ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΕΙΣ ΚΡΙΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΚΑΣΤΟΡΙΑ ΟΚΤΏΒΡΙΟΣ 2015 1
Η μελέτη της ιστορίας των Μαθηματικών από την Ελληνική αρχαιότητα μέχρι σήμερα αποκαλύπτει ότι η θεμελίωση των Μαθηματικών πέρασε μέσα από τρείς σοβαρές κρίσεις. Η πρώτη κρίση εμφανίστηκε τον 5ο αιώνα με την ανακάλυψη των άρρητων αριθμών από τους Πυθαγόρειους . Η δεύτερη κρίση ακολούθησε την ανακάλυψη του Απειροστικού Λογισμού από τους Newton και Leibniz στα τέλη του δέκατου έβδομου αιώνα Η τρίτη κρίση ξέσπασε το 1897 με την εμφάνιση αντινομιών και παραδόξων στη γενική θεωρία των συνόλων του Cantor.
Η διαγώνιος και η πλευρά ενός τετραγώνου είναι ασύμμετρα μεγέθη Η διαγώνιος και η πλευρά ενός τετραγώνου είναι ασύμμετρα μεγέθη το κλάσμα είναι ανάγωγο Το κλάσμα δεν είναι ανάγωγο
Λόγος και Αναλογία κατά τον Εύοσμο (370 π.Χ.) Λόγος και Αναλογία κατά τον Εύοσμο (370 π.Χ.)
Τομή Dedekind (1872) Τομή Dedekind ονομάζεται κάθε διαμέριση του συνόλου των Ρητών αριθμών σε δύο σύνολα L και R με τις ακόλουθες τρείς ιδιότητες Τα σύνολα L και R δεν είναι κενά Κάθε ρητός ανήκει μόνο σε ένα από τα δύο σύνολα L και R Κάθε ρητός που ανήκει στο L είναι μικρότερος από κάθε ρητό που ανήκει στο R
H κατά τον Εύοσμο αναλογία ορίζει τομή Dedekind
H κατά Newton παράγωγος
Τα λάθη του Euler
Αδυναμίες του 17ου και 18ου αιώνα Αδυναμίες του 17ου και 18ου αιώνα
Το παράδοξο Burali-Forri
Το παράδοξο Cantor
Το παράδοξο Russell
Δύο αρχαία παράδοξα Το παράδοξο αυτό του Russell που δυναμίτισε τα θεμέλια της Θεωρίας των Συνόλων του Cantor σχετίζεται με δύο αρχαία παράδοξα από το χώρο της λογικής. Το πρώτο χρονολογείται από το τέταρτο αιώνα Π.Χ και είναι η δήλωση του Εμπολίδη «η πρόταση που διατυπώνω αυτή τη στιγμή είναι ψευδής». Αν η πρόταση είναι αληθής, τότε θα έπρεπε να είναι ψευδής. Αν η πρόταση είναι ψευδής, τότε θα έπρεπε να είναι αληθής. Το δεύτερο χρονολογείται δύο αιώνες νωρίτερα, τον έκτο αιώνα Π.Χ. και αποδίδεται στο φιλόσοφο Επιμενίδη από την Κρήτη που διατύπωσε τον ισχυρισμό «όλοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες». Η ανάλυση του ισχυρισμού αυτού στη βάση των δύο δυνατών περιπτώσεων να είναι αληθής ή ψευδής οδηγεί σε αντίφαση όπως ακριβώς και η δήλωση του Εμπολίδη
Μη κατηγορικοί ορισμοί Μη κατηγορικοί ορισμοί
Άρση των αντιφάσεων
Οι μη κατηγορικοί ορισμοί επιμένουν
Η κρίση παραμένει
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ !