Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών 1

Σκοποί ενότητας Παρουσίαση βασικών εννοιών από: Απαρίθμηση Διωνυμικοί συντελεστές Εξοικείωση, κατανόηση, εφαρμογή 2

Περιεχόμενα ενότητας Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 3

Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζονται σα συντελεστές στο ανάπτυγμα δυνάμεων διωνυμικών εκφράσεων όπως η (α+b)n Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 5

Διώνυμο – Ανάπτυγμα διωνύμου Αλγεβρική παράσταση με 2 όρους λέγεται διώνυμο 1+x x+y s+t Υψώνοντας το διώνυμο σε κάποια ακέραια δύναμη n λαμβάνω πολυώνυμο βαθμού n (1+x)n (x+y)n (s+t)n Κάνοντας τις πράξεις (δηλ., αναπτύσσοντας) λαμβάνω άθροισμα που λέγεται ανάπτυγμα διωνύμου Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 6

Ανάπτυγμα διωνύμου (Ι) (1+x)2=(1+x)*(1+x)= 1+x+x+x2=1+2x+x2=1x0+2x1+1x2 Για να σχηματίσω δυνάμεις του x, διαλέγω παρενθέσεις 1x0 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x0; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας καμία παρένθεση Διαλέγω 0 από 2 παρενθέσεις με C(2,0) τρόπους 2x1 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x1; Με 2 τρόπους: διαλέγοντας τη μπλε παρένθεση ή την πράσινη παρένθεση Διαλέγω 1 από 2 παρενθέσεις με C(2,1) τρόπους 1x2 : Με πόσους τρόπους μπορώ να παρενθέσεις για να σχηματίσω το x2; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας και τη μπλε παρένθεση και την πράσινη παρένθεση Διαλέγω 2 από 2 παρενθέσεις με C(2,2) τρόπους (C(2,2) = C(2,0)) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 7

Ανάπτυγμα διωνύμου (ΙΙ) (1+x)3= (1+x)*(1+x)*(1+x)= (1+2x+x2)*(1+x)= 1+x+2x+2x2+x2+x3= 1+3x+3x2+x3= 1x0+3x1+3x2+1x3 Για να σχηματίσω δυνάμεις του x, διαλέγω παρενθέσεις 1x0 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x0; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας καμία παρένθεση Διαλέγω 0 από 3 παρενθέσεις με C(3,0) τρόπους 3x1 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x1; Με 3 τρόπους: διαλέγοντας τη μπλε παρένθεση ή την πράσινη παρένθεση ή την καφέ παρένθεση Διαλέγω 1 από 3 παρενθέσεις με C(3,1) τρόπους 3x2 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x2; Με 3 τρόπους: διαλέγοντας τη μπλε και την πράσινη παρένθεση ή διαλέγοντας τη μπλε και την καφέ παρένθεση ή διαλέγοντας την πράσινη και την καφέ παρένθεση Διαλέγω 2 από 3 παρενθέσεις με C(3,2) τρόπους (C(3,2) = C(3,1)) 1x3 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x3; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας και τη μπλε παρένθεση και την πράσινη παρένθεση και την καφέ παρένθεση Διαλέγω 3 από 3 παρενθέσεις με C(3,3) τρόπους (C(3,3) = C(3,0)) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 8

Ανάπτυγμα διωνύμου (ΙΙΙ) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 9

Ανάπτυγμα διωνύμου (ΙV) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 10

Διωνυμικοί συντελεστές (V) Ποιος είναι ο συντελεστής του x3 στο ανάπτυγμα του (1+x)4; C(4,3)=4!/3!*1!=4 Ποιος είναι ο συντελεστής του x4 στο ανάπτυγμα του (1+x)4; C(4,4)=1 Ποιος είναι ο συντελεστής του x2 στο ανάπτυγμα του (1+x)4; C(4,2)=4!/2!*2!=6 Κάνοντας τις πράξεις: (1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4 Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 11

Διωνυμικοί συντελεστές (VI) Ποιος είναι ο συντελεστής του x3 στο ανάπτυγμα του (1+x)6; C(6,3)=6!/3!*3!=20 Ποιος είναι ο συντελεστής του x4 στο ανάπτυγμα του (1+x)6; C(6,4)=6!/4!*2!=15 Ποιος είναι ο συντελεστής του x2 στο ανάπτυγμα του (1+x)6; C(6,2)=C(6,4)=15 Ποιος είναι ο συντελεστής του x5 στο ανάπτυγμα του (1+x)6; C(6,5)=C(6,1)=6 Κάνοντας τις πράξεις: (1+x)6=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6 Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 12

Διωνυμικοί συντελεστές (VII) Ποιος είναι ο συντελεστής του x2y στο ανάπτυγμα του (x+y)3; Μπορώ να σχηματίσω το x2 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 2 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y)3 C(3,2)=C(3,1)=3 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ μπορώ να θέσω την ερώτηση για το y Μπορώ να σχηματίσω το y με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 1 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y)3 C(3,1)=3 Κάνοντας τις πράξεις: (x+y)6=x3+3x2y+3xy2+y3 Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 13

Διωνυμικοί συντελεστές (VIII) Ποιος είναι ο συντελεστής του x3 στο ανάπτυγμα του (x+y)3; Μπορώ να σχηματίσω το x3 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 3 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y)3 C(3,3)=1 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ μπορώ να θέσω την ερώτηση για το y Μπορώ να σχηματίσω το y0 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 0 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y)3 C(3,0)=1 Κάνοντας τις πράξεις: (x+y)6=x3+3x2y+3xy2+y3 Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 14

Διωνυμικοί συντελεστές (IX) Ποιο είναι το ανάπτυγμα του (x+y)4; Ο συντελεστής του όρου x0y4 είναι C(4,0)=1 Ο συντελεστής του όρου x1y3 είναι C(4,1)=4 Ο συντελεστής του όρου x2y2 είναι C(4,2)=4!/2!*2!=6 Ο συντελεστής του όρου x3y1 είναι C(4,3)=C(4,1)=4 Ο συντελεστής του όρου x4y0 είναι C(4,4)=C(4,0)=1 Άρα: (x+y)4 = C(4,0)*x0y4 + C(4,1)*x1y3 + C(4,2)*x2y2 + C(4,3)*x3y1 + C(4,4)*x4y0= 1*x0y4 + 4*x1y3 + 6*x2y2 + 4*x3y1 + 1*x4y0= y4 + 4xy3 + 6x2y2 + 4x3y + x4 Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 15

Διωνυμικοί συντελεστές (X) Ποιος είναι ο συντελεστής του x12y13 στο ανάπτυγμα του (x+y)25; Μπορώ να σχηματίσω το x12 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 12 από τις 25 παρενθέσεις του (x+y)25 C(25,12)=25!/12!*13!=5.200.300 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ μπορώ να θέσω την ερώτηση για το y Μπορώ να σχηματίσω το y13 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 13 από τις 25 παρενθέσεις του (x+y)3 C(25,13)=C(25,12) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 16

Διωνυμικοί συντελεστές (XI) Ποιος είναι ο συντελεστής του x12y13 στο ανάπτυγμα του (2x-3y)25; Πρέπει να φτιάξω το ανάπτυγμα στη μορφή που γνωρίζω Οπότε το x στον τύπο είναι πλέον το 2x και το y στον τύπο είναι το -3y Για να ασχοληθώ με το συντελεστή του x12 θέτω στον τύπο k=12 Ο όρος του αθροίσματος είναι: C(25,12)(2x)12(-3y)25-12= -C(25,12)212313x12y13 Επομένως, ο συντελεστής του όρου x12y13 στο ανάπτυγμα του (2x-3y)25 είναι: -C(25,12)212313 Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 17

Διωνυμικοί συντελεστές (XII) Πρέπει να φτιάξω το ανάπτυγμα στη μορφή που γνωρίζω Μπορώ να γράψω το ανάπτυγμα ως: (x3+1)12*x-12 Ψάχνω το σταθερό όρο του αναπτύγματος δηλ., το συντελεστή του x0 Για να προκύψει από το ανάπτυγμα (x3+1)12*x-12 το x0 πρέπει από τον παράγοντα (x3+1)12 να ασχοληθώ με το x12 και να προσδιορίσω το συντελεστή του Οπότε το x στον τύπο είναι πλέον το x3 και το y στον τύπο είναι το 1 Για να ασχοληθώ με το συντελεστή του x12 θέτω στον τύπο k=4 Ο όρος του αθροίσματος είναι: C(12,4)(x3)4112-4= C(12,4) x12 Επομένως, ο συντελεστής του όρου x0=x12*x-12 στο ανάπτυγμα του (x2+1/x)12 είναι: C(12,4)=12!/4!*8!=12*11*10*9/4*3*2*1=45*11=495 Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 18

Διωνυμικοί συντελεστές (XIII) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 19

Διωνυμικοί συντελεστές (XIV) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 20

Διωνυμικοί συντελεστές (XV) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 21

Ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών (I) Τρόποι για να διαλέξω k από n αντικείμενα = Τρόποι για να διαλέξω n-k από n αντικείμενα C(n,r): πλήθος τρόπων να επιλέξω τα r άτομα από τα n στα οποία θα δώσω καπέλα …Μα αυτό είναι ίδιο με το να επιλέξω σε ποια n-r άτομα από τα n δε θα δώσω καπέλο: C(n,n-r) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 22

Ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών (II) Ταυτότητα του Pascal Πλήθος υποσυνόλων μεγέθους k ενός συνόλου Τ με n+1 στοιχεία Πώς σχηματίζονται αυτά τα υποσύνολα; Διαλέγω αυθαίρετο στοιχείο α του T Τα υποσύνολα του Τ με k στοιχεία μπορεί: να περιέχουν το α: οπότε διαλέγω k-1 στοιχεία από n+1-1 διαθέσιμα (αφού ήδη γνωρίζω ότι το α είναι στοιχείο των υποσυνόλων αυτών, διαλέγω τα υπόλοιπα k-1 στοιχεία τους από τα n+1-1 στοιχεία που μένουν – εκτός του α) να μην περιέχουν το α: οπότε διαλέγω k στοιχεία από n+1-1 διαθέσιμα (αφού ήδη γνωρίζω ότι το α ΔΕΝ είναι στοιχείο των υποσυνόλων αυτών, διαλέγω και τα k στοιχεία τους από n στοιχεία – εκτός του α) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 23

Ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών (III) Ταυτότητα του Pascal Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 24

Τρίγωνο του Pascal Αναδρομικός τύπος υπολογισμού διωνυμικών συντελεστών 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 6 5 10 15 20 21 7 35 56 8 28 70 126 9 36 84 n Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 25

Τρίγωνο του Pascal: λειτουργία (Ι) 1 2 3 4 6 5 10 15 20 21 7 35 56 8 28 70 V Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 26

Τρίγωνο του Pascal: λειτουργία (ΙΙ) Στο περίγραμμα μόνο 1 1 2 3 4 6 5 10 15 20 21 7 35 56 8 28 70 V Τρόποι να επιλέξω 0,1,2…από αυτά Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 27

Ασκήσεις (1) Πόσοι όροι υπάρχουν στο ανάπτυγμα (x+y)100; στο ανάπτυγμα υπάρχουν 101 όροι Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 28

Ασκήσεις (2) Ποιος είναι ο συντελεστής του x9 στο ανάπτυγμα (2-x)19; Φτιάχνω το ανάπτυγμα στη μορφή που ξέρω Οπότε όπου x στον τύπο θα έχω –x και όπου y θα έχω 2 Για να βρω το συντελεστή του όρου που περιέχει το x9, θέτω k=9 στον τύπο Ο ζητούμενος συντελεστής είναι: C(19,9)*(-1)9*210= -C(19,9)*210 Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 29

Ασκήσεις (3) Ποιος είναι ο συντελεστής του x101y99 στο ανάπτυγμα (3x-2y)200; Φτιάχνω το ανάπτυγμα στη μορφή που ξέρω Οπότε όπου x στον τύπο θα έχω 3x και όπου y θα έχω -2y Για να βρω το συντελεστή του όρου που περιέχει το x101, θέτω k=101 στον τύπο Ο ζητούμενος συντελεστής είναι: C(200,101)*3101*(-2)99= -C(200,101)*3101*299 Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 30

Ασκήσεις (4) 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 31

Ασκήσεις (5) 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 C(9,0) C(9,1) C(9,2) C(9,3) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 32

Ασκήσεις (6) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 33

Ασκήσεις (7) Διαλέγω πρώτα τα k στοιχεία από τα n και μετά ξεχωρίζω ένα από τα k Ξεχωρίζω ένα από τα n στοιχεία και μετά διαλέγω τα υπόλοιπα k-1 από τα υπόλοιπα n-1 Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 34

Ασκήσεις (8) Κάνω πράξεις και υπολογίζω τις σχέσεις πριν και μετά το = Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 35

Ασκήσεις (9) Ενότητα 5: Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές 36

Τέλος Ενότητας 37

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 38

Σημειώματα 39

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.00. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: 40

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Εύη Παπαϊωάννου. «Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/CULTURE159/index.php. 41

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 42

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εκφωνήσεις ασκήσεων Kenneth H. Rosen. Διακριτά μαθηματικά και εφαρμογές τους, 7η Έκδοση, 2014. Εκδόσεις Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε, ISBN: 978-960-418-394-4, κωδικός βιβλίου στον Εύδοξο: 41954922. Γιώργος Α. Βουτσαδάκης, Λευτέρης Μ. Κυρούσης, Χρήστος Ι. Μπούρας, Παύλος Γ. Σπυράκης. Διακριτά Μαθηματικά. 1η έκδοση, 2008. Εκδόσεις Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε., ISBN: 978-960-01-1239-9, κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 31192 43