سیگنالها و سیستمها بابک اسماعیل پور

سیگنال سیگنالها می توانند پدیده های فیزیکی گوناگون را توصیف کنند. و می توانند به صورتهای بسیاری نمایش داده شوند. تغییرات ولتاژ منبع و خازن صوت سیگنال الکتریکی سیگنالهای مورد استفاده در ژئوفیزیک ( چگالی ، تخلخل ، مقاومت الکتریکی)

انواع سیگنال سیگنالهای پیوسته در زمان در سیگنالهای پیوسته در زمان متغییر مستقل پیوسته است. و این سیگنالها برای تمام مقادیر پیوسته ای که متغییر مستقل می تواند به خود بگیرد تعریف می شود. برای نمایش سیگنال پیوسته آن را به صورت زیر نشان می دهیم x(n)

نمودار تغییرات سرعت باد در گذر زمان ( سیگنال پیوسته )

انواع سیگنال سیگنالهای گسسته در زمان این سیگنالها تنها در زمانهای گسسته تعریف می شوند مثل شاخص سهام در بازار بورس سهام برای نمایش سیگنال گسسته آن را به صورت زیر نشان می دهیم x[n]

نمودار تغییرات سهام در بازار بورس

انرژی سیگنال انرژی سیگنال شامل انرژی مصرف شده سیگنال در یک بازه زمانی 𝑡1≤𝑡≤𝑡2 می شود انرژی مصرفی در سیگنال با مقادیر پیوسته به صورت زیر محاسبه می گردد. 𝑡1 𝑡2 |𝑥(𝑡) | 2 𝑑𝑡 در صورتیکه انرژی مصرفی در بازه نامحدودی مد نظر باشد انرژی مصرفی به صورت زیر محاسبه خواهد شد. 𝐸= lim 𝑇→∞ −𝑇 𝑇 |𝑥 𝑡 | 2 𝑑𝑡 انرژی مصرفی در سیگنال با مقادیر گسسته به صورت زیر محاسبه می گردد. 𝑛=𝑡1 𝑡2 |𝑥[𝑛 ]| 2 در صورتیکه انرژی مصرفی سیگنال در یک بازه نامحدود مد نظر باشد انرژی مصرفی به صورت زیر محاسبه می گردد 𝐸= lim 𝑇→∞ 𝑛=−𝑇 𝑇 |𝑥[𝑛 ]| 2

توان متوسط در صورتیکه بخواهیم توان متوسط سیگنال پیوسته را در یک بازه زمانی محدود محاسبه کنیم . از رابطه زیر استفاده می کنیم 𝑃= 1 2𝑇 −𝑇 𝑇 |𝑥 𝑡 | 2 𝑑𝑡 در صورتیکه بخواهیم توان متوسط سیگنال گسسته را در یک بازه زمانی محدود محاسبه نماییم از رابطه زیر برای محاسبه آن استفاده می کنیم 𝑃= 1 2𝑁+1 𝑛=−𝑁 𝑁 |𝑥[𝑛] | 2

مثال توان و انرژی کل مصرفی در مقاومت R را محاسبه نمایید. راه حل: 𝑃 𝑡 =𝑣 𝑡 𝑖 𝑡 = 1 𝑅 𝑣(𝑡 ) 2 کل انرژی مصرفی در بازه زمانی (t1,t2) به صورت زیر محاسبه می گردد. 𝐸= 𝑡1 𝑡2 𝑝 𝑡 𝑑𝑡= 𝑡1 𝑡2 1 𝑅 𝑣(𝑡) 2 𝑑𝑡 و توان متوسط عبارتست از 𝑃= 1 𝑡2−𝑡1 𝑡1 𝑡2 𝑝 𝑡 𝑑𝑡= 1 𝑡2−𝑡1 𝑡1 𝑡2 1 𝑅 𝑣(𝑡) 2 𝑑𝑡

سیگنالهایی با انرژی کل محدود دسته بندی سیگنالها سیگنالهایی با انرژی کل محدود 𝐸 ∞ <∞ توان متوسط چنین سیگنالی تقریبا صفر است چون 𝑃 ∞ = lim 𝑇→∞ 𝐸 ∞ 2𝑇 =0

دسته بندی سیگنالها توان متوسط محدود 𝑃 ∞ >0 بنابراین 𝐸 ∞ =∞ بنابراین 𝐸 ∞ =∞ در صورتیکه انرژی متوسط در واحد زمان غیر صفر باشد در نتیجه جمع آن ( یا انتگرال گیری آن ) در بازه بی نهایت نیز بی نهایت خواهد بود

دسته بندی سیگنالها در این دسته هم 𝑃 ∞ , 𝐸 ∞ نامحدود هستند در این دسته هم 𝑃 ∞ , 𝐸 ∞ نامحدود هستند مثال سیگنال X(t)=t نمونه ساده ای از این سیگنال است

تبدیل متغییر مستقل یکی از مفاهیم بنیادی در استفاده از سیگنالها تبدیل سیگنالها می باشد بندیل سیگنالهای فشاری به اهرمهای کنترلی در هواچیما توسط خلبان به سیگنالهای الکترونیکی و مکانیکی هدایت ابزارهای هواپیما از مثالهای کاربردی تبدیل سیگنال به شمار می آید.

جابه جایی سیگنال تفاوت زمان انتشار بین فرستنده و گیرنده از موارد مهم جابه جایی سیگنال به شمار می آید در شل زیر نشان داده شده است که گیرنده سیگنال را با n0 ثانیه تاخیر دریافت خواهد کرد که باعث ایجاد جابه جایی در سیگنال به اندازه n0 می گردد.

وارونگی سیگنال دومین تبدیل مهم وارونگی سیگنال و یا انعکاس سیگنال می باشد یعنی x[-t] انعکاس سیگنال x[t] است.

کشیدگی و فشردگی سیگنال در صورتیکه سیگنال پیوسته x(t) به صورت زیر تغییر کند x(at-b) با توجه به مقدار a سیگنال تبدیل دچار کشیدگی یا فشردگی می شود. اگر |a|<0 باشد سیگنال تبدیل دچار کشیدگی می شود اگر |a|>0 باشد سیگنال تبدیل دچار فشردگی می شود مثال : اگر a=2 باشد سیگنال فشرده اگر a= ½ باشد سیگنال دچار کشیدگی می گردد

مثال اگر سیگنال مقابل را داشته باشیم : سیگنالهای اگر سیگنال مقابل را داشته باشیم : سیگنالهای تبدیل زیر را محاسبه کنید X[-n] X[1-n] X[2n-1] X[n-1]+X[1-n]

سیگنال متناوب یکی از مهمترین سیگنالهایی که با آن سروکار داریم سیگنالهای متناوب هستند برای سیگنال متناوب پیوسته در زمان x(t) یک T مثبت وجود دارد که به ازای آن 𝑥 𝑡 =𝑥(𝑡+𝑇) یعنی اگر این سیگنال به اندازه T در واحد زمان جابه جایی داشته باشد تغییری نخواهد کرد. بنابراین می توانیم بنویسیم 𝑥 𝑡 =𝑥 𝑡+𝑚𝑇 به ازای هر مقدار m تابع یکبار تکرار می شود.

سیگنال زوج و فرد سیگنالی را سیگنال زوج می نامند که با انعکاس خود در مبداء یکی باشد. 𝑥 𝑡 =𝑥 −𝑡 𝑥 𝑛 =𝑥 −𝑛

سیگنال فرد سیگنالی را فرد می نامیم که نسبت به مبداء محور مختصات متقارن باشد یا به عبارتی 𝑥 𝑡 =−𝑥 −𝑡 𝑥 𝑛 =−𝑥 −𝑛

هر سیگنالی را می توان به صورت مجموع دو سیگنال فرد و زوج تجزیه کرد بخش زوج 𝜉 𝑒 {𝑥 𝑡 }= 1 2 𝑥 𝑡 +𝑥 −𝑡 بخش فرد 𝜊 𝑑 𝑥 𝑡 = 1 2 (𝑥 𝑡 −𝑥 −𝑡 )

مثال

سیگنالهای پیوسته در زمان سینوسی و نمایی مختلط و حقیقی سیگنال نمایی مختلط پیوسته در زمان به صورت زیر است 𝑥 𝑡 =𝐶 𝑒 𝑎𝑡 C, a هر دو اعداد مختلط هستند. بسته به مقدار این پارامترها سیگنال نمایی مختلط می تواند مشخصه های متفاوتی داشته باشند. در صورتیکه C, a هر دو اعداد حقیقی باشند در این حالت x(t) را نمایی حقیقی می نمایند.

سیگنالهای متناوب نمایی یک خاصیت مهم سیگنال متناوب بودن این است که داریم 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑒 𝑗𝜔(𝑡+𝑇) 𝑒 𝑗𝜔(𝑡+𝑇) = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 . 𝑒 𝑗𝜔𝑇 در نتیجه باید 𝑒 𝑗𝜔𝑇 =1 باشد اگر ω=0 باشد و x(t)=1 باشد به ازای تمام مقادیر T متناوب است اگر ω≠0 باشد دوره تناوب پایه x(t) یعنی کوچترین مقدار مثبت T برابر رابطه زیر خواهد بود. 𝑇= 2𝜋 |𝜔|

یکی از سیگنالهایی که با نمایی مختلط ارتباط دارد سیگنال سینوسی است 𝑥 𝑡 =𝐴 cos (𝜔𝑡+𝜙 ) 𝜙 و ω به ترتیب رادیان و رادیان بر ثانیه می باشند که 𝜔 را معمولا به صورت 𝜔=2π𝑓 می نویسند که واحد به علاوه سیگنال سینوسی را هم می توان به صورت نمایی نوشت. 𝑥 𝑡 =𝐴 cos 𝜔𝑡+𝜙 = 𝐴 2 𝑒 𝑗𝜙 𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝐴 2 𝑒 −𝑗𝜙 𝑒 −𝑗𝜔𝑡

مثال:

سیگنالهای نمایی مختلط سیگنال نمایی مختلط را می توان به صورت زیر نشان داد : 𝐶 𝑒 𝑎𝑡 𝑎= 𝑟+𝑗𝜔 بنابراین می توان سیگنال را به صورت زیر بسط داد :

توابع ضربه واحد و پله واحد رشته های گسسته ضربه : رشته های گسسته پله :

توابع ضربه واحد و پله واحد تابع پیوسته پله: با توجه به اینکه u(t) در زمان t=0 ناپیوسته است در نتیجه مشتق پذیر نیست. ولی می توانیم معادله را با در نظر گرفتن 𝑢 Δ 𝑡 را به عنوان تقریبی از پله واحد تعبیر کنیم.

مثال انرژی و توان هر یک از سیگنالهای زیر را بیابید . 𝑥 1 𝑡 ={3,2,1, 0 ,1,2,3} 𝑥 2 𝑡 ={−1,−1,−1,−1, 0 ,1,1,1,1} 𝑥1 𝑡−1 +𝑥2 𝑡+2 𝑥1 𝑡 𝑥2[−2−𝑡]

ضربه واحد به نوعی ایده آل سازی به حساب می آوریم ضربه واحد به نوعی ایده آل سازی به حساب می آوریم . هر سیستم فیزیکی به طور طبیعی دارای اینرسی می باشد. پاسخ سیستم از طول و شکل موج زیاد تاثیر نمی گیرد. آنچه در درجه اول اهمیت دارد اثر خالص انتگرال گیری آن یا به عبارت دیگر مساحت آن است. در صورتیکه سیستم پاسخ سریع داشته باشیم طول پالس باید کوتاه باشد تا شکل پالس بر روی آن تاثیری نداشته باشد. بنابراین سیگنال ضربه برای آن مناسب می باشد.

سیستمهای پیوسته و گسسته در زمان پیوسته در زمان گسسته در زمان

مثال:

مثال

مثال

اتصال سیستمها یکی از مفاهیم به کار رفته در این کتاب مفهوم اتصال سیستمهاست بسیاری از سیستمهای واقعی از اتصال چند زیر سیستم تشکیل می شوند. اتصال سری اتصال موازی سیستم 1 سیستم 2 ورودی خروجی سیستم 1 + سیستم 2

اتصال سیستمها اتصال ترکیبی اتصال فیدبک دار:

اتصال فیدبک دار در شکل صفحه قبل سیستم های فیدبک دار نشان داده شده است در اینجا خروجی سیستم یک ورودی سیستم 2 است و خروجی سیستم 2 با ورودی سیستم یک جمع شده و به عنوان بازخورد به سیستم یک داده می شود . تا ورودی سیستم را تامین کند. کاربردهای این سیستم بسیار زیاد است به طور کلی سیستمهایی که از نتایج برای اصلاح ورودی استفاده می کنند را شامل می شود مثل سیستم کنترل سرعت خودرو که بر اساس سرعت میزان ورودی سوخت و هوا را تنظیم می کند و یا در خودرو های اتوماتیک دنده مناسب را انتخاب می کند .

خواص سیستمها برخی از خواص سیستمهای پیوسته و گسسته در زمان را معرفی می کنیم و تعبیر ریاضی آنها با استفاده از زبان سیگنالها وسیستمها ساده تر خواهد بود. سیستمهای حافظه دار و بدون حافظه: در سیستمهای بدون حافظه خروجی در هر زمان به ورودی های همان زمان بستگی دارد. و مستقل از نتایج گذشته می باشد. مثال: 𝑦 𝑛 =2(𝑥 𝑛 − 𝑥 2 𝑛 ) 2 یک سیستم بدون حافظه است.

مثال سیستم بدون حافظه سیستم های عبور جریان از سیستم یک سیستم بدون حافظه خطی می باشد. 𝑖 𝑡 = 𝑣(𝑡) 𝑅 , 𝑣 𝑡 =𝑅𝑖(𝑡)

سیستمهای با حافظه سیستمی حافظه دار است که در آن مکانیسمی برای حفظ یا ذخیره اطلاعات وجود داشته باشد. سیستم های انباره ای و یا جمع کننده انباره ای نمونه ای از این سیستمها هستند. سیستم جمع کننده انباره ای گسسته و یا پیوسته در زمان : سیستمهای تاخیر دهند :

مثال 𝑦 𝑛 = 𝑘=−∞ 𝑛−1 𝑥 𝑘 +𝑥[𝑛 ] 𝑦 𝑛 =𝑦 𝑛−1 +𝑥[𝑛]

وارون پذیری سیستمی وارون پذیر خوانده می شود که به ازای ورودیهای متمایز خروجیهای متمایز بدهد. چنانچه شکل زیر برای حالت گسسته در زمان نشان می دهد ، می توان یک سیستم وارون ساخت که اتصال سری آن با سیستم اصلی خروجی w[n] برابر با ورودی x[n] به دست دهد. شکل الف – سیستم وارون پذیر همانی گسسته شکل ب- سیستم وارون پذیر همانی پیوسته شکل ج – سیستم وارون پذیر انباره معادله ای

کاربرد سیستمهای وارون پذیر رمز نگاری در سیستم های مخابراتی تصیح و کشف خطا در شبکه رمز نگاری اسناد محرمانه

علیت سیستمی علی است که خروجی آن در زمان t تنها به مقادیر گذشته و حال بستگی داشته باشد . سیستمهای علی سیستمهای بدون پیش بینی هم می گویند. مثال : مدار RC یک سیستم علّی است چون ولتاژ دو سر خازن به مقادیر گذشته و فعلی ولتاژ منبع بستگی دارد. حرکت راننده علّی است ماشین حرکت بعدی راننده را چیش بینی نمی کند فرمول های زیر یک سیستم علّی است

مثال سیستم میانگین گیر بازه 2M روزه در بازار سهام یک سیستم غیر علّی است به دلیل اینکه داده ها M روز بعد از نقطه فعلی را هم در رابطه میانگیری شرکت می دهد. 𝑦 𝑛 = 1 2𝑀+1 𝑘=−𝑀 +𝑀 𝑥[𝑛−𝑘]

پایداری سیستم پایدار سیستمی است که در آن ورودیهای کو چک پاسخهای واگرا ایجاد نکند. روش پیدا کردن سیستم پایدار به اینصورت است که ورودیهای کران داری را به سیستم وارد می کنیم در صورتیکه خروجی بی کران تولید کرد سیستم پایدار نیست. ولی اگر نتوانست به ازای یک داده کران دار یک جواب بی کران تولید کند سیستم پایدار است . مثال : 𝑆1:𝑦 𝑡 =𝑡𝑥(𝑡) در صورتیکه x(t)=1 فرض شود ( ورودی کران دار) y(t)=t می شود ( خروجی بی کران) بنابراین پایدار نیست مثال 𝑆2:𝑦 𝑡 = 𝑒 𝑥(𝑡) در صورتیکه x(t) یک مقدار کران دار بگیرد y(t) نیز یک مقدار کران دار خواهد شد بنابرای سیستم پایدار است. x 𝑡 <𝛽 → −𝛽<𝑥 𝑡 <𝛽 → 𝑒 −𝛽 <𝑦 𝑡 < 𝑒 𝛽

تغییر ناپذیری با زمان رفتار سیستم مستقل از زمان می باشد با گذشت زمان تغییر نمی کند مثال : مدار RC مثال 2: 𝑦 𝑡 = sin |𝑥(𝑡)| برای بررسی تغییر ناپذیری با زمان ، نشان می دهیم که خاصیت تغییر ناپذیری به ازای هر ورودی و هر جابه جایی tn صادق است. 𝑥 1 (𝑡) ورودی دلخواه 𝑦 1 (𝑡) خروجی متناظر 𝑦1 𝑡 = sin |𝑥(𝑡)| 𝑥2 𝑡 =𝑥1(𝑡−𝑡0) 𝑦2 𝑡 = sin 𝑥2 𝑡 =sin⁡|𝑥1 𝑡−𝑡0 | 𝑦1 𝑡−𝑡0 =sin⁡|𝑥1 𝑡−𝑡0 |

فصل دوم

جمع کانولوشن ایده اصلی نمایش سیگنالهای گسسته در زمان بر حسب ضربه واحد گسسته در زمان ، تصور سیگنال به صورت مجموع یک رشته ضربه جابه جا شده است. 𝑥 −1 𝛿 𝑛+1 = 𝑥[−1] 𝑛=−1 0 𝑛≠−1 𝑥 0 𝛿 𝑛+1 = 𝑥[0] 𝑛=0 0 𝑛≠0 𝑥 1 𝛿 𝑛+1 = 𝑥[1] 𝑛=1 0 𝑛≠1 بنابراین x[n] را می توان به صورت زیر نوشت: 𝑥 𝑛 = 𝑘=−∞ +∞ 𝑥 𝑘 𝛿[𝑛−𝑘]

𝑥 𝑛 = 𝑘=−∞ +∞ 𝑥 𝑘 𝛿[𝑛−𝑘] این رابطه یک خاصیت غربالی ضربه واحد گسسته در زمان می نامند. 𝛿[𝑛−𝑘] در نقطه n=k غیر صفر هستند و تنها این مقدار را اجازه عبور می دهد.