ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ – ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Το φυσικό μέγεθος που περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να στρέφει ένα σώμα ονομάζεται ροπή της δύναμης και συμβολίζεται με το ελληνικό τ. Ροπή της δύναμης F, ως προς άξονα περιστροφής ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την κάθετη απόσταση l της δύναμης από τον άξονα περιστροφής (μοχλοβραχίονας). Η ροπή έχει την διεύθυνση του άξονα περιστροφής και η φορά της δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα ροπής είναι το 1 N∙m.

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ Εξωτερικό γινόμενο Η ροπή τ της δύναμης F, ως προς τον άξονα περιστροφής z΄z είναι το διανυσματικό μέγεθος με μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την κάθετη απόσταση l της δύναμης από τον άξονα περιστροφής (μοχλοβραχίονας). ΣΤΑΘΕΡΟΣ ΑΞΟΝΑΣ

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ F τ Fz Fx l Γωνία θ Στη γενική περίπτωση όπου η δύναμη σχηματίζει γωνία θ με το επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα, η ροπή της είναι ίση με την ροπή της συνιστώσας Fx.

ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Σε περιπτώσεις όπου δεν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής χρησιμοποιείται η έννοια της ροπής ως προς σημείο. Ροπή δύναμης F, ως προς σημείο Ο ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την απόσταση της από το σημείο Ο, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το σημείο Ο και φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. ΕΛΕΥΘΕΡΟΣ ΑΞΟΝΑΣ

ΡΟΠΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Όταν πάνω σε ένα σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύ-θυνσης, δημιουργούν ροπή που το μέτρο της δίνεται από την σχέση : όπου d είναι η απόσταση μεταξύ των φορέων των δυνάμεων. Είναι φανερό ότι η ροπή ζεύγους είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο επιλέξουμε.

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις θα πρέπει πρώτον η συνισταμένη των δυνάμεων να είναι μηδέν και δεύτερον το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο να είναι μηδέν.

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Ονομάζουμε ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής. Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα το 1 kg/m2 Η ροπή αδράνειας εκφράζει την αντίσταση που εμφανίζει ένα σώμα όταν προσπαθούμε να το περιστρέψουμε. Είναι δηλαδή το αντίστοιχο της μάζας στη στροφική κίνηση.

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Η ροπή αδράνειας δεν είναι σταθερή, όπως η μάζα, αλλά εξαρτάται από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής που επιλέγουμε κάθε φορά.

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Θεώρημα παραλλήλων αξόνων ή θεώρημα Steiner Έστω Icm η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας, Ip η ροπή αδράνειας του ως προς ένα άξονα που είναι παράλληλος με τον προηγούμενο και d η απόσταση των δύο αξόνων. Η ροπή αδράνειας Ip θα είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας Icm και του γινομένου της μάζας του σώματος επί το τετράγωνο της απόστασης των δύο αξόνων.

Ο 2ος ΝΟΜΟΣ NEWTON ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ισούται με το γινόμενο της ροπής αδράνειας (υπολογισμένης ως προς τον άξονα περιστροφής) και της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος. Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης

Ο 2ος ΝΟΜΟΣ NEWTON ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ Όπως φαίνεται από την παραπάνω σχέση η γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει ένα σώμα είναι ανάλογη με την ροπή που εφαρμόζεται πάνω του και αντιστρόφως ανάλογη από την ροπή αδράνειας του σώματος. Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν προκύπτει ότι και η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι μηδέν, επομένως το σώμα διατηρεί την προηγούμενη περιστροφική του κατάσταση, δηλαδή αν το σώμα είναι ακίνητο θα εξακολουθήσει να ηρεμεί, ενώ αν στρέφεται θα συνεχίσει να στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα..