The Space Complexity of Approximating the Frequency Moments

Slides:



Advertisements
Παρόμοιες παρουσιάσεις
Ο Άνθρωπος είναι ένα ον το οποίο φτιάχνει πολιτισμό και έχει βαθύ στοχασμό, συναισθήματα και σεβασμό στη ζωή των άλλων. Ορισμός.
Advertisements

Δηλαδή, οι συναρτήσεις Μ(x,y) και N(x,y) αποτελούνται από εκφράσεις που έχουν τον ίδιο βαθμό ως προς x και y. Παραδείγματα: f(x,y) = 3x 4 -0,5x 2 y 2 +xy.
ΕΡΗΜΟΙ. Οι έρημοι καταλαμβάνουν το ένα τρίτο της εδαφικής επιφάνειας της Γης]. Οι θερμές έρημοι έχουν συνήθως μεγάλο ημερήσιο και περιοδικό εύρος θερμοκρασιών,
Η ΑΚΡΟΠΟΛΗ ΑΘΗΝΩΝ ΜΑΡΙΑ ΠΗΓΗ Δ2’. ΑΚΡΟΠΟΛΗ ΕΡΕΧΘΕΙΟ ΝΑΟΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ ΝΙΚΗΣ ΠΡΟΠΥΛΑΙΑ ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ ΧΑΛΚΟΘΗΚΗ ΝΑΟΣ ΤΟΥ ΔΙΑ.
ΓΙΑ ΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Β’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη της Ευθύγραμμης Ομαλής Κίνησης.
Λογισμός πιθανοτήτων Η μαθηματική τυποποίηση για τη διαχείριση του μέτρου πιθανότητας.
Γενική εισαγωγή στη φυσικοχημεία Dr. Παρθένα Παναγιωτίδου
Οικονομικά Μαθηματικά Πρόσκαιρες Ράντες Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
Κατανομή δειγματοληψίας διαφοράς δύο μέσων δειγμάτων Έστω δύο άπειροι πληθυσμοί, οι οποίοι έχουν – μέσους μ 1 και μ 2 και – Τυπικές αποκλίσεις σ 1 και.
ΜΑΘΗΜΑΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ Ηλεκτρολόγων – Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΗΜηχανολόγων Μηχανικών ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΠολιτικών Μηχανικών Α ΝΩΤΑΤΗ Σ ΧΟΛΗ ΠΑΙ ΔΑΓΩΓΙΚΗΣ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ-3 η εβδομάδα Συνέχεια συναρτήσεων δυο μεταβλητών Ισοσταθμικές καμπύλες-Ασκήσεις.
Στατιστική ανάλυση των πειραματικών μετρήσεων
Κατά τμήματα πολυωνιμικές προσεγγίσεις (Splines)
Διακριτά Μαθηματικά Μαθηματική Λογική.
Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική
Μηχανική των υλικών Δικτυώματα Επιβλέπων: Γ. Αγγελόπουλος, καθηγητής
Άσκηση 3 (4η Άσκηση εργαστηριακού οδηγού)
Δένδρο-σωρός Ένα δένδρο-σωρός ή απλώς σωρός είναι ένα πλήρες δυαδικό δένδρο με διατεταγμένους τους κόμβους του έτσι, ώστε η τιμή του στοιχείου κάθε κόμβου.
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η πιο σημαντική κατανομή στη στατιστική είναι η κανονική κατανομή. Η Κανονική Κατανομή έχει τεράστια σημασία στη Στατιστική, στην Οικονομετρία,
Άσκηση 3.11: Frequency-dependent terminations
Ενότητα 2: Κινητική Κώστας Παπαδημητρίου Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος
Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος
Αναπαράσταση της συνάρτησης ψ=2χ στη γλώσσα της P.A.
Δρ. Αμανατίδου Ελισάβετ
Διαφορική εξίσωση Riccati.
Πως σχεδιάζουμε δυνάμεις
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ
(χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης)
ΑΛΚΗ ΖΕΗ.
Χημική αντίδραση.
ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΕΚΦΟΒΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΒΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
Αρχή συστήματος συντεταγμένων: Το σημείο 0,0,0 (x, y, z)
Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον ΑΕΠΠ
Βασικές Έννοιες Στατιστικής
Σχεσιακό Μοντέλο Βάσεις Δεδομένων Ευαγγελία Πιτουρά.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ
تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي.
طبقه‌بندهای خطی Linear Classifiers حسین منتظری کردی
By Toshimi Taki, Aug.14, ’ ° 23h00m 0h00m
Chương 4 Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
الباب الرابع : الارتباط و الانحدار الخطي البسيط
(χωριζόμενων μεταβλητών, γραμμικές 1ης τάξης)
بسم الله الرحمن الرحیم بسم الله الرحمن الرحیم دوره آموزشی
رگرسيون Regression.
מעבר אור מתווך שקוף לתווך שקוף
الحث الكهرومغناطيسي مؤشرات الأداء
تقدير المتغيرات في دراسات الجدوى
לוגיקה למדעי המחשב1.
Bài giảng tin ứng dụng Gv: Trần Trung Hiếu Bộ môn CNPM – Khoa CNTT
الكيناتيكا الدورانية المفاهيم المستخدمة في الحديث عن مسببات الحركة الدورانية لها علاقة كبيرة بمفاهيم مسببات الحركة الخطية.
وړاندې کوونکى : انجنيرسميع الله ”پتيال ”
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (Κ105)
Παρουσίαση Αριθμητικών Χαρακτηριστικών 1) Διακριτών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
Ядзерныя рэакцыі Ядзерныя рэакцыі Дзяленне ядзер
Θέση σώματος, συμβολίζεται συνήθως με χ: πού βρίσκεται το σώμα σε σχέση με ένα σημείο αναφοράς (αρχή συστήματος αξόνων). Πλήρης περιγραφή της κίνησης προυποθέτει.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
10645/ΓΔ4/ ΥπουργικΗ ΑπΟφαση ΕγγραφεΣ, μετεγγραφεσ, φοΙτηση και θΕματα οργΑνωσηΣ τηΣ σχολικΗΣ.
Κεφάλαιο 5 Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων.
Сфера.
Ασφάλεια προσωπικών δεδομένων
Κεφάλαιο 7 Κατανομές Δειγματοληψίας.
«Το επείγον στην Παιδιατρική»
Σάββατο 8 Ιουνίου 2019 Εθνική Βιβλιοθήκη της Ελλάδος
Υλοποιήσεις λογικών συναρτήσεων
Μεταγράφημα παρουσίασης:

The Space Complexity of Approximating the Frequency Moments Noga Alon Yossi Matias Mario Szegedy

הצגת הבעיה תהי A=(a1,a2,…,am) סדרת מספרים טבעיים, אשר מקיימים ajN={1,2,…,n} לכל 1≤j≤m. נגדיר את mi להיות מספר המופעים של המספר i בסדרה A, כלומר: mi=│{j : aj=i}│. מומנט התדירות מסדר k יוגדר כך: (k≥0)

הצגת הבעיה - המשך מספר האיברים השונים ב-A. אורך הסדרה, m. A=(a1,a2,…,am), ajN={1,2,…,n} לכל 1≤j≤m. mi - מספר המופעים של המספר i בסדרה A, כלומר: mi=│{j : aj=i}│. מומנט השכיחות / תדירות מסדר k יוגדר כך: מהו F0 ? מהו F1 ? מהו F∞ ? מספר האיברים השונים ב-A. אורך הסדרה, m. .F∞ = max {mi : 1≤i≤n{

הצגת הבעיה - המשך Fk ניתן לחישוב דטרמיניסטי עם זיכרון O(nlogm). Fk ניתן לחישוב לא דטרמיניסטי עם זיכרון O(nloglogm). אלגוריתם הסתברותי, אשר ידמה משתנה מקרי Z, שיהיה קירוב למומנט הנדרש. ציפיות: תוחלת Fk. שונות קטנה. Z יהיה רחוק מ- Fk בלא יותר מאשרλ·Fk בהסתברות של לפחות 1-є. מעבר בודד על סדרת המספרים A. אני קובע את λ ואת є

האלגוריתם הבסיסי נבחר בהתפלגות אחידה מספר p מבין {1,…,m}. נסמן ב-b את האיבר בסדרה המתאים לאינדקס p, כלומר: ap= b. נסמן ב-r את מספר המופעים של b החל מהמקום ה-p (כולל), כלומר: r=│{q : q≥p, aq= b │. האלגוריתם ישיב את הערך X=m(rk-(r-1)k). O(logn) לשמירת b כמה מקום נחוץ לנו כדי לחשב את X ? O(logm) לשמירת p, r בסה"כ: O(logn+logm)

תוחלת X נבחר בהתפלגות אחידה מספר p מבין {1,…,m}. נסמן ב-b את האיבר בסדרה המתאים לאינדקס p, כלומר: ap= b. נסמן ב-r את מספר המופעים של b החל מהמקום ה-p (כולל). האלגוריתם ישיב את הערך X=m(rk-(r-1)k).

שונות X נבחר בהתפלגות אחידה מספר p מבין {1,…,m}. נסמן ב-b את האיבר בסדרה המתאים לאינדקס p, כלומר: ap= b. נסמן ב-r את מספר המופעים של b החל מהמקום ה-p (כולל). האלגוריתם ישיב את הערך X=m(rk-(r-1)k).

הצעה לשיפור את האלגוריתם שהוצג נבצע s1 פעמים באופן בלתי-תלוי. נקבל את X1, X2, … , Xs1 שהם s1 משתנים מקריים בלתי תלויים, שווי-התפלגות ונחזיר את Y הממוצע שלהם. E(Y)=E(Xi)=Fk מה תוחלת האלגוריתם החדש? מה שונות האלגוריתם החדש? הוכחה על הלוח!

הצעה לשיפור - ניתוח נבחן את ההסתברות: אי-שוויון Chebyshev: נקבל: בכמה זיכרון השתמשנו?

עוד הצעה לשיפור את האלגוריתם שהוצג (לאחר השיפור) נבצע s2 פעמים באופן בלתי-תלוי. נקבל את Y1, Y2, … , Ys2 שהם s2 משתנים מקריים בלתי תלויים, שווי-התפלגות ונחזיר את Z החציון שלהם. השתמשנו ב- O(s1·s2· (logn+logm)) ביטים בזיכרון. נרצה לאמוד את:

הצעה שנייה לשיפור - ניתוח אי-שוויון Chernoff אם X הוא סכום משתנים מקריים אינדיקטורים בלתי-תלויים ותוחלת X היא μ, אזי לכל 0<β מתקיים: כדי שתשובת האלגוריתם תהיה רחוקה מ- Fk בלא יותר מאשר λ·Fk צריך הדבר להתקיים עבור לפחות ½·s2 מהמשתנים Yi. איך נבחר את s2 ? β=3

כשמחליפים את p מאתחלים את r ל-1 ואם m אינו ידוע מראש... ניתן לממש את האלגוריתם, גם אם m אינו ידוע מראש. m=1 p=1 m=2 p=2 בהסתברות ½ m=3 p=3 בהסתברות 1/3 m p=m בהסתברות 1/m כשמחליפים את p מאתחלים את r ל-1

מה הוכחנו? משפט: לכל 1≤k, 0<λ, 0<є קיים אלגוריתם רנדומי, שבהינתן A=(a1,a2,…,am) סדרת מספרים טבעיים, כך ש- ajN={1,2,…,n} ל- 1≤j≤m מחשב במעבר אחד תוך שימוש ב- סיביות זיכרון, מספר Z, כך שההסתברות ש-Z רחוק מ- Fk בלא יותר מאשר λ·Fk היא לכל היותר є.

חישוב F2 הרעיון – כמו באלגוריתם הקודם: בשימוש נרחב ביישומים סטטיסטיים. הפלט Y הוא החציון של Y1, Y2, … , Ys2, אשר כל אחד מהם הוא ממוצע של s1 משתנים מקריים Xij: 1≤j≤s1 כולם שווי-התפלגות ובלתי-תלויים.

ניתן לחישוב במעבר יחיד על A חישוב F2 - המשך יהי H אוסף של k=O(n2) פונקציות Hash: h : {1,2,…,n}  {+1,-1}. האלגוריתם לחישוב X בחר p מספר טבעי בין 1 ל-k בהתפלגות אחידה. נניח h פונקצית ה-Hash המתאימה למספר הטבעי p: h(i)=єi. נחשב את נחזיר את X=Z2. ניתן לחישוב במעבר יחיד על A O(logm) לשמירת Z כמה מקום נחוץ לנו כדי לחשב את X ? O(logn) לשמירת p בסה"כ: O(logn+logm)

חישוב F2 - ניתוח תוחלת X: שונות X: אי-תלות ברביעיות אי-תלות בזוגות

חישוב F2 – ניתוח הראינו: מאי-שוויון Chebyshev נקבל: נבחר את s1 להיות: קיבלנו: אי-שוויון Chernoff. הראינו: מאי-שוויון Chebyshev נקבל: נבחר את s1 להיות: קיבלנו: אי-שוויון Chernoff. משפט: לכל 0<λ, 0<є קיים אלגוריתם רנדומי, שבהינתן A=(a1,a2,…,am) סדרת מספרים טבעיים, כך ש- ajN={1,2,…,n} ל- 1≤j≤m מחשב במעבר אחד תוך שימוש ב- סיביות זיכרון, מספר Y, כך שההסתברות ש-Y רחוק מ- F2 בלא יותר מאשר λ·F2 היא לכל היותר є.

חישוב F0 תזכורת: F0 הוא מספר האיברים השונים ב-A. כמו מקודם: N={1,2,…,n}, A=(a1,a2,…,am). נסמן ב-d את ה-d המינימלי, כך ש- 2d>n. נתייחס לאיברי N כאל איברי השדה F=GF(2d). ניתן להתייחס אל השדה F=GF(2d) כאל אוסף הפולינומים מדרגה d-1 מעל Z2, עם פעולות חיבור וכפל מודולו 2. באופן שקול - אוסף הוקטורים בגודל d מעל {0,1}.

חישוב F0 - המשך האלגוריתם נבחר a,bєF אקראיים, בהתפלגות אחידה באופן בלתי-תלוי. לכל ai ב-A, נגדיר: zi=a·ai+b. נסמן ב-r(z) את המספר הגדול ביותר r, כך ש-r הביטים הימניים ביותר ב-z הם כולם 0. נסמן: ri=r(zi). יהי R המקסימום של ri (1≤i≤m). החזר את Y=2R.

חישוב F0 - ניתוח תכונות הפונקציה f(x)=ax+b: מיפוי אקראי P[r(zi)≥r]=(½)r אי-תלות בזוגות P[r(zi)≥r and r(zj)≥r]=(½)2r יהי r כלשהו. לכל xєN, אשר מופיע ב-A נגדיר אינדיקטור Wx. Wx=1 אם r(ax+b)≥r, ו-0 אחרת. נסמן: Zr=ΣWx (הסכום הוא על כל ה-x-ים שב-A).

חישוב F0 – המשך הניתוח תוחלת: E(Zr)=F0·(½)r יהי c>3. לכל xєN, אשר מופיע ב-A נגדיר אינדיקטור Wx. Wx=1 אם r(ax+b)≥r, ו-0 אחרת. נסמן: Zr=ΣWx (הסכום הוא על כל ה-x-ים שב-A). תוחלת: E(Zr)=F0·(½)r יהי c>3. יהי r’ ה-r הקטן ביותר המקיים 2r>c·F0. אי-שוויון Markov: יהי X מ"מ אי-שלילי

חישוב F0 – המשך הניתוח יהי r’’ ה-r הגדול ביותר המקיים c·2r<F0. לכל xєN, אשר מופיע ב-A נגדיר אינדיקטור Wx. Wx=1 אם r(ax+b)≥r, ו-0 אחרת. נסמן: Zr=ΣWx (הסכום הוא על כל ה-x-ים שב-A). שונות: Var(Zr)= F0·(½)r·[1- (½)r] < F0·(½)r יהי r’’ ה-r הגדול ביותר המקיים c·2r<F0. Chebyshev

מה הוכחנו? משפט: לכל c>3 קיים אלגוריתם, אשר בהינתן A=(a1,a2,…,am) סדרת מספרים טבעיים, מחשב במעבר אחד מספר Y תוך שימוש ב-O(logn) סיביות זיכרון, כך שההסתברות לכך שהיחס בין Y לבין F0 אינו בין 1/c לבין c היא לכל היותר 3/c.

Є-error Probabilistic Communication Complexity f:{0,1}n×{0,1}n{0,1} y x ……….. ……….. התשובה נכונה בהסתברות 1-є לכל x,y ! f(x,y)=? Cє(f) – תוחלת מספר הביטים המועברים במקרה הרע ביותר, תחת הפרוטוקול הטוב ביותר.

Disjointness function DISn(x,y) : {0,1}n×{0,1}n  {0,1} x,y מייצגים תת-קבוצות Ax, Ay של N={1,2,…,n}. DISn(x,y)=1 אם ורק אם Ax ∩ Ay ≠ . משפט: לכל є<½ - Cє(DISn) ≥ Ω(n) דוגמה: N={1,2,3,4,5,6} x=010100 y=110011 Ax ∩ Ay = {2,4} ∩ {1,2,5,6} ≠  DISn(x,y)=1 1 2 3 4 5 6 Ax Ay

חסם תחתון לחישוב F∞ A=(a1,a2,…,a│x│,…, a│x│+│y│) Ax Ay טענה: נניח קיים אלגוריתם M כנ"ל שמשתמש ב-s סיביות זיכרון. נסמן ב- │y│,│x│ את מספר הכניסות שהן 1 ב- x,y בהתאמה. נגדיר רצף A באורך │y│+│x│ שמכיל את איברי N שמייצגים x ו-y. A=(a1,a2,…,a│x│,…, a│x│+│y│) Ax Ay טענה: כל אלגוריתם רנדומי, אשר בהינתן רצף A של לכל היותר 2n איברים מבין N={1,2,…,n} מחשב במעבר אחד מספר X כך ש- F∞/3)<є P(│X-F∞│≥ עבור є<½ כלשהו, מצריך בהכרח Ω(n) סיביות זיכרון. תודה! x y אני מריץ את האלגוריתם M על x אני ממשיך להריץ את M. אם קיבלתי ערך ≥ 4/3 אני מחזיר 1. קח את מה שיש לי בזיכרון: ................ זיכרון

חסם תחתון לחישוב F∞ - המשך דוגמה ב': N={1,2,3,4,5,6} x=011100 y=100011 A = (2,3,4,1,5,6) F∞=1 דוגמה א': N={1,2,3,4,5,6} x=011100 y=110011 A = (2,3,4,1,2,5,6) F∞=2 F∞ יכול להיות רק 1 או 2. בהסתברות של 1-є התשובה נכונה. P(│X-F∞│< F∞/3)≥1-є למעשה: Ω(n+lglgm)

חישוב דטרמיניסטי – חסם תחתון משפט: לכל k≠1 אי-שלילי, כל אלגוריתם דטרמיניסטי שבהינתן רצף A של ½n איברים מתוך N={1,2,…,n} מחשב במעבר אחד מספר X, כך ש-X רחוק מ- Fk בלא יותר מאשר 0.1·Fk עושה שימוש בלפחות Ω(n) סיביות זיכרון. נגדיר G – אוסף של t=2Ω(n) תתי-קבוצות של N. כל קבוצה מעוצמה ¼n. לכל שתי קבוצות יש לכל היותר ⅛·n איברים משותפים. קיימת G כזאת?

חישוב דטרמיניסטי - המשך נגדיר G – אוסף של t=2Ω(n) תתי-קבוצות של N. כל קבוצה מעוצמה ¼n. לכל שתי קבוצות יש לכל היותר ⅛·n איברים משותפים. נניח בשלילה קיום אלגוריתם שמחזיר X כך ש- │X-Fk│≤ 0.1·Fk. עבור g1,g2єG, נסמן ב- A(g1,g2) את הרצף של ½n האיברים אשר ב-g1 וב-g2. לאחר ריצת האלגוריתם על ¼n האיברים הראשונים של A(g1,g2) מצב הזיכרון תלוי אך ורק ב-g1. אם בזיכרון יש פחות מ- lgt ביטים, אז קיים g2 שמצב הזיכרון לאחר מעבר עליו זהה למצב הזיכרון לאחר מעבר על g1. האלגוריתם נותן אותו פלט עבור A(g1,g1) , A(g2,g1) .

חישוב דטרמיניסטי - המשך נגדיר G – אוסף של t=2Ω(n) תתי-קבוצות של N. כל קבוצה מעוצמה ¼n. לכל שתי קבוצות יש לכל היותר ⅛·n איברים משותפים. │X-Fk│≤ 0.1·Fk האלגוריתם נותן אותו פלט עבור A(g1,g1) , A(g2,g1) . מדוע זו סתירה? לכן המקום שהאלגוריתם משתמש בו הוא לפחות lgt=Ω(n). A(g2,g1) F0 Fk A(g1,g1) F0 Fk ≥ ⅜·n ≤ ¼n + 2k ·⅛·n = ¼n = 2k ·¼n

חסם תחתון לחישוב Fk עבור s,t טבעיים נגדיר משחק DIS(s,t) עם s שחקנים: A1 A2 A3 A4 A5 ................................................ As Ai תת-קבוצות בגודל t של N={1,2,…,n} עבור n=(2t-1)·s+1. מטרת המשחק היא להכריע האם: הקבוצות (A1,A2,…,As) זרות בזוגות. הקבוצות (A1,A2,…,As) נחתכות באופן אחיד. כלומר - חולקות איבר משותף x ו- Ai\{x} זרות בזוגות.

חסם תחתון לחישוב Fk - המשך s=n1/k t=Θ(n1-1/k) אני מריץ את A על t האיברים שלי ושולח את מצב הזיכרון לשחקן השני. יהי k>5. נניח A הוא אלגוריתם רנדומי לקירוב Fk לכל סדרה באורך לכל היותר n של איברים מ-{1,2,…,n} עבור n=(2t-1)·s+1, שעושה שימוש ב-M ביטים בזיכרון. נתאר פרוטוקול לפתרון DIS(s,t): אני מריץ את A על t האיברים שלי. אם קיבלתי ערך ≤ 1.1st אני עונה: "הקבוצות זרות בזוגות" אחרת – "הקבוצות נחתכות באופן אחיד". אני מריץ את A על t האיברים שלי ושולח את מצב הזיכרון לשחקן השלישי. A1 A2 A3 A4 A5 ................................................ As זיכרון

חסם תחתון לחישוב Fk - המשך s=n1/k t=Θ(n1-1/k) n=(2t-1)·s+1 אם הקבוצות זרות בזוגות, אז: Fk=s·t. אם הקבוצות נחתכות באופן אחיד, אז: Fk=sk+s·(t-1)=n+s·(t-1)>(3t-2)·s=(1½+o(1))·n. כמה ביטים עברו בפרוטוקול? s·M>(s-1)·M טענה: לכל є<½ ולכל t≥s4, האורך של כל פרוטוקול רנדומי שנכון עד כדי є עבור הבעיה DIS(s,t) הוא לפחות Ω(t/s3). לכן: M≥Ω(t/s4)=Ω(n/s5)=Ω(n1-5/k). k>5

מה "הוכחנו"? משפט: לכל k>5, β<½כל אלגוריתם רנדומי, שבהינתן סדרת מספרים טבעיים A של לכל היותר n איברים מ- N={1,2,…,n} מחשב במעבר אחד מספר Zk, כך ש- משתמש בלפחות Ω(n1-5/k) סיביות זיכרון.

סוף !