Informatica industriala Prelucrarea digitala a semnalelor Notiuni introductive, Transforata Fourier si Laplace

Procesarea semnalelor Obiective: extragerea din semnal a unor componente considerate relevante pentru problema studiată (ex.: filtrare), transformarea semnalului pe baza unei anumite reguli (amplificare/atenuare, întârziere, etc.). Domenii: Analiza semnalelor - domeniul care se ocupă de descompunerea semnalelor complexe în semnale elementare Un semnal complex se descrie ca o suma (ponderata) de semnale simple; (ponderea=amplitudinea semnalului simplu) Sinteza semnalelor - generarea unor semnale complexe, cu anumite proprietăţi date, care se obţin prin combinarea unor semnale elementare. Ex: modulatoare, multiplexare, generatoare de semnal, etc.

Semnale Def.: semnal - o mărime fizică purtătoare a unei informaţii Clasificare: Din punct de vedere al predictibilităţii, semnalele pot fi: deterministe, dacă evoluţia lor este previzibilă şi se pot descrie prin funcţii de timp (ex.: x(t) = A sin(ωt+φ)) aleatoare, dacă au o evoluţie imprevizibilă sau mult prea complexă pentru a putea fi exprimată printr-o expresie matematică (ex.: zgomot) Din punct de vedere al evoluţiei în timp semnalele pot fi: continue, dacă sunt descrise prin funcţii continue de timp discrete, dacă au valori definite doar la anumite momente de timp Din punct de vedere al amplitudinii semnalele pot fi : continue, dacă domeniul de variaţie al amplitudinii este un interval continuu cuantizate, dacă amplitudinea poate lua un număr finit de valori

Semnale Semnale analogice - semnalele continue în timp şi ca domeniu de valori Se studiaza in teoria clasica a semnalelor (integrale/derivate continue, transformata Fourier, Laplace, etc.) Semnale digitale – semnale discrete din punct de vedere al evoluţiei în timp şi cuantizate ca domeniu de valori sunt denumite Se studiaza prin teoria semnalelor digitale sau discrete (sume integrale, transformata in Z, etc.) t x(t) x(nT) Continuu Discret Cuantizat timp amplitudine

Sisteme liniare Sisteme descrise prin ecuatii integro-diferentiale liniare y(t) = H(x(t)) pentru un sistem liniar sunt valabile relatiile de mai jos: αy(t) = H(αx(t)) αy1(t)+βy2 (t) = H(αx1 (t)+ βx2 (t)) Exemplu: H(x) = a*d2x/dt2+b*x Sisteme la care este valabil principiul suprapunerii efectelor: Efectul unui semnal complex asupra unui sistem este egal cu suma efectelor produse de semnalele simple ce compun semnalul complex Efectul produs de un sistem liniar asupra unui semnal complex de intrare este egal cu suma efectelor produse asupra componentelor semnalului

Sisteme liniare v.s. neliniare Sisteme reale: Neliniare in ansamblu Linearizabile pe portiuni Cauze de neliniaritate: Efect de saturatie (la valori prea mari) Legea de variatie a sistemului este neliniara prin natura fenomenelor incorporate Transformari de stare (ex: fierbere, rupere, etc.)

Exemple de semnale (in domeniul continuu) Semnal sinusoidal x(t) = A sin(ωt+φ) = A sin (2πf*t + φ) = A sin (2π/T * t + φ) unde: A – amplitudinea semnalului ω – pulsaţia φ – faza iniţială a semnalului f – frecvenţa semnalului T – perioada t – timpul φ A x(t) t

Exemple de semnale Semnal de tip treaptă unitară 0 pentru t < 0 Semnal rampă 0, pentru t <0 x(t) = a*t, pentru t ≥ 0 σ(t) t Vsat tg α = a α

Exemple de semnale 0 pentru t < 0 Semnal de tip impuls aperiodic π(t) = 1 pentru 0 < t < Δt 0 pentru t > Δt t Δt N x(t) = Σ ak π(t-kT) k=0 Δt = T a0 a1 a2 a3 T t

Exemple de semnale Impulsuri periodice 1, pentru t є (kT, kT+ Δt), k = 0, ∞ x(t) = 0, în rest Semnal de tip Dirac 0 pentru t < 0 δ(t) = lim 1/ Δt pentru 0 ≤ t ≤ Δt Δt0 0 pentru t > Δt Un semnal discret se exprimă ca o sumă ponderată de impulsuri Dirac.: N x(t) = Σ ak δ(t-kT) k=0 T t Δt Δt 1/ Δt

Semnale in domeniul discret Semnal discretizat in timp: secventa de valori ale semnalului la momente kT (T- perioada de esantionare a semnalului) Exemple: a. Semnal sinusoidal discret x(kT) = A sin(ω*kT+φ) b. Semnal treaptă unitară în domeniul discret 0, pentru k < 0 σ(kT) = 1, pentru k ≥ 0 c. Impuls Dirac discret 1, pentru k = 0 δ(kT) = 0, pentru k ≠ 0

Analiza semnalelor Aproximarea semnalelor N Un anumit semnal x(t) se poate descompune într-un număr finit sau infinit de funcţii elementare N x(t) = Σ an* fn(t) n=0 unde: an – ponderea funcţiei fn (valoare constantă) fn(t) – set predefinit de funcţii elementare N – numărul maxim de funcţii elementare necesare pentru exprimarea funcţiei x(t)

Set ortogonal de semnale elementare (simple) Relatia de ortogonalitate intre functii (semnale) elementare t0+T C2 dacă m = n ∫ fm(t)*fn(t) dt= t0 0 dacă n ≠ m unde: fm şi fn - două funcţii elementare C – norma (mărimea) funcţiei elementare T – intervalul de ortogonalitate t0 – momentul considerat pentru calcul Un set de funcţii elementare este ortogonal dacă se respectă proprietatea de ortogonalitate pentru oricare două perechi de funcţii

Aproximarea unui semnal x(t) prin functii elementare ortogonale Un set de funcţii elementare este ortogonal dacă se respectă proprietatea de ortogonalitate pentru oricare două perechi de funcţii t0+T t0+T N ∫ x(t)*fm(t) dt = ∫ (Σ an* fn(t))*fm(t) dt = t0 t0 n=0 N t0+T = Σ an ( ∫ fn(t)*fm(t)dt) = am* C2 , de unde rezultă n=0 t0 t0+T am = 1/C2 ∫ x(t)*fm(t) dt t0

Componenta spectrala a unui semnal complex a0, a1,… an – amplitudinile componentelor spectrale ale semnalului a0 a1 a2 a3 a4 n a5

Transformata Fourier discretă Set ortogonal de semnale trigonometrice: 1/√2 , cos(n ωt), sin(n ωt), n = 0 .. N, ω=2π/T Se verifică relaţiile de ortogonalitate: t0+T T/2, pentru n = m ∫ cos (m ωt)*cos (n ωt) dt = t0 0, pentru n ≠ m t0+T ∫ cos (m ωt)*sin (n ωt) dt = 0 t0

Analiza Fourier a unui semnal exprimarea semnalului ca o sumă ponderată de semnale sinusoidale de forma: ∞ ∞ x(t) = C0 + Σ Cn cos(n ωt) + Σ Sn sin(n ωt) n=1 n=1 t0+T Cn = 2/T ∫ x(t)*cos (n ωt) dt t0 Sn = 2/T ∫ x(t)*sin (n ωt) dt C0 =√2/T ∫ x(t) dt

Transformata Fourier discretă a unui semnal periodic x(t), de perioadă T forma trigonometrică a transformatei Fourier discrete ∞ ∞ F(t) = C0 + Σ Cn cos(n ωt) + Σ Sn sin(n ωt) n=1 n=1 F(t)=x(t) x(t) F(t) t x(t) - semnal periodic x(t) – semnal aperiodic

Forma armonică a transformatei Fourier discrete Perechile de termeni Sn sin(n ωt) şi Cn cos (n ωt) se pot exprima printr-o singură funcţie de forma An cos (n ωt + φn) unde: An2 = Cn2 +Sn2 - reprezintă pătratul amplitudinii armonicii de rang n, iar φn = - arctg Sn/Cn - reprezintă defazajul armonicii de rang n unde: cos(ωt + φ1) – este componenta fundamentală de frecvenţă f cos(nωt + φn) – este armonica de rang n şi frecvenţă n*f φn – este faza (unghiul de defazaj) al armonicii n An – amplitudinea armonicii de rang n ∞ F(t) = A0 + Σ An cos(n ωt + φn) n=1

Forma complexă a transformatei Fourier discrete În expresia de mai sus, cos(n ωt + φn) se poate considera ca parte reală a numărului complex e j(n ωt + φn) (de reamintit forma trigonometrică a unui număr complex e j = cos +jsin). Astfel termenul n din sumă devine: An cos(n ωt + φn) = Re [An e j(n ωt + φn)] = Re [Anc e j(n ωt) ] unde: Anc = An * e j(φn) – este amplitudinea complexă a armonicii n ∞ F(t) = A0 + Re Σ Anc e j(n ωt) n=1 +∞ F(t) = 1/2 Σ Anc ej(n ωt) -∞

Exemple de transformate Fourier pentru semnale simple pentru semnal constant: x(t) = A - transformata Fourier are numai componenta constantă C0 = A, Cn=0, Sn=0, pt, n=1.. ∞ pentru semnal sinusoidal: x(t) = A sin (ω0t) transformata Fourier are numai componenta fundamentală de pulsaţie ω0t C0 = 0, Cn=0, S1=A, Sn=0, pt, n=2 .. ∞ ωt ω0t A

Exemple de transformate Fourier pentru semnale simple semnal dreptunghiular: A pentru t [2kT, (2k+1)T) x(t) = -A pentru t [ (2k+1)T, (2k+2)T) +∞ x(t) = 2A/ Σ 1/(2k+1) * sin((2k+1) ωt) k=0 - transformata Fourier conţine un număr infinit de funcţii sinus; amplitudinea sinusurilor scade asimptotic la 0, în raport cu pulsaţia C0 = 0, Cn=0, S2k=0, S2k+1=2A/(2k+1) - O aproximare buna a semnalului dreptunghiular se poate face cu primele 3 componente spectrale Sn S2k+1 =2A/(2k+1) ω 2ω 3ω 4ω 5ω ω

Transformata Fourier pentru semnale aperiodice (de tip impuls) Impuls – semnal aperiodic de durata limitata Exemple de semnale de tip impuls: semnal dreptunghiular singular impuls Dirac singular o semiperioadă a unui semnal sinusoidal Perioada semnalului “T” tinde la infinit Pulsatia ω tinde la 0 => distanta dintre componentele spectrale este infinitezimal de mica In transformata Fourier coeficientii Anc devin o funcţie continuă de variabilă jω Integrala care calculeaza coeficientii=>transformata Fourier continua: Transformata Fourier inversă permite generarea (reconstruirea) unui semnal pe baza distribuţiei sale spectrale ∞ X(jω) = ∫ x(t) * e- jωt dt -∞ ∞ x(t) = 1/2π ∫ X(jω) * e- jωt dω -∞

Proprietatile Transformatei Fourier Teorema întârzierii F(x(t-t0)) = e-jωto X(jω) Teorema derivării F( dx(t)/dt) ) = jω X(jω) Teorema integrării F(∫ x(t)dt) ) = 1/jω * X(jω) Teorema convoluţiei Convoluţia a două funcţii x(t) şi y(t) se defineşte în felul următor: ∞ x(t)○y(t) = ∫ x(δ)*y(t - δ) dδ -∞ Convoluţia se utilizează frecvent pentru evaluarea efectului produs de un sistem liniar asupra unui semnal complex. F [ (∫ x(δ)*y(t - δ) dδ ] = X(jω) *Y(jω)

Transformata Laplace s-a introdus pentru acele funcţii x(t) pentru care transformata Fourier continuă este infinită, adică nedefinită Solutie: La funcţia x(t) se ataşează expresia e-ct (c – constantă) funcţia obţinută, în mod uzual, tinde asimptotic la 0 ceea ce înseamnă că este integrabilă. Cu notatia s= c+jω se obtine Transformata Laplace Daca x(t)=0 pentru t<=0 se poate scrie transformata Laplace unilaterala 1 ∞ ∞ F[ x(t)* e-ct ] = ∫ x(t) e-ct e-jωt dt = ∫ x(t) e(-c-jω)t dt -∞ -∞ ∞ L[ x(t) ] = ∫ x(t) e-st dt = X(s) -∞ ∞ L[ x(t) ] = ∫ x(t) e-st dt = X(s)

Transformata Laplace utilă pentru exprimarea într-o formă relativ simplă a funcţiei de transformare a unui sistem liniar ecuatii integro-diferentiale (din domeniul timp) sunt transformate in cat de polinoame in “s” (in domeniul frecventelor complexe) Transformata Laplace inversa: c+j∞ L-1[ X(s) ] = 1/2j ∫ X(s) est ds c-j∞

Proprietati ale transformatei Laplace Teorema întărzierii: L[x(t-t0)] = e-st0 (X(s) Teorema derivatei L[ dnx(t)/dnt] = snX(s) – sn-1 x(0-) - sn-2 x’(0-) - sn-3 x’’(0-) ... unde: x(0-) – valoarea semnalului înainte de momentul t=0 x’(0-) – valoarea derivatei semnalului înainte de momentul t=0 Dacă se consideră că semnalul x(t) este 0 înainte de momentul t=0 atunci din expresia de mai sus rămâne doar primul termen. În consecinţă efectul de derivare din domeniul timp se traduce prin multiplicarea cu s în domeniul Laplace. Teorema integrării t L[ ∫ x(t) dt ] = 1/s *X(s) Efectul de integrare din domeniul timp se traduce prin divizarea cu s în domeniul Laplace.

Proprietati ale transformatei Laplace Teorema convoluţiei Transformata convoluţiei este egală cu produsul transformatelor celor două funcţii. ∞ L[ ∫ x(τ)*y(t- τ) dt ] = X(s)*Y(s) - ∞ Teorema valorii iniţiale Valoarea la momentul t=0 a semnalului x(t) se poate calcula dacă se cunoaşte expresia transformatei sale Laplace. x(0+) = lim s X(s) s->∞ Teorema valorii finale x(∞) = lim s X(s) s->0

Exemplu de analiză în domeniul Laplace Filtru trece jos - Analiza in domeniul “timp” ui ue I ue = ui – R*i q = ue*C i = dq/dt  ue = ui – RC due/dt - ecuaţia diferenţială a circuitului Pentru un semnal de intrare de tip treaptă soluţia ecuaţiei este de forma: ue(t) = ui0 (1- e-t/RC) , unde ui0 este valoarea constantă a semnalului de intrare funcţia de transfer a circuitului se obţine prin derivarea răspunsului la un semnal de tip treaptă unitară (ui0 = 1). f(t) = d[ue(t)/ui]/dt = (1/RC) e-t/RC Răspunsul circuitului la un semnal de intrare oarecare se obţine prin convoluţia dintre funcţia de transfer a circuitului şi semnalul de intrare. Dacă semnalul de intrare este diferit de zero doar din momentul t=0 atunci integrala de convoluţie se calculează din momentul 0 şi până la momentul t. t ue(t) = (1/RC) ∫ e -/RC *ui(t-) d

Exemplu de analiză în domeniul Laplace Filtru trece jos - Analiza in domeniul Laplace din ecuatia diferentiala a sistemului: ue = ui – RC due/dt - ecuaţia diferenţială a circuitului Prin aplicarea transformatei Laplace asupra ecuaţiei diferenţiale se obţine: Ue(s) = Ui(s) - RC sUe(s)  Ue(s) = Ui(s)/(1+RCs) Dacă semnalul de intrare ui este de tip treaptă unitară atunci transformata Laplace a acestuia este Ui(s) = 1/s. Astfel semnalul de ieşire va avea expresia: Ue(s) = 1/s * 1/(1+RCs) = 1/[s(1+RCs)] În formula de mai sus 1/(1+RCs) reprezintă funcţia de transformare a circuitului, exprimată în domeniul Laplace. Prin aplicarea transformatei Laplace inverse se obţine răspunsul circuitului la un semnal treaptă unitară.