ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: 1. ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΤΟΙΧΩΜΑ: Ας θεωρήσουμε ένα κυλινδρικό τοίχωμα (σωλήνα) μήκους 1 m, με εσωτερική ακτίνα r1 και εξωτερική ακτίνα r2. Η θερμική ειδική αγωγιμότητα του υλικού είναι σταθερή. Η εσωτερική και η εξωτερική επιφάνεια διατηρούνται σε σταθερές θερμοκρασίες t1 και t2 όπου t1> t2 Η θερμοκρασία μεταβάλλεται ακτινικά, μόνο κατά τη διεύθυνση των Χ. Έτσι, το πεδίο θερμοκρασίας είναι μονοδιάστατο και οι ισοθερμικές επιφάνειες είναι κυλινδρικές επιφάνειες με κοινό άξονα τον άξονα συμμετρίας του σωλήνα. Θεωρούμε μέσα στο τοίχωμα ένα στρώμα μεταξύ δύο ισοθερμικών επιφανειών που απέχουν κατά dr μεταξύ τους και κατά r από τον άξονα. Νόμος FOURIER: kcal/hr Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΤΟΙΧΩΜΑ: Χωρίζοντας τις μεταβλητές στην παραπάνω διαφορική εξίσωση, παίρνουμε: Ολοκληρώνοντας: Οριακές συνθήκες: t=t1 για r=r1 και t=t2 για r=r2 παίρνουμε τις παρακάτω εξισώσεις: Αφαιρώντας τις δύο εξισώσεις: Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΤΟΙΧΩΜΑ: Από όπου προκύπτει το άγνωστο μέγεθος Q: 1) Άρα η ποσότητα της θερμότητας που ρέει μέσα στο τοίχωμα του αγωγού ανά ώρα είναι ανάλογη της θερμικής ειδικής αγωγιμότητας, του μήκους ℓ και της θερμοκρασιακής διαφοράς Δt=t1-t2 και αντίστροφα ανάλογη προς το φυσικό (νεπέριο) λογάριθμο του λόγου της εξωτερικής ακτίνας του σωλήνα r2 προς την εσωτερική r1. Ο λόγος των ακτίνων μπορεί προφανώς να αντικατασταθεί από το λόγο των διαμέτρων. H εξίσωση (1) είναι ο τύπος για τους υπολογισμούς της αγωγιμότητας μέσα σε κυλινδρικά τοιχώματα. Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΤΟΙΧΩΜΑ: Ισχύει με τον περιορισμό t1< t2 δηλαδή όταν η θερμότητα ρέει από την εξωτερική επιφάνεια προς την εσωτερική. Βάζοντας την τιμή της σταθεράς C και την τιμή της Q από την (1) στην εξίσωση βρίσκουμε την εξίσωση της καμπύλης της θερμοκρασίας: (2) Η (2) είναι εξίσωση λογαριθμικής καμπύλης. Επομένως η θερμοκρασία μέσα σε ομογενές κυλινδρικό τοίχωμα μεταβάλλεται σύμφωνα με μία λογαριθμική καμπύλη, με την παραδοχή ότι η ειδική αγωγιμότητα του τοιχώματος είναι σταθερή. Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΤΟΙΧΩΜΑ: Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΤΟΙΧΩΜΑ: Λαμβάνοντας υπόψη την εξάρτηση της θερμικής ειδικής αγωγιμότητας από τη θερμοκρασία, σύμφωνα με την εξίσωση λ=λο(1+bt), η εξίσωση της κατανομής της θερμοκρασίας σε ένα κυλινδρικό τοίχωμα παίρνει την παρακάτω μορφή: (3) Η ποσότητα της θερμότητας που ρέει μέσω του τοιχώματος ενός σωλήνα ανά ώρα μπορεί να αναχθεί είτε σε 1 m μήκους ή στη μονάδα εσωτερικής ή εξωτερικής επιφάνειας. Οι εξισώσεις είναι αντίστοιχα (4) Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΤΟΙΧΩΜΑ: (5) (6) Επειδή η εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια του σωλήνα είναι διαφορετικού μεγέθους, οι ρυθμοί ροής θερμότητας ανά μονάδα επιφάνειας θα είναι διαφορετικοί. Οι τύποι (4), (5) και (6) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρούμε σχέση μεταξύ qℓ, q1 q2 : qℓ=πd1q1= πd2q2 (kcal/m hr) (7) Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: 2. ΣΥΝΘΕΤΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: Θεωρούμε ένα σύνθετο κυλινδρικό τοίχωμα αρκετών, ας πούμε τριών, ετερογενών στρωμάτων. Οι επιφάνειές τους που βρίσκονται σε επαφή έχουν την ίδια θερμοκρασία, επειδή η επαφή τους θεωρείται τέλεια. Οι διάμετροι και οι ειδικές θερμικές αγωγιμότητες των επιμέρους στρωμάτων είναι γνωστές (προηγούμενο σχήμα). Άγνωστες είναι οι θερμοκρασίες των επιφανειών επαφής. Σε συνθήκες σταθερής κατάστασης η ποσότητα της θερμότητας που περνάει από κάθε στρώμα είναι η ίδια και χρονικά σταθερή. Από την (4) γράφουμε: Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: 2. ΣΥΝΘΕΤΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: αυτές οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται για να υπολογιστούν οι κατανομές θερμοκρασίας σε κάθε στρώμα: Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: 2. ΣΥΝΘΕΤΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: Το άθροισμα των θερμοκρασιακών διαφορών σε κάθε στρώμα παριστάνει την ολική θερμοκρασιακή διαφορά του σύνθετου τοιχώματος. Προσθέτοντας τις εξισώσεις κατά μέλη: Και χρησιμοποιείται για να βρούμε τον ρυθμό ροής θερμότητας q1 Για τοίχωμα n στρωμάτων: (α) Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ 2. ΣΥΝΘΕΤΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: Βάζοντας το q1 βρίσκουμε τις άγνωστες θερμοκρασίες των επιφανειών επαφής: Σύμφωνα με την εξίσωση Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ 2. ΣΥΝΘΕΤΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: Η θερμοκρασία αλλάζει σύμφωνα με μια λογαριθμική καμπύλη σε κάθε επιμέρους στρώμα. Άρα η κατανομή της θερμοκρασίας στο σύνθετο τοίχωμα παριστάνεται από διαδοχικά τμήματα λογαριθμικής καμπύλης. Οι υπολογιστικοί τύποι για σωλήνα που βρέθηκαν προηγούμενα δεν είναι εύχρηστοι γιατί περιέχουν λογάριθμους. Για την απλοποίηση των υπολογισμών χρησιμοποιούμε τον παρακάτω τύπο: (8) dm=(d1+d2)/2 η μέση διάμετρος του σωλήνα και δ= (d2-d1)/2 το πάχος του τοιχώματος Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ 2. ΣΥΝΘΕΤΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: Η επίδραση της καμπυλότητας λαμβάνεται υπόψη με τον συντελεστή φ που λέγεται συντελεστής καμπυλότητας. Οι τιμές του βρίσκονται από τον λόγο των διαμέτρων d2/d1 Συγκρίνοντας τους τύπους (4) και (8) βρίσκουμε: (9) Συντελεστής καμπυλότητας συναρτήσει του λόγου των διαμέτρων d2/d1 Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ 2. ΣΥΝΘΕΤΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: Για d2/d1 <2, ο συντελεστής καμπυλότητας είναι σχεδόν ίσος με την μονάδα. Από τους τύπους προκύπτει ότι για μικρό πάχος τοιχώματος σε σύγκριση με τη διάμετρο ή με άλλα λόγια για μικρό λόγο d2/d1, η επιρροή της καμπυλότητας του τοιχώματος μπορεί να αγνοηθεί και οι υπολογισμοί της αγωγιμότητας σε σωλήνα μπορούν να γίνουν με τους τύπους για επίπεδο τοίχωμα. Στους υπολογισμούς της αγωγιμότητας σε σύνθετα τοιχώματα η σχέση (α) μπορεί να αντικατασταθεί από τον απλοποιημένο τύπο: δi=πάχος dmi=μέση διάμετρος λi=θερμική ειδική αγωγιμότητα φi=συντελεστής καμπυλότητας i-οστού στρώματος Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: Θεωρούμε ροή θερμότητας μέσω του τοιχώματος μιας κοίλης σφαίρας ακτίνας r1 και εξωτερικής r2. Η σφαίρα είναι κατασκευασμένη από ομογενές υλικό σταθερής θερμικής ειδικής αγωγιμότητας λ. Η εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια διατηρούνται σε σταθερές θερμοκρασίες t1 και t2 αντίστοιχα και t1 >t2 Η θερμοκρασία μεταβάλλεται μόνο στη διεύθυνση της ακτίνας Οι ισοθερμικές επιφάνειες είναι ομόκεντρες σφαίρες. Θεωρούμε ένα λεπτό στρώμα μεταξύ δύο σφαιρικών επιφανειών με ακτίνα r και πάχος dr. Σύμφωνα με τον νόμο του Fourier το ποσό θερμότητας που περνάει μέσα από αυτό το στρώμα ανά ώρα είναι: (α) Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: Χωρίζοντας τις μεταβλητές στην παραπάνω διαφορική εξίσωση παίρνουμε: (β) Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: Ολοκληρώνοντας έχουμε: (γ) Χρησιμοποιώντας τις οριακές συνθήκες (r=r1 ,t=t1 και r=r2 ,t=t2 ) παίρνουμε δύο εξισώσεις: (δ) (ε) Αφαιρώντας (δ) από (ε): Από την οποία βρίσκεται η τιμή του Q: (A) Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: Όπου δ το πάχος του τοιχώματος, ισούται με Αυτοί οι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για υπολογισμούς θερμικής αγωγιμότητας μέσω σφαιρικού τοιχώματος. Θέτοντας την τιμή του C και την τιμή της Q από την (Α) παίρνουμε την εξίσωση της καμπύλης κατανομής θερμοκρασίας: (Β) Αυτή είναι εξίσωση υπερβολής. Άρα η κατανομή θερμοκρασίας σε ένα σφαιρικό τοίχωμα παριστάνεται από μία υπερβολή, με τον όρο ότι η ειδική αγωγιμότητα είναι σταθερή. Αν ληφθεί υπόψη η εξάρτηση της θερμικής ειδικής αγωγιμότητας από τη θερμοκρασία λ=λο(1+bt), η εξίσωση της καμπύλης κατανομής θερμοκρασίας θα είναι η παρακάτω: Με ημερο

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΣΕ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΤΟΙΧΩΜΑ: (Γ) Με ημερο