ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Κεφάλαιο 3 Ασαφείς Συνεπαγωγές ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Κεφάλαιο 3 Ασαφείς Συνεπαγωγές Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών

Σκοπός Μελέτη Η έννοια της ασαφούς συνεπαγωγής Σχέση συνεπαγωγής Έλεγχος Διαδικασιών με Ασαφείς Ελεγκτές Ορισμός της Συνεπαγωγής Κανόνες συνεπαγωγής Είδη συνεπαγωγών Συνθετικός συμπερασματικός κανόνας Ευφυής Έλεγχος

Έννοια της ασαφούς συνεπαγωγής (1/3) Kάθε ασαφής ελεγκτής αποτελείται από το μηχανισμό συμπερασμού ή συμπερασμάτων (inference engine) με τον οποίο υπολογίζονται οι έξοδοι του ελεγκτή. Ο μηχανισμός συμπερασμού ουσιαστικά μας παρέχει την ικανότητα συλλογισμού. Αντίθετα με τα συμβατικά έμπειρα συστήματα, στο μηχανισμό συμπερασμού ενός ασαφούς ελεγκτή διεξάγεται εξονυχιστική ανίχνευση όλων των κανόνων στη βάση γνώσης με σκοπό να υπολογιστεί ο βαθμό συμμετοχής ή εκπλήρωσης κάθε κανόνα. Ευφυής Έλεγχος

Έννοια της ασαφούς συνεπαγωγής (2/3) Μια ασαφής δήλωση συνεπαγωγής περιγράφει τη σχέση μεταξύ των λεκτικών μεταβλητών του ελεγκτή. Έστω δύο ασαφή σύνολα Α και Β που ανήκουν στα υπερσύνολα αναφοράς Χ και Υ αντίστοιχα, τότε ορίζουμε μια ασαφή εξαρτημένη σχέση (fuzzy conditional relation):   R : ΑΝ Α ΤΟΤΕ Β = Α  Β Α  Β όπου Α  Β είναι το καρτεσιανό γινόμενο των δύο υπερσυνόλων αναφοράς Χ  Υ και ορίζεται για την περίπτωση του τελεστή τομής ως: Α  Β =  (μΑ(x)  μB(y))|(x,y) =  min(μΑ(x), μB(y))|(x,y) ΧΥ ΧΥ Ευφυής Έλεγχος

Έννοια της ασαφούς συνεπαγωγής (3/3) Για την περίπτωση αλγεβρικού γινομένου είναι: Α  Β =  (μΑ(x). μB(y))|(x,y) ΧΥ Για παράδειγμα, έστω ότι τα διακριτά σύνολα Α = {1 + 2 + 3} και Β={1 + 2 + 3 + 4} με αντίστοιχες συναρτήσεις συμμετοχής  {μΑ(x)|x} = (1|1 + 0,7|2 + 0,2|3)  και   {μΒ(y)|y} = (0,8|1 + 0,6|2 + 0,4|3 + 0,2|4) Ευφυής Έλεγχος

Καρτεσιανό Γινόμενο Τότε το καρτεσιανό γινόμενο (Cartesian product) τομής είναι: RΛ = Α  Β = {min(1, 0,8)|(1,1), min(1, 0,6)|(1,2), min(1, 0,4)|(1,3), min(1, 0,2)|(1,4), min(0,7, 0,8)|(2,1), min(0,7, 0,6)|(2,2), min(0,7, 0,4)|(2,3), min(0,7, 0,2)|(2,4), ............   = {0,8|(1,1) + 0,6|(1,2) + 0,4|(1,3) + 0,2|(1,4) + 0,7|(2,1) + 0,6|(2,2) + 0,4|(2,3) + 0,2|(2,4) + 0,2|(3,1) + 0,2|(3,2) + 0,2|(3,3) + 0,2|(3,4) Ευφυής Έλεγχος

Σχεσιακός Πίνακας Ο αντίστοιχος σχεσιακός πίνακας (relational matrix) είναι: x|y 1 2 3 4 0,8 0,6 0,4 0,2 0,7 Ευφυής Έλεγχος

Καρτεσιανό Αλγεβρικό Γινόμενο Το καρτεσιανό αλγεβρικό γινόμενο, είναι αντίστοιχα: R* = Α  Β = {0,8|(1,1) + 0,6(1,2) + 0,4|(1,3) + 0,2|(1,4) + 0,56|(2,1) + 0,42|(2,2) + 0,28|(2,3) + 0,14|(2,4) + 0,16|(3,1) + 0,12|(3,2) + 0,08|(3,3) + 0,04|(3,4)} x|y 1 2 3 4 0,8 0,6 0,4 0,2 0,56 0,42 0,28 0,14 0,16 0,12 0,08 0,04 Ευφυής Έλεγχος

μR(x,y)= ψ(μΑ(x), μB(y)) για x X και yY Σχέση Συνεπαγωγής (1/2) Το καρτεσιανό γινόμενο τομής (min) είναι απλούστερο να υλοποιηθεί και ταχύτερο στην εκτέλεσή του σε υπολογιστή εφόσον χρησιμοποιεί την πράξη σύγκρισης αντί του γινομένου, πράξη που είναι χρονοβόρα. Στην πράξη οι περισσότεροι ασαφείς ελεγκτές υιοθετούν τη μέθοδο αυτή. Η συνάρτηση συμμετοχής της συνεπαγωγής (implication) ορίζεται από τις αντίστοιχες συναρτήσεις συμμετοχής μΑ(x) και μΒ(y) των συνόλων Α και Β. Έστω ότι: μR(x,y)= ψ(μΑ(x), μB(y)) για x X και yY και R = {μR(x,y)|(x,y)} Ευφυής Έλεγχος

Σχέση Συνεπαγωγής (2/2) Γενικότερα εάν Α1, Α2,..... ΑΝ είναι ασαφή υποσύνολα του Χ και Β1, Β2,..... ΒΝ είναι ασαφή υποσύνολα του συνόλου Υ (που αντιστοιχούν στα αίτια και τα συμπεράσματα αντίστοιχα), τότε ο ασαφής αλγόριθμος είναι το σύνολο των λεκτικών κανόνων: RΝ : ΑΝ Α1 ΤΟΤΕ Β1 ΕΙΤΕ ΑΝ Α2 ΤΟΤΕ Β2 ΕΙΤΕ ............................... ΑΝ ΑΝ ΤΟΤΕ ΒΝ Το συνδετικό ΕΙΤΕ, που θα γραφεί για συντομία ως φ, εξαρτάται από τη συνάρτηση ψ που χρησιμοποιείται στον ορισμό των επιμέρους συνεπαγωγών. Συνεπώς η συνάρτηση συμμετοχής για Ν κανόνες ορίζεται ως: μRΝ(x,y) = φ(μR1(x,y), μR2(x,y) .... )   = φ(ψ(μΑ1(x) μB1(y)), ψ(μΑ2(x) μB2(y))....)

Έλεγχος Διαδικασιών με Ασαφείς Ελεγκτές Ο έλεγχος διαδικασιών με ασαφείς ελεγκτές προϋποθέτει την ύπαρξη ενός συνόλου λεκτικών κανόνων που περιγράφει τις πράξεις ενός εμπειρογνώμονα χειριστή. Οι κανόνες αυτοί είναι όμοιοι με αυτούς με τους οποίους εκπαιδεύονται οι χειριστές και στη συνέχεια εφαρμόζουν στην πράξη. Το σύνολο των λεκτικών κανόνων αποθηκεύεται στη βάση γνώσης (rule base) του ελεγκτή. Φυσικό είναι να μην είναι γνωστοί όλοι οι κανόνες που είναι απαραίτητοι να αντιμετωπίσουν όλες τις καταστάσεις της ελεγχόμενης διαδικασίας. Συνεπώς ζητείται κάποιος μηχανισμός που θα είναι ικανός να συμπεράνει αποφάσεις με ελλιπή στοιχεία, όπως ακριβώς κάνει ένας άνθρωπος-χειριστής. Η ασαφής λογική είναι η πιο διαδεδομένη τεχνική για την εξεύρεση αποφάσεων κάτω από αυτές τις συνθήκες. Ευφυής Έλεγχος

Ορισμός της Συνεπαγωγής Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, η γνώση για τον έλεγχο μιας διαδικασίας συνήθως καθορίζεται από ένα σύνολο κανόνων της μορφής ‘ΑΝ (αίτιο) ΤΟΤΕ (συμπέρασμα)’ ή ΑΝ Α ΤΟΤΕ Β. Σημειώνουμε ότι στον κλασικό προτασιακό λογισμό (propositional calculus) η σχέση: ΑΝ Α ΤΟΤΕ Β που μπορούμε να εκφράσουμε συμβολικά ως: Α  Β είναι ισοδύναμη με την πράξηA  B όπου Α και Β είναι υποσύνολα των υπερσυνόλων Χ και Υ αντίστοιχα. Ευφυής Έλεγχος

Κανόνες συνεπαγωγής (1/2) Στην ασαφή λογική υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες κανόνων συνεπαγωγής. Η πρώτη είναι η κατηγορία Generalised Modus Ponens (ή GMP) για την οποία ισχύουν τα εξής: GMP: Υπόθεση 1: x είναι Α’ Υπόθεση 2: ΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β   Συμπέρασμα: y είναι Β’  Ο κανόνας αυτός συσχετίζεται άμεσα με τους μηχανισμούς πρόσθιας συνεπαγωγής με δεδομένα (forward data-driven inference), που βρίσκει εφαρμογή σε όλους τους ασαφείς ελεγκτές. Ευφυής Έλεγχος

Κανόνες συνεπαγωγής (2/2) Η δεύτερη είναι η κατηγορία Generalised Modus Tollens (ή GMΤ) για την οποία ισχύουν τα εξής: GMΤ: Υπόθεση 1: y είναι B’ Υπόθεση 2: ΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β Συμπέρασμα: x είναι A’   Ο κανόνας GMT σχετίζεται στενά με τους μηχανισμούς οπισθόδρομου συμπερασμού με στόχο (backwards goal-driven) που συνηθίζεται στα έμπειρα συστήματα. Αντίθετα με τον κανόνα GMP, ο σκοπός του μηχανισμού συμπερασμού εδώ είναι η ανεύρεση των αιτιών που έχουν ένα δεδομένο αποτέλεσμα. Ευφυής Έλεγχος

μRN(x,y) = k ((1- μΑk(x)) μΒk(y)) Συνεπαγωγές (1/5) Boole  Η κλασική συνεπαγωγή του δυαδικού κανόνα Boole χρησιμοποιεί τους τελεστές ένωσης και άρνησης και ορίζεται ως:   RΒoole = (A  Y)  (X  B)   και μR(x,y) = (1 - μΑ(x)) μΒ(y) Ο συνδυασμός Ν εξαρτημένων σχέσεων γίνεται με το συνδετικό KAI, δηλαδή   RN = k Rk όπου k=1,2....Ν και μRN(x,y) = k ((1- μΑk(x)) μΒk(y)) Ευφυής Έλεγχος

Συνεπαγωγές (2/5) Lukasiewicz μR(x,y) = 1  (1 - μΑ(x)+ μΒ(y))   όπου το σύμβολο ‘+’ παριστά την κοινή αριθμητική πρόσθεση. O συνδυασμός Ν εξαρτημένων σχέσεων γίνεται με το συνδετικό KAI, δηλαδή:   RN = k Rk όπου k=1,2....Ν και μRΝ(x,y) = k (1  (1 - μΑk(x)+ μΒk(y))) Ευφυής Έλεγχος

Συνεπαγωγές (3/5) Zadeh  Η συνεπαγωγή Zadeh με τελεστές max και min ορίζεται ως:   RZadeh = (A B)  (A  X)   και  μR(x,y) = (μΑ(x) μΒ(y))(1 - μΑ(x))   Η συνεπαγωγή αυτή είναι δύσχρηστη και δεν αποδέχεται απλή υπολογιστική λύση. Ευφυής Έλεγχος

Συνεπαγωγές (4/5) Συνεπαγωγή Mamdani Η συνεπαγωγή Mamdani είναι απλούστευση της συνεπαγωγής του Zadeh, χρησιμοποιεί μόνο τον τελεστή min και ορίζεται ως:   RΜamdani = A  B   και   μR(x,y) = μΑ(x) μΒ(y)=min(μΑ(x), μΒ(y)) Ο συνδυασμός Ν εξαρτημένων σχέσεων γίνεται με το συνδετικό Ή, δηλαδή   RN = k Rk όπου k=1,2....Ν και   μRN(x,y) = k (μΑk(x) μΒk(y)) Ευφυής Έλεγχος

μRΝ(x,y) = k (μΑk(x). μΒk(y)) Συνεπαγωγές (5/5) Συνεπαγωγή Larsen Η συνεπαγωγή Larsen χρησιμοποιεί το αριθμητικό γινόμενο κατά τον υπολογισμό του καρτεσιανού γινομένου και ορίζεται ως:   RLarsen = A  B και   μR(x,y) = μΑ(x)* μΒ(y) O συνδυασμός Ν εξαρτημένων σχέσεων γίνεται και στην περίπτωση αυτή με το συνδετικό ´H, δηλαδή RN = k Rk όπου k=1,2....Ν και μRΝ(x,y) = k (μΑk(x). μΒk(y)) Ευφυής Έλεγχος

Συνθετικός Συμπερασματικός Κανόνας Έστω ότι έχουμε τις δύο ασαφείς σχέσεις:  R1 : ΑΝ Α ΤΟΤΕ Β R2 : ΑΝ Β ΤΟΤΕ C Οι παραπάνω σχέσεις μπορούν να συμπτυχθούν :  R 12 : ΑΝA ΤΟΤΕ C  Η σύνθεση ή σύμπτυξη των δύο κανόνων εκφράζεται με το σύμβολο ‘’ :  R12 = R1  R2 που ορίζεται είτε με τον κανόνα του μέγιστου-ελάχιστου (max-min) Mamdani  μR12(x,z) = y (μR1(x,y) μR2(y,z))  ή με τον κανόνα μέγιστου γινομένου (max-product) Larsen :  μR12(x,z) = y (μR1(x,y). μR2(y,z)) Ευφυής Έλεγχος

Συνθετικός Κανόνας Όταν χρησιμοποιούνται διακριτά σύνολα οι παραπάνω πράξεις είναι ισοδύναμες με το εσωτερικό γινόμενο δύο πινάκων, εφόσον ο πολλαπλασιασμός αντικατασταθεί με τον τελεστή min και η πρόσθεση με τον τελεστή max. Συνεπώς με ορισμούς συνεπαγωγής που περιέχουν μόνο τους τελεστές max και min χρησιμοποιούμε το συνθετικό κανόνα (compositional rule) max-min και με ορισμούς συνεπαγωγής που περιέχουν αριθμητικούς τελεστές, χρησιμοποιούμε το συνθετικό κανόνα max-product. Ευφυής Έλεγχος

Παράδειγμα Έτσι, όταν Α = {μΑ(x)|x} για x  X Β = {μΒ(y)|y} για y  Y  και η σχέση μεταξύ των είναι:   R = {μR(x,y)|(x,y)} για x  Χ και y  Y  τότε, αν το αίτιο είναι Α’, όπου   Α’ = {μΑ’(x)|x} για x  X  το επακόλουθο συμπεραίνεται από το συνθετικό συμπερασματικό κανόνα :  Β’ = Α’  R = x (μA’(x)|x  μR(x,y)|(x,y)) για x  X και y  Y στην περίπτωση που χρησιμοποιηθεί ο συνθετικός κανόνας max-min του Mamdani και  Β’ = Α’  R = x (μA’(x)|x . μR(x,y)|(x,y)) για x  X και y  Y όταν χρησιμοποιηθεί ο συνθετικός κανόνας max-product του Larsen. Ευφυής Έλεγχος

Παράδειγμα (συνέχεια) Για παράδειγμα ο κανόνας:   ‘ΑΝ Α είναι αργός ΤΟΤΕ Β είναι ταχύς’ όπου τα σύνολα αργός και ταχύς ορίζονται από τα διακριτά σύνολα:   μΑ(x) = {1+ 0,7+ 0,3+ 0+ 0+ 0} και μΒ(y) = {0+ 0+ 0,3+ 0,7+ 1+ 1} Ευφυής Έλεγχος

Παράδειγμα Το καρτεσιανό γινόμενο με τελεστή min δίνεται στον  RΛ = Α  Β = {min[μΑ(xi ), μB(yj)]} = min[1, 0] min[1, 0,3] min[1, 0,7] min[1, 1] min[0,7, 0] min[0,7,0,3] min[0,7,0,7] min[0,7, 1] min[0,3, 0] min[0,3,0,3] min[0,3,0,7] min[0,3, 1] min[0, 0] min[0, 0,3] min[0, 0,7] min[0, 1] Ευφυής Έλεγχος

Παράδειγμα   0,3 0,7 1 = Ευφυής Έλεγχος

μΒ’(y) = max(min(μA’(x), μRΛ(y)) Παράδειγμα Αν τώρα το αίτιο Α τροποποιηθεί με μετατόπιση προς τα αριστερά, δηλαδή η διακριτή συνάρτηση συμμετοχής:  μΑ(x) = {1+ 0,7+ 0,3+ 0+ 0+ 0}  γίνει μ Α’ = {0,3+ 0,7+ 1+ 0,7+ 0,3+ 0}  άρα λεκτικά ‘λίγο αργός’, τότε εφαρμόζοντας τη σχέση: Β’ = Α’ ο R  δηλαδή το συνθετικό κανόνα max-min:  μΒ’(y) = max(min(μA’(x), μRΛ(y))  μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση συμμετοχής του νέου επακόλουθου Β’. Ο πίνακας {min(μΑ’(x), μRΛ(y)}περιέχει στοιχεία του πίνακα RΛ και της διακριτής συνάρτησης συμμετοχής μΑ’(x). Ευφυής Έλεγχος

Συνεπαγωγή νέου επακόλουθου με τον συνθετικό κανόνα max-min   = 0,3 0,7

Συνέχεια H τελική πράξη υπολογισμού της νέας συνάρτησης συμμετοχής μΒ’(y) είναι η ανεύρεση του μέγιστου στοιχείου κάθε στήλης δηλαδή η πράξη max των στοιχείων κάθε στήλης του Πίνακα που φαίνονται με πλάγιους αριθμούς. Το τελικό αποτέλεσμα, που φαίνεται γραφικά στο Σχήμα, είναι:  μΒ ’(y) = {0+ 0+ 0,3+ 0,7+ 0,7+ 0,7} Ευφυής Έλεγχος

Νεο παράδειγμα Συνεπαγωγή με το συνθετικό κανόνα max-product Για σύγκριση, υπολογίζονται παρακάτω τα στοιχεία της συνάρτησης συμμετοχής μΒ’(y) χρησιμοποιώντας τον κανόνα max-product: μΒ ’(y) = max(μΒ ’(x)* μRΛ(y)) η διακριτή συνάρτηση συμμετοχής μB’(y) του επακόλουθου Β’ για τα νέα αίτια. H συνεπαγωγή με τον τελεστή πολλαπλασιασμού είναι αντίστοιχα:  R* = Α  Β = {μΑ(xi )* μB(yj)} = [1* 0] [1* 0,3] [1* 0,7] [1* 1] [0,7* 0] [0,7*0,3] [0,7*0,7] [0,7* 1] [0,3* 0] [0,3*0,3] [0,3* 0,7] [0,3* 1] [0* 0] [0* 0,3] [0* 0,7] [0* 1] Ευφυής Έλεγχος

Συνεπαγωγή με το συνθετικό κανόνα max-product   0,3 0,7 1 0,21 0,49 = 0,09 {μΑ’(xi )* μRΛ(yj)} = (0* 0,3) ( 0* 0,3) (0,3*0,3) (0,7*0,3) (1* 0,3) (1*0,3) (0* 0,7) (0,21*0,7) (0,49*0,7) (0,7*0,7) (0* 1) (0,09*1) (0,21* 1) (0,3* 1) (0* 0)

Συνεπαγωγή με το συνθετικό κανόνα max-product   = 0,09 0,21 0,3 0,15 0,35 0,49 Οι μέγιστες τιμές κάθε στήλης του Πίνακα ορίζουν το τελικό συμπέρασμα, δηλαδή:  μΒ’(y) = {0+ 0+ 0,15+ 0,35+ 0,49+ 0,49} Ευφυής Έλεγχος

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΑΣ Καθ.Γρουμπός Π. Πέτρος groumpos@ece.upatras.gr .