Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 16/3/2016 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ιδιότητες Κατανομής Poisson & Εκθετικής Κατανομής Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Εξισώσεις Ισορροπίας - Η Ουρά Μ/Μ/1 Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 16/3/2016

Επανάληψη (1) Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Poisson k γεγονότα (π.χ. αφίξεις) σε διάστημα t εμφανίζονται με πιθανότητα P[n(t) = k] = Pk (t) = e –λt (λt)k / k !, k = 0,1,2,… Et(n) = λt Vart(n) = λt Μέσος ρυθμός αφίξεων: λ πελάτες/sec ανεξάρτητα από χρόνο αναφοράς (στάσιμες αυξήσεις) Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής (binomial distribution)

Επανάληψη (2) Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ Poisson ΣΑΝ ΟΡΙΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ανεξάρτητες αφίξεις στο διάστημα [0, t] με ρυθμό λ αφίξεις/sec Διαίρεση [0, t] σε N μικρά μη επικαλυπτόμενα ανεξάρτητα υποδιαστήματα Δt, t = NΔt Σε κάθε υποδιάστημα Δt δύο εναλλακτικές: Μία άφιξη με πιθανότητα p = λΔt = λt/N ή καμία άφιξη με πιθανότητα 1 – p k αφίξεις σε διάστημα t = N x Δt με διωνυμική (binomial) πιθανότητα P[n(t) = k] = N k p k (1−p) N−k , k = 0, 1,…, N Στο όριο Δt  0, N  ∞, t = NΔt, Ν!/(Ν-k)!  N k , (1- λt/N) N−k  e –λt P[n(t) = k] = N!/[k! (N-k)!] ( λt/N) k (1- λt/N) N−k  e –λt (λt)k/k! = Pk (t), k = 0, 1,…

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Poisson Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ1 , λ2 δημιουργεί διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό λ = λ1 + λ2 Διάσπαση διαδικασίας Poisson ρυθμού λ μέσω ανεξαρτήτων τυχαίων επαναλήψεων Bernoulli με πιθανότητες p, q = 1-p (π.χ. τυχαία δρομολόγηση χωρίς μνήμη) δημιουργεί ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson με μέσους ρυθμούς λ1 = pλ λ2 = qλ

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ - ΘΑΝΑΤΩΝ (Birth-Death Process,1/2) Παραδοχές: Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων Εξέλιξη του πληθυσμού n(t) βασισμένη μόνο στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών Κατάσταση ισορροπίας (steady state) Την χρονική στιγμή t το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n(t) = n Μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t-Δt, Δt0: Μία άφιξη στο διάστημα Δt, με πιθανότητα λn-1Δt αν n>0 Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μn+1 Δt αν υπάρχει η n+1 (σε περίπτωση περιορισμού μέγιστου πληθυσμού K μπορούμε να θεωρήσουμε μΚ+1 = 0) Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1 - (λn+μn)Δt αν n>0 ή 1 – λ0Δt αν n=0 Η εξίσωση μετάβασης (Chapman - Kolmogorov) προκύπτει από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: Pn(t) = λn-1 Δt Pn-1(t-Δt) + μn+1 Δt Pn+1(t-Δt) + [1- (λn+μn)Δt] Pn(t-Δt) P0(t) = μ1 Δt P1(t-Δt) + (1- λ0Δt) P0(t-Δt)

ΔΙΑΔΙΑΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ – ΘΑΝΑΤΩΝ (Birth-Death Process, 2/2) Στο όριο, Δt  dt και για n >1: [Pn(t) - Pn(t-dt)]/dt = λn-1Pn-1(t) + μn+1Pn+1(t) – (λn+μn)Pn(t) ή dPn(t)/dt = λn-1Pn-1(t) + μn+1Pn+1(t) – (λn+μn)Pn(t) Σε σταθερή κατάσταση t  ∞ (αν υπάρχει) : dPn(t)/dt = 0, Pn(t)  Pn > 0 : Εργοδικές Πιθανότητες που προκύπτουν από τις γραμμικά ανεξάρτητες Εξισώσεις Ισορροπίας (λn+μn)Pn = λn-1Pn-1 + μn+1Pn+1 , n>1 λ0P0 = μ1P1 P0 + P1 +… + Pn +… = 1