ΣΧΗΜΑ 2. 31 Σχηματική παρουσίαση της περιοριστικής συνθήκης του Bohr

Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ψ Για την περιγραφή του ηλεκτρονίου χρησιμοποιείται μια κυματοσυνάρτηση σε αναλογία με την εξίσωση κύματος που χρησιμοποιείται για την περιγραφή ενός μηχανικού ή ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Η κυματοσυνάρτηση αυτή συμβολίζεται με Ψ και είναι μια συνάρτηση της θέσης και του χρόνου Ψ=Ψ(x, y, z, t).

Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ψ Σε αντίθεση, η κυματοσυνάρτηση Ψ, που περιγράφει ένα κυματοσωματίδιο (κύμα ύλης), δεν συσχετίζεται ούτε με κάποιο μέσο διάδοσης, ούτε με κάποιες ιδιότητες του χώρου, οπότε δύσκολα μπορούμε να της αποδώσουμε κάποιο φυσικό νόημα. Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι, τα κύματα της κυματομηχανικής που παριστούν τη γνώση μας για τα ηλεκτρόνια, είναι μαθηματικές νοητικές επινοήσεις και διαδίδονται σε εννοιολογικούς χώρους.

Το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της κυματοσυνάρτησης, Ψ 2 σε κάθε σημείο, μας δίνει την πιθανότητα να βρούμε το ηλεκτρόνιο κοντά σε αυτό το σημείο. Η ποσότητα Ψ 2dV εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε όγκο dV γύρω από το σημείο στο οποίο υπολογίζεται η Ψ 2.

Η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο κάπου, κάποια χρονική στιγμή εκφράζεται μέσω του Ψ 2 και έχει δύο όρια: Το όριο 0 που αντιστοιχεί στη βεβαιότητα της απουσίας και το όριο 1 που αντιστοιχεί στη βεβαιότητα της παρουσίας. Πέραν όμως αυτών των δύο ακραίων καταστάσεων υπάρχουν και οι ενδιάμεσες καταστάσεις που προκύπτουν με υπέρθεση των ακραίων (αρχή της υπέρθεσης). Για παράδειγμα μια πιθανότητα 0,3 δηλώνει ότι υπάρχει 30% πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στο σημείο αυτό στο δεδομένο χρόνο. Ωστόσο, θα πρέπει να επισημάνουμε τη διαφορά μεταξύ πιθανότητας ενός γεγονότος και του γεγονότος αυτού καθεαυτού. Αν για παράδειγμα κάνουμε ένα πείραμα με σκοπό την ανίχνευση ενός ηλεκτρονίου, περιμένουμε είτε να το βρούμε είτε όχι. Δεν υπάρχει νόημα να μιλάμε για το 30% ενός ηλεκτρονίου.

Η κυματική αναπαράσταση ενός κινούμενου σωματιδίου αντιστοιχεί σε ένα πακέτο κυμάτων. Το κυματοπακέτο αυτό είναι ένα κύμα που προκύπτει με επαλληλία (υπέρθεση) δύο ή περισσοτέρων κυμάτων διαφορετικών μηκών κύματος και το οποίο ταξιδεύει με την ίδια ταχύτητα που κινείται το σωματίδιο.

Ένα εντοπισμένο σωματίδιο μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα κυματοπακέτο που σχηματίζεται με επαλληλία ενός μεγάλου αριθμού κυμάτων διαφόρων μηκών κύματος. Επομένως, ένα επακριβώς εντοπισμένο ηλεκτρόνιο έχει απολύτως απροσδιόριστη ορμή. μεγάλο Δp μικρό Δχ

Στενή περιοχή μηκών κύματος σημαίνει ότι το σωματίδιο είναι λιγότερο εντοπισμένο. Συνεπώς, ένα ηλεκτρόνιο με ακριβώς προσδιοριζόμενη ορμή παριστάνεται από ένα μοναδικό κύμα. μεγάλο Δχ μικρό Δp

Ένα στενό κυματοπακέτο επιτρέπει ακριβή προσδιορισμό θέσης, ενώ ένα ευρύ κυματοπακέτο, επιτρέπει ακριβή προσδιορισμό της ορμής.

Τρισδιάστατη απεικόνιση κυματοπακέτου που εκφράζει την κίνηση σωματιδίου κατά μήκος του άξονα χ σε τρεις διαφορετικούς χρόνους. Αυτά είναι κύματα πιθανότητας, καθώς το πλάτος τους συσχετίζεται με την πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στο σημείο αυτό τη δεδομένη χρονική στιγμή. Επίσης, η ταχύτητα του κυματοπακέτου ισούται με την ταχύτητα του σωματιδίου.

Μαθήματα Κβαντομηχανικής από την «ΑΛΙΚΗ ΣΤΗ ΧΩΡΑ ΤΩΝ ΚΒΑΝΤΩΝ» του R. Gilmore

Κυματική εξίσωση Schrödinger

Η Ψ = Ε Ψ Η: ο τελεστής Hamilton (Hamiltonian operator) ο οποίος μας δίνει οδηγίες σχετικά με την εκτέλεση μιας σειράς μαθηματικών πράξεων (π.χ. μερικό διαφορικό) επί της κυματοσυνάρτησης Ψ. Ε: η ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων, η οποία αποτελεί τη μετρήσιμη ιδιότητα του συστήματος. Στην περίπτωση του ατόμου του υδρογόνου η ενέργεια αυτή αποτελεί το άθροισμα της δυναμικής ενέργειας, λόγω των ελκτικών δυνάμεων μεταξύ του πυρήνα και ηλεκτρονίου, και της κινητικής ενέργειας του ηλεκτρονίου.

Η επίλυση της εξίσωσης Schrödinger γίνεται για ορισμένες μόνο (κβαντισμένες) τιμές ενέργειας Ε, που ονομάζονται ιδιοτιμές (eigenvalues). Μια κυματοσυνάρτηση θεωρείται επιτρεπτή και ονομάζεται ιδιοσυνάρτηση (eigenfunctions) μόνο εφόσον οι μαθηματικές πράξεις του τελεστή Η επί της Ψ οδηγούν στο γινόμενο Ε.Ψ Η επίλυση της εξίσωσης Schrödinger για τον προσδιορισμό των ιδιοσυναρτήσεων Ψ, για κάθε τιμή της ενέργειας Ε, δεν είναι εύκολη υπόθεση. Αντί αυτού, επινοούνται διάφορες κυματοσυναρτήσεις οι οποίες ελέγχονται με βάση την εξίσωση Schrödinger. Δηλαδή, προσδιορίζεται η μετρήσιμη ιδιότητα του συστήματος, ενέργεια Ε. Όσο πιο κοντά βρίσκεται η θεωρητικά υπολογιζόμενη τιμή της ενέργειας με τα πειραματικά δεδομένα (π.χ. φασματοσκοπικά δεδομένα), τόσο πιο κοντά βρίσκεται η δοκιμαζόμενη κυματοσυνάρτηση Ψ με τις κυματικές ιδιότητες του ηλεκτρονίου (ιδιοσυνάρτηση).

Η εξίσωση Schrödinger για το άτομο του υδρογόνου V: η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου λόγω των ηλεκτροστατικών έλξεων μεταξύ ηλεκτρονίου και πυρήνα x, y, z: οι συντεταγμένες στο χώρο (καρτεσιανές συντεταγμένες) h: η σταθερά του Planck m: η μάζα του ηλεκτρονίου E: η ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου

ΣΧΗΜΑ 2.37 Σχηματική παρουσίαση κυματικής εξίσωσης σαν μια «μηχανή» η οποία τροφοδοτείται με τη συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας του ηλεκτρονίου και παράγει τις κυματοσυναρτήσεις και τις ενεργειακές στάθμες του συστήματος.

1. προκύπτει από την εμπειρική επιλογή της εξίσωσης του στάσιμου κύματος για την περιγραφή της κίνησης του ηλεκτρονίου. Η ισχύς της εξίσωσης επαληθεύεται από πειραματικά δεδομένα. 2. Είναι μια εξίσωση κύματος στην οποία περιλαμβάνεται η μάζα. Με αυτό τον τρόπο υποστηρίζεται η διττή φύση των ηλεκτρονίων: η κυματική και η σωματιδιακή. 3. Είναι ανεξάρτητη του χρόνου -χροναανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger. H αναφορά μας γίνεται στα δέσμια ηλεκτρόνια (ηλεκτρόνια που ανήκουν σε ορισμένα άτομα) τα οποία βρίσκονται σε στάσιμη κατάσταση ανεξάρτητη του χρόνου. 4. Στην εξίσωση γνωστά μεγέθη είναι η μάζα m και η δυναμική ενέργεια V, ενώ τα άγνωστα είναι η κυματική συνάρτηση Ψ και η ολική ενέργεια Ε. Επειδή όμως η δυναμική ενέργεια V είναι συνάρτηση της θέσης, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση Schrödinger ξεχωριστά σε διάφορες περιοχές του χώρου.

x = r.ημθ.συνφ y = r.ημθ.ημφ z = r.συνθ Η θέση του ηλεκτρονίου καθορίζεται σε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων με κέντρο τον πυρήνα, οπότε η κυματοσυνάρτηση είναι της μορφής Ψ =Ψ(x, y, z) ή σε ένα σύστημα πολικών (ή σφαιρικών) συντεταγμένων, οπότε η κυματοσυνάρτηση έχει τη μορφή Ψ =Ψ(r, θ, φ), όπου r είναι η απόσταση του ηλεκτρονίου από τον πυρήνα, θ η ζενιθιακή γωνία και φ η αζιμουθιακή γωνία. Οι σχέσεις μεταξύ των καρτεσιανών και πολικών συντεταγμένων είναι: x = r.ημθ.συνφ y = r.ημθ.ημφ z = r.συνθ

ΣΧΗΜΑ 2.38 Σχηματική παρουσίαση των πολικών και καρτεσιανών συντεταγμένων ενός σημείου Α.

Max Born (1882-1970) Πρώτος ο Max Born αντιλήφθηκε μια στατιστικού χαρακτήρα σύνδεση του κύματος με το σωματίδιο που αντιπροσώπευε, θεωρώντας ότι η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο σε κάποια ορισμένη θέση είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους του κύματος (Ψ2) του κύματος του Schrödinger στη θέση αυτή.

Το τροχιακό Ψ, δεν έχει φυσική σημασία και μπορεί να λάβει θετικές, αρνητικές, μηδέν, φανταστικές ή μιγαδικές τιμές. Ωστόσο, μπορούμε να πούμε ότι εκφράζει την παρουσία (όταν Ψ0) ή την απουσία του ηλεκτρονίου (όταν Ψ=0) σε μια ορισμένη περιοχή του χώρου γύρω από τον πυρήνα. Το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης Ψ2 ισούται με ΨΨ* και συσχετίζεται με την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε κάποιο σημείο του χώρου γύρω από τον πυρήνα (με συντεταγμένες x, y, z), σε δεδομένη χρονική στιγμή. Η συνάρτηση Ψ2 ονομάζεται συνάρτηση κατανομής πιθανότητας ή πυκνότητα πιθανότητας (probability density) και εκφράζει την πιθανότητα ανά μονάδα όγκου και έχει μονάδες vol-1.

Το γινόμενο Ψ2.dV καθορίζει τον αριθμό κατοχής (occupation number), του ηλεκτρονίου στο στοιχειώδη όγκο dV γύρω από τον πυρήνα. Δηλαδή, η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σ’ ένα στοιχειώδη χώρο dV, είναι ανάλογη με το Ψ2dV. Να παρατηρήσουμε ότι, ο αριθμός κατοχής είναι κλάσμα της μονάδας, ενώ ο αριθμός κατοχής σε ολόκληρο το χώρο που περιβάλλει τον πυρήνα ισούται με τη μονάδα. Το ηλεκτρόνιο, καθώς κινείται με μεγάλη ταχύτητα γύρω από τον πυρήνα, δημιουργεί ένα ηλεκτρονιακό νέφος, μια τρισδιάστατη «κηλίδα ηλεκτρονίων», που έχει διαφορετική πυκνότητα σε κάθε σημείο του χώρου γύρω από τον πυρήνα. Η συνάρτηση -eΨ2 εκφράζει την πυκνότητα του ηλεκτρονιακού νέφους σε κάποιο σημείο γύρω από τον πυρήνα και σε δεδομένο χρόνο, όπου -e το φορτίο του ηλεκτρονίου.

Επιτρεπτές τιμές Ψ Να είναι μονότιμη. Να έχει δηλαδή μια μόνο τιμή σε κάθε σημείο (x, y, z). Να είναι συνεχής, καθώς η τιμή της πιθανότητας δεν μπορεί να αλλάξει απότομα σε δύο γειτονικά σημεία. Να είναι πεπερασμένη, δηλαδή να μη παίρνει την τιμή άπειρο πουθενά. Να είναι κανονικοποιημένη, δηλαδή το άθροισμα των πιθανοτήτων να βρεθεί ηλεκτρόνιο σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου γύρω από τον πυρήνα να είναι ίσο με τη μονάδα (βεβαιότητα)

Επίλυση της εξίσωσης Schrödinger Ψ(r, θ, φ) = R(r).Θ(θ).Φ(φ) με 0  θ  π και 0  φ  2π R(r): η ακτινική κυματοσυνάρτηση η οποία δίνει την εξάρτηση της Ψ από την απόσταση από τον πυρήνα, r. Θ(θ).Φ(φ): η γωνιακή κυματοσυνάρτηση η οποία δίνει την εξάρτηση της Ψ από τις γωνίες θ και φ. Θ(θ): η γωνιακή ζενιθιακή συνιστώσα Φ(φ): η αζιμουθιακή συνιστώσα.

ΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Οι κβαντικοί αριθμοί, n, l και ml προκύπτουν από τις λύσεις των εξισώσεων R, Θ και Φ, αντίστοιχα, ως συνέπεια των απαιτήσεων που πρέπει να ικανοποιούν οι κυματοσυναρτήσεις, ώστε να είναι παραδεκτές.

Ο κύριος κβαντικός αριθμός n, παίρνει ακέραιες τιμές 1, 2, 3 … .

Ο δευτερεύων ή αζιμουθιακός ή τροχιακός κβαντικός αριθμός (l) Παίρνει τιμές ανάλογα με την τιμή που έχει ο n, δηλαδή, 0, 1, 2,…(n-1). Καθορίζει το σχήμα του ηλεκτρονιακού νέφους (τροχιακού).

Ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός(ml) Παίρνει τιμές ανάλογα με την τιμή του l και συγκεκριμένα παίρνει τις τιμές: -l, (-l+ 1), …, 0,…1, (l-1), +l. Καθορίζει τον προσανατολισμό του διανύσματος της τροχιακής στροφορμής του ηλεκτρονίου.

ΣΧΗΜΑ 2.42 Καθορισμός της φοράς του διανύσματος της τροχιακής στροφορμής του ηλεκτρονίου L.

ΣΧΗΜΑ 2.43 α. Οι επιτρεπτές προβολές της τροχιακής στροφορμής για την περίπτωση l = 2, β. Σε τρισδιάστατη απεικόνιση το διάνυσμα της τροχιακής στροφορμής L κείται στην επιφάνεια κώνου.

Το ηλεκτρόνιο περιστρεφόμενο γύρω από τον πυρήνα μπορεί να θεωρηθεί ως ένας μικρός βρόγχος ρεύματος που δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο. Επομένως το ηλεκτρόνιο λόγω τροχιακής στροφορμής αλληλεπιδρά με ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός ml καθορίζει την κατεύθυνση του L με βάση τη προβολή του L στη διεύθυνση του εξωτερικού πεδίου Β. Ωστόσο, με βάση την κυματοσωματιδιακή αντίληψη, ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός ml καθορίζει τον προσανατολισμό του ηλεκτρονιακού νέφους σε σχέση με τους άξονες x, y, z. Σε κάθε τιμή του μαγνητικού κβαντικού αριθμού αντιστοιχεί και ένα τροχιακό.

Ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός του spin (ms)

ΣΧΗΜΑ 2.44: Πείραμα Stern-Gerlach για την απόδειξη του spin: Δέσμη ατόμων με μονήρες ηλεκτρόνιο (π.χ. αλκαλίων) περνά από μια λεπτή σχισμή και στη συνέχεια από μαγνητικό πεδίο, οπότε διαχωρίζεται σε δύο επιμέρους δέσμες. Η μια αντιστοιχεί σε άτομα με αριστερόστροφο spin ηλεκτρονίων και η άλλη σε δεξιόστροφο.

ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΣΕ ΚΟΥΤΙ ΜΙΑΣ ΔΙΑΣΤΑΣΗΣ ΣΧΗΜΑ 2.45 Σχηματική παρουσίαση σωματιδίου σε κουτί μιας διάστασης. Το σωματίδιο είναι ελεύθερο να κινηθεί σε ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ των σημείων x =0 και x =L.

Η εξίσωση του Schrödinger για ένα σωματίδιο σε κουτί μιας διάστασης παίρνει τη μορφή:

ΠΙΝΑΚΑΣ 2.3: Λύσεις εξίσωσης Schrödinger για ένα σωματίδιο που κινείται σε κουτί μιας διάστασης

ΣΧΗΜΑ 2.46 α. Οι τρεις πρώτες ενεργειακές στάθμες σωματιδίου σε κουτί μιας διάστασης β. Οι κυματοσυναρτήσεις για τις τρεις πρώτες ενεργειακές στάθμες σε συνάρτηση με την απόσταση x από την αρχή του κουτιού.γ. Το τετράγωνο των κυματοσυναρτήσεων για τις τρεις πρώτες ενεργειακές στάθμες.

ΤΑ ΜΥΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΔΟΥΛΕΙΑΣ ΤΟΥ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ 1. Η κυματοσυνάρτηση Ψ Η κίνηση των υλικών δεν περιγράφεται μέσω τροχιάς, όπως γίνεται στην Κλασική Μηχανική, αλλά μέσω της κυματοσυνάρτησης Ψ, που εξαρτάται από τη θέση και το χρόνο. Οι πληροφορίες που αντλούμε από την Ψ έχουν στατιστικό χαρακτήρα. Δηλαδή, αυτό που βρίσκουμε από την Ψ είναι η πιθανότητα το τάδε φυσικό μέγεθος να έχει τη δείνα τιμή. Η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο κάπου, κάποια χρονική στιγμή εκφράζεται μέσω του Ψ 2 και έχει δύο όρια: Το όριο 0 που αντιστοιχεί στη βεβαιότητα της απουσίας και το όριο 1 που αντιστοιχεί στη βεβαιότητα της παρουσίας.

2. Η εξίσωση Schrödinger Υπάρχουν δύο εξισώσεις Schrödinger η χρονοεξαρτώμενη και χωροεξαρτόμενη οι οποίες προσδιορίζουν αντίστοιχα τη χρονική και χωρική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης. Οι εξισώσεις αυτές βασίζονται στις αρχές της υπέρθεσης και του ντετερμινισμού (το παρόν καθορίζει το μέλλον). 3. Η αρχή της συμπληρωματικότητας Σύμφωνα με την αρχή αυτή, οι συμπληρωματικές και οι αμοιβαία αποκλειόμενες περιγραφές των κβαντικών συστημάτων εξαντλούν όλη τη δυνατή γνώση μας για το μικρόκοσμο. Για παράδειγμα μπορούμε να ξέρουμε είτε τη θέση, είτε την ορμή ενός σωματιδίου, όχι όμως και τα δύο. Όταν προσδιορίζουμε με ακρίβεια το ένα μέγεθος, μας «φεύγει» το άλλο.

4. Η αρχή της υπέρθεσης Όταν ο κορυφαίος κβαντοχημικός Dirac παρέδιδε την αρχή της υπέρθεσης έσπαζε μια κιμωλία στα δύο. Έβαζε το ένα κομμάτι στην έδρα και έλεγε: «όταν η κιμωλία είναι εδώ, έχουμε μια κατάσταση». Μετά έβαζε το δεύτερο κομμάτι στην άλλη μεριά της έδρας λέγοντας: «όταν η κιμωλία είναι εκεί έχουμε μια δεύτερη κατάσταση». Το απρόσμενο χαρακτηριστικό γνώρισμα του κβαντικού κόσμου είναι ότι υπάρχει και ενδιάμεση κατάσταση ανάμεσα στο «εδώ» και το «εκεί», η οποία αντιστοιχεί σε μια πιθανότητα να βρίσκεται «εδώ» ή «εκεί».

ΣΧΗΜΑ 2.48 Η Γάτα του Schrödinger.

5. Η κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης Όταν ένα κβαντομηχανικό σύστημα αφήνεται ελεύθερο στο δρόμο του, χωρίς παρεμβολή, η εξέλιξη του περιγράφεται από την εξίσωση Schrödinger, κρατώντας μια ισορροπία ανάμεσα στο «εδώ» και στο «εκεί». Τα πάντα είναι ομαλότητα και συνέχεια. Η τραυματική ασυνέχεια λαμβάνει τη στιγμή της μέτρησης, όπου θα πρέπει να γίνει απόλυτα επιλογή ανάμεσα στις δύο εναλλακτικές περιπτώσεις.

6. Τα κύματα της κυματομηχανικής και οι κατανομές πιθανότητας O χώρος που διανύουν τα κύματα της κυματομηχανικής είναι εννοιολογικός χώρος. Είναι δημιουργήματα των προσπαθειών μας να κατανοήσουμε τη φύση. Πολλοί επιστήμονες είχαν ταυτίσει αυτό το χώρο με το συνήθη φυσικό χώρο. Αυτό φαίνεται τώρα παράλογο, σα να σημειώνουμε τον πίνακα δρομολογίων ενός τραίνου πάνω στις ράγες του. Η Κβαντική Θεωρία περιγράφει τη συμπεριφορά των σωματιδίων μέσω κατανομών πιθανότητας. Για παράδειγμα η θέση που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο μπορεί να είναι οπουδήποτε. Έτσι, δημιουργείται η εντύπωση ότι η φύση είναι αβέβαιη και ότι «τα πάντα επιτρέπονται». Ωστόσο, αν ο αριθμός των σωματιδίων είναι τεράστιος η μέση τιμή των θέσεων δίνει μια κατανομή πιθανοτήτων, με βάση την οποία η θέση του σωματιδίου μπορεί να προβλεφθεί.

  “Η κβαντική θεωρία είναι η πιο πετυχημένη θεωρία σε όλη την ιστορία των επιστημών, όπου η εξερεύνηση του κόσμου των ατόμων ήταν η απαρχή τεράστιων εξελίξεων. Ωστόσο, κάθε αύξηση των γνώσεων μας και της δύναμης μας αυξάνει αυτομάτως την ευθύνη μας” Niels Bohr

ΟΙ ΜΕΓΑΛΟΙ ΣΤΑΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΟΙ ΜΕΓΑΛΟΙ ΣΤΑΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ