها در صفحه xy انجام می گیرند. روابط زیر را در صفحه xy خواهیم داشت: که در آنها CZ و SZ به صورت زیر تعریف می شوند:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها نیز به صورت زیر تعریف می شود:αZ بنابراین ماتریس های سختی در صفحه xy به صورت زیر می باشند:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها اکنون ماتریس سختی در صفحه xz را بدست می آوریم. به عبارت دیگر فرض می کنیم که تغییر مکان ها در صفحه xz انجام می گیرند. روابط زیر را در صفحه xz خواهیم داشت:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها که در آنها Cy و Sy به صورت زیر تعریف شده اند: و αy نیز به صورت زیر تعریف می شود: اکنون با ملحوظ داشتن پیچش حول محور x (θx ) ماتریس سختی برای صفحه xz را به صورت زیر بدست می آوریم:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها با ترکیب ماتریس های سختی به دست آمده برای صفحه xy وxz می توانیم ماتریس سختی پایداری عضو یک قاب فضایی در مختصات محلی را به صورت زیر بدست آوریم:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها اکنون که ماتریس سختی اصلاح شده عضو قاب فضایی در مختصات محلی مشخص شد، می توان ماتریس های سختی اصلاح شده اعضا در مختصات کلی و ماتریس سختی کل سازه را تشکیل داد. بعد از تشکیل ماتریس سختی کل سازه و اعمال شرایط مرزی با فرض P=0 در کلیه اعضا قاب، یک آنالیز استاتیکی به ازاء یک تراز معین بار 1P λ را باید انجام داد و نیروهای محوری اعضا را محاسبه کرد. سپس به ازای بارهای محوری فشاری موجود در اعضا، ماتریس سختی اصلاح شده سازه را باید تشکیل داد و سپس با این ماتریس سختی مجددا سازه را آنالیز کرد و نیروهای محوری جدیدی را بدست آورد. در صورتی که نیروهای محوری محاسبه شده در این تکرار با نیروهای محوری محاسبه شده در ابتدای تحلیل متفاوت باشند در این صورت با نیروهای محوری بدست آمده در تکرار اول مجددا ماتریس سختی اصلاح شده دیگری را باید تشکیل داد و با آن سازه را تحلیل نمود و تا زمان نیل به همگرایی باید تکرارها را ادامه داد.

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها بنابراین تحلیل هنگامی صحیح است که فشارهای محوری حاصل از تحلیل، در داخل یک رواداری از پیش تعیین شده، نزدیک به آن فشارهای محوری باشند که با استفاده از آنها، ماتریس سختی اصلاح شده، که در آنالیز مورد استفاده قرار گرفته، ایجاد شده است (لازم به ذکر است که معمولا در سه تکرار، همگرایی حاصل می شود). اکنون می توان دترمینان ماتریس سختی اصلاح شده کل سازه را بدست آورد. در صورتی که صفر نباشد عملیات ذکر شده در بالا را به ازای 2P λ انجام می دهیم و آنقدر این عملیات را تکرار می کنیم تا اینکه به ازایnP λ دترمینان ماتریس سختی صفر شود. بنابراین بار بحرانی قاب λnP می باشد. لازم به ذکر است که می توان با مساله مذکور به عنوان یک مساله ویژه مقدار برخورد کرد. در این صورت کوچک ترین ویژه مقدار حاصل از حل ویژه مساله مورد نظر می تواند بیانگر ضریب بار بحرانی باشد.

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها فلوچارت تعیین بار بحرانی قاب ها Start فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها فلوچارت تعیین بار بحرانی قاب ها P i i=i+1 ماتریس سختی سازه در تراز iام با درنظر گرفتن نیروی محوری اعضاء (i P) محاسبه می شود. K i i+1P = K i ∆ → ∆ = λ با استفاده از ∆ نیروی محوری اعضاء (i+1 P) را بدست می آوریم. ماتریس سختی سازه در تراز (i+1)ام با درنظر گرفتن نیروی محوری اعضاء (i+1 P) محاسبه می شود. K i+1 i+1P = K i+1 ∆ → ∆ = λ با استفاده از ∆ نیروی محوری جدید اعضاء (i+1 P′) را بدست می آوریم. NO NO YES (i+1 P′) = (i+1 P) δ> |(i+1 P) -(i+1 P′)| = 0 |K i+1 | YES i+1P = P cr λ

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها 7- تحلیل خطی سازی شده کمانش Linearized Buckling Analysis)) یکی از روش های یافتن بار بحرانی سازه ها به طور عام - و قاب ها به طور خاص- استفاده از روش تحلیل خطی کمانش یا تحلیل خطی سازی شده کمانش یا تحلیل ویژه مقدار کمانش می باشد. ماتریس های سختی در زمان ها (یا ترازهای بار) t-∆t و t را در نظر می گیریم که بردارهای متناظر بارهای خارجی آنها می باشند. تراز بار می تواند بار صفر یا بار مرده و ماتریس سختی می تواند ماتریس سختی بافتار تغییر شکل نیافته یا ماتریس سختی بافتار تغییر شکل یافته متناظر با بار مرده باشد. در تحلیل خطی سازی شده کمانش فرض می کنیم که در هر زمان τ یا تراز بار ماتریس سختی عبارت است از:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها و بردار بار متناظر آن عبارت است از: و λ فاکتور مقیاسی است. در بار خرابی یا کمانش، ماتریس سختی مماسی تکین است و بنابراین داریم: که می توان آن را به صورت معادل زیر نوشت: که در آن ф یک بردار غیر صفر است.

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها از جایگذاری در معادله بالا خواهیم داشت: که یک ویژه مساله تعمیم یافته است. ویژه مقادیر i λ و i=1,2,…..n بارهای کمانش را بدست می دهد و i ф نمایشگر مدهای کمانش متناظر می باشند. فرض می کنیم که ماتریس های هر دو معین مثبت می باشند. ولی باید یادآوری شود که در حالت کلی نامعین است. بنابراین ویژه مساله مورد نظر می تواند دارای ویژه مقادیر مثبت و منفی باشد. اما مشخص است که ما به دنبال کوچکترین ویژه مقدار مثبت می باشیم. بنابراین معادله بالا را می توان به صورت زیر هم بازنویسی کرد:

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها ویژه مقادیر γi همگی مثبت هستند. ما به دنبال کوچک ترین ویژه مقادیر γ1 می باشیم. با داشتن γ1 و بدست آوردن λ1، بار کمانش (یا خرابی) به صورت زیر به دست می آید: چند نکته مهم در مورد تحلیل خطی سازی شده کمانش عبارتند از: الف) رابطه بیانگر این است که تحلیل خطی سازی شده کمانش می تواند حتی در هنگام وجود غیر خطی های هندسی و مصالح نیز انجام گیرد.

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها ب) رابطه بیانگر این است که عناصر ماتریس سختی از زمان t-∆t به بعد به صورت خطی تغییر می کنند و شیب تغییر از طریق اختلاف از زمان t-∆t تا زمان t تعیین می شود. پ) تحلیل خطی سازی شده کمانش تخمین معقولی از بار خرابی سازه است اگر تغییر مکان های پیش از خرابی نسبتا کوچک باشند و هر گونه تغییر در خواص مصالح به طور قابل ملاحظه ای فرض خطی بودن را نقض نکند. ت) اگر تغییر مکان های پیش از خرابی بزرگ باشند، در این صورت تحلیل خطی سازی شده کمانش بار خرابی را بیش از اندازه واقعی تخمین خواهد زد، مگر این که حالت بارگذاری متناظر با t∆ به اندازه کافی به بار خرابی نزدیک باشد.

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها ث) حتی اگر بار کمانش خطی سازی شده را نتوان به عنوان تخمینی از بار بحرانی واقعی سازه مورد استفاده قرار داد، ولی می توان از مدهای کمانش به عنوان یک ناکاملی در مدل سازه ای استفاده کرد. ج) از رابطه می توان برای قاب ها با در نظر داشتن روش تحلیل ماتریسی سازه ها استفاده نمود.

فصل چهارم : تحليل پايداري قاب ها تکلیف سری هشتم کامپیوتری: یک قوس فولادی به دهانه 5 متر و ارتفاع 1 متر را با مقطع دایروی توپر در نظر گرفته و بار های بحرانی آن را در دو حالت بارگذاری متمرکز و بارگذاری گسترده با استفاده از: الف) تحلیل خطی سازی شده کمانش ب) تحلیل عناصر محدود غیرخطی هندسی و مصالح به دست آورده و باهم مقایسه نمایید. (تنش تسلیم فولاد را 3600 کیلوگرم بر سانتیمتر مربع در نظر بگیرید).

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها 8- تحلیل الاستیک مرتبه دوم Second Order Elastic Analysis)) تحلیل ارائه شده در بخش تعیین بار بحرانی قاب ها با استفاده از روش تحلیل ماتریسی سازه ها ( با به کار گیری روابط شیب- افت اصلاح شده) در واقع یک تحلیل الاستیک از مرتبه دوم یا اصطلاحا یک تحلیل P-Δ می باشد.

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها ویژگی های تحلیل الاستیک از مرتبه دوم عبارتند از: الف) فرض می شود که تغییر شکل ها کوچک هستند. ب) از اثر تغییر شکل های برشی صرف نظر می شود. پ) ماتریس های سختی در کلیه ترازهای بار در بافتار تغییر شکل نیافته تشکیل می شوند (چون در هر تراز بار، ماتریس سختی سازه تغییر می کند، بنابر این تحلیل از این نظر، غیرخطی است) . (ت) تغییر شکل ها در محدوده الاستیک هستند. بنابراین فرض بر این است که پلاستیسیته رخ نمی دهد. ث) اثر نیروهای محوری اعضا در سختی خمشی آنها در نظر گرفته می شود. ج) این تحلیل، مشخصه بار - تغییر مکان قاب را تا رسیدن به بار بحرانی به دست می دهد که شامل غیر خطی های هندسی نیز می باشد. چ) این تحلیل غیرخطی شامل n گام نموی است که هر گام نیز خود شامل چند تکرار می باشد (Step-by-Step Incremental Iterative Nonlinear Analysis).

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها لازم به ذکر است که اگر قبل از رسیدن به بار بحرانی پلاستیسیته اتفاق بیفتد در این صورت تحلیل الاستیک مرتبه دوم تخمین واقع بینانه ای از رفتار واقعی سازه را به دست نمی دهد. لذا در این حالت باید یک تحلیل الاستوپلاستیک مرتبه دوم انجام داد که رفتار بسیار نزدیکی به رفتار واقعی سازه را به دست خواهد داد. تحلیل الاستوپلاستیک مرتبه دوم دارای همان ویژگی های تحلیل الاستیک مرتبه دوم است، به جز اینکه تغییر شکل ها دیگر صرفا در محدوده الاستیک نیستند. لذا وقوع پلاستیسیته نیز باید در نظر گرفته شود. بنابراین در ماتریس سختی عضو علاوه بر اعمال ضرایب ф1 وф2 و ф3و ф4 که بیانگر اثر نیروی محوری در سختی خمشی عضو می باشد، باید اثر وقوع پلاستیسیته نیز به نحو مناسبی باید اعمال شود.

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها برای نیل به رفتار واقعی سازه قابی باید یک تحلیل غیر خطی مصالح و تغییر شکل های بزرگ انجام داد. به عبارت دیگر باید در تحلیل، غیر خطی های مصالح و هندسی تواما باید در نظر گرفته شوند (البته با انجام یک تحلیل عناصر محدود غیرخطی هندسی و مصالح). نمودار های ارائه شده در اسلاید های بعدی، به طور شماتیک نتایج تحلیل الاستیک مرتبه اول (همان تحلیل خطی معمول)، تحلیل الاستیک مرتبه دوم، تحلیل الاستوپلاستیک مرتبه دوم، رفتار واقعی و مقایسه آنها را با همدیگر نشان می دهد.

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها

فصل چهارم : تحلیل پایداری قاب ها