Математичка логика Основни појмови, дефиниција исказа, основне логичке операције над исказима

Математичка логика је подобласт математике и логике Математичка логика је подобласт математике и логике. Састоји се од математичког проучавања логике и премена овог проучавања на друге области математике. Математичка логика има блиске везе са рачунарством и филозофском логиком. Међу основним темама које се провлаче кроз математичку логику су изражајна моћ формалних логика и дедуктивна моћ доказивачких система.

Математичка логика је почела да се одваја као засебно поље средином 19 Математичка логика је почела да се одваја као засебно поље средином 19. века. До тада, логика је проучавана са реториком, кроз силогизме, и са филозофијом. Софистициране логичке теорије су развијане у многим културама; на западу су најпознатије Аристотелова теорија силогизама и Еуклидове аксиоме планарне геометрије. У 18. веку су начињени покушаји да се операције формалне логике третирају на симболички или алгебарски начин. Овиме су се бавили математичари попут Лајбница и Ламберта, али је њихов труд остао изолован и мало познат.

Средином 19. века Бул а затим и Де Морган су представили систематску математичку обраду логике. Њихов рад, заснован на алгебарском раду математичара попут Џорџа Пикока енгл. George Peacock, је реформисао и проширио традиционалну аристотеловску доктрину логике и развио одговарајуће инструменте за проучавање основних појмова математике . Развој формалне логике, заједно са забринутошћу да математика није изграђена на одговарајућим основама је довео до развоја аксиоматских система за фундаменталне области математике као што су аритметика, анализа и геометрија.

Џорџ Бул (енгл. George Boole, 2. новембар 1815. - 8. децембар 1864 Булово најважније дело било је „Истраживање закона мисли на коме се заснива математичка теорија логике и вероватноће“, објављено 1854. Бул је пришао логици на нов начин, сажимајући је у просту алгебру, претварајући логику у математику. То је алгебарска структура која сажима основу операција И (AND), ИЛИ (OR), НЕ (NOT), као и скуповних операција као што су унија, пресек и комплемент.

И коло ће показати ТАЧАН резултат (бинарно 1), само ако су сви улази 1 И коло ће показати ТАЧАН резултат (бинарно 1), само ако су сви улази 1. ИЛИ коло ће показати ТАЧАН резултат ако му је један од улаза 1. НЕТАЧАН резултат ће показати само ако су оба улаза 0. НЕ коло има само један улаз, и сигнал на излазу је супротан од сигнала на улазу. НИ коло може бити комбиновано са И, што даје НИ (NAND), и са ИЛИ, што даје НИЛИ (NOR). Ова кола имају исти процес улаза сигнала, али на крају излази супротан сигнал. Створио је алгебру логике која је названа Булова алгебра, и која налази примену у конструкцији рачунарa, укључујући струјна кола и тд. Нажалост, није живео дуго, умире у 49-ој години живота, 8. децембра 1864. од прехладе, коју је добио тако што је пешачио две миље по киши, како би стигао на предавање, и предавао је у мокрој одећи.

OСНОВНИ ПОЈМОВИ Константе су величине чија се вредност не мења. Нпр. 4, -7, , ... Променљиве су величине чија се вредност мења. Симболички се обележавају словима. Нпр. a, b, c,...,x, y, z,...,A, B, C,...  Најпростији математички изрази (терми) су константе и променљиве.

Сложеније математичке изразе добијамо када константе и променљиве повежемо симболима за рачунске операције као што су +, ·, :, -, при чему је дозвољена и употреба заграда. Скица помоћу које можемо да прикажемо поступно образовање математичког израза, зове се дрво. Математичка формула се добија повезивањем два математичка израза неким релацијским симболом, као што је, нпр.: =, <, >, ≠, ┴, ║, итд. Вредност математичког израза је константа која се добија када се у њему сви симболи променљивих замене одговарајућим вредностима, па се одређеним редом изврше операције назначене у том изразу.

ПРИМЕРИ 1. У следећим примерима одредити оне који представљају математичке изразе: а) б) ц) д) е) ф) Решење: Математички изрази су а), ц), ф).

2. Да ли су математичке формуле следећи сложени симболи: а) б) ц) д) е) ф) Решење: Математичке формуле су а), б), д).

ИСКАЗИ, ОПЕРАЦИЈЕ СА ИСКАЗИМА Исказ је свака реченица или формула која може да има једну и само једну истинитосну вредност – или је тачна, или нетачна (истинита или неистинита).  У математици су искази разне дефиниције, аксиоме, теореме, као и разне релације. Исказ је прост ако изражава само једну мисао. У језику је то проста или простопроширена реченица. Исказ састављен од два или више простих исказа је сложен исказ.

Упроштено говорећи, исказни рачун је рад са логичким исказима који се формирају као и обични алгебарски изрази, користећи операције и променљиве. Исказни рачун се формално дефинише као алгебарска структура са следећим својствима: Α је коначан скуп логичких променљивих, које се најчешће представљају малим латиничним штампаним словима p,q,r,.... Ω је коначан скуп логичких операција, који представља унију дисјунктних подскупова , где n-ти подскуп представља подскуп n-арних операција. Тако, Ω1 представља скуп унарних операција, Ω2 бинарних, итд. Уобичајени симболи логичких операција из одговарајућих подскупова су следећи:

Интересантно је приметити да се логичке константе дефинишу као нуларне операције. Исказне формуле се формирају од елемената скупа Α користећи операције скупа Ω на основу следећих правила: Елементи скупа Α су логички искази. За сваку операцију из скупа Ω, резултат те операције је логички исказ, ако су и операнди логички искази. логички искази се не могу формирати ни на један други начин осим помоћу правила 1. и 2.

Одговарајућа истинитосна таблица је Основне логичке операције су: коњукција, дисјункција, импликација, еквиваленција, које су бинарне, и једна унарна логичка операција - негација . Коњукција два исказа p и q је сложен исказ („p и q“) који је тачан онда и само онда ако су тачна оба исказа. Одговарајућа истинитосна таблица је ┬

Одговарајућа истинитосна таблица је Дисјункција два исказа p и q је сложен исказ („p или q“) који је тачан онда и само онда ако је тачан бар један од датих исказа. Одговарајућа истинитосна таблица је ┬

Одговарајућа истинитосна таблица је Импликација два исказа p и q је сложен исказ („ p имплицира q “) који није тачан једино ако је први исказ тачан, а други нетачан.   Одговарајућа истинитосна таблица је   ┬

Одговарајућа истинитосна таблица је Еквиваленција два исказа p и q је сложен исказ („p еквивалентно q“) који је тачан онда и само онда када су оба исказа истовремено оба тачна или оба нетачна. Одговарајућа истинитосна таблица је ┬

Одговарајућа истинитосна таблица је Негација је унарна операција. Негација исказа p је нови исказ („не p “) који је тачан када је исказ p нетачан, и који је нетачан када је исказ p тачан. Одговарајућа истинитосна таблица је ┬

ПРИМЕРИ 1. У датим примерима одредити које реченице представљају исказе: а) Сваки троугао је правоугли. б) Крушка је најукусније воће. ц) Збир унутрашњих углова у троуглу износи 180 степени. д) е) Број 5 је већи од броја 9. ф) Одузети бројеве 12 и 7. г) Хладно је. х) Здраво!   Решење: Искази су реченице а), ц), е), г).

2. Одредити истинитосну вредност следећих исказа: а) Ако је број негативан, онда је он мањи од 0. б) Ако квадрат нема једнаке дијагонале, онда он нема праве углове. ц) Збир углова у четвороуглу није 360 степени. д) е)

Решење: а), б), су тачни искази. ц), д), е), су нетачни искази. НАПОМЕНА! Истинитосна вредност исказа p, у ознаци , дефинише се на следећи начин: у зависности од тога да ли је исказ тачан, односно нетачан.