Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Διαφορικές εξισώσεις τάξης ανώτερης της πρώτης Γενική μορφή δ.ε. τάξης ανώτερης της πρώτης F(x,y,y΄,y΄΄ ,…,y(η)) = 0

4. Διαφορικές εξισώσεις στις οποίες λείπει το x Είναι της μορφής F(y,y΄,y΄΄,y΄΄΄,…,y(η)) = 0 (IΙI) Επίλυση: Θέτουμε y΄=z, τότε δηλαδή, η παράγωγος 2ης τάξης της y είναι συνάρτηση του z και της παραγώγου 1ης τάξης του z ως προς y

Υπολογίζουμε την παράγωγο 3ης τάξης του y Παραγωγίζουμε ως προς x την σύνθετη συνάρτηση (dz/dx) των x,y Παραγωγίζουμε ως προς x την σύνθετη συνάρτηση z των x και y

τελικά, δηλαδή, η παράγωγος 3ης τάξης της y είναι συνάρτηση του z, της παραγώγου 2ης τάξης του z ως προς y και της παραγώγου 1ης τάξης του z ως προς y Συμπέρασμα: η παράγωγος 3ης τάξης της y εκφράζεται συναρτήσει των παραγώγων του z ως προς y κατά μια τάξη μικρότερη !!  συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία καταλήγουμε στην μορφή, G(y,z,z΄,z΄΄ ,…,z(n-1))=0 της οποίας η τάξη είναι κατά μονάδα μικρότερη της τάξης της αρχικής δ.ε.

ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η δ.ε. y(y-1)y΄΄ + (y΄)2 = 0. Λύση: Παρατηρούμε ότι y(y-1)y΄΄ + (y΄)2 = 0  F(y,y΄,y΄΄)=0 Είναι μια δ.ε. 2ης τάξης στην οποία λείπει το x ! Θέτουμε, y΄= z, όπου η z είναι σύνθετη συνάρτηση των x και y και η παράγωγος 2ης τάξης της y γίνεται: Η δ.ε. γίνεται, Υποθέτουμε ότι z0, δηλαδή, dy/dx  0, δηλαδή, yc, όπου cR. Πράγματι, αν y=c, τότε y΄=0=y΄΄ και η δ.ε. δεν έχει νόημα!

χωριζόμενων μεταβλητών Η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται, Υποθέσαμε πάλι ότι y(1-y)z0, διότι αν y=0 ή y=1, τότε η δ.ε. δεν έχει νόημα! Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη και έχουμε, χωριζόμενων μεταβλητών

και η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται, Υποθέτουμε ότι z(1-y/y)>0 Γενική λύση της δ.ε.

Διερεύνηση : Υποθέσαμε ότι, z(1-y/y) >0 Διερεύνηση : Υποθέσαμε ότι, z(1-y/y) >0. Στην αντίθετη περίπτωση, αν z(1-y/y)<0, τότε,

Διερεύνηση : z(1-y/y) >0 y=0 x

5. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις Μία διαφορική εξίσωση τάξης ανώτερης της πρώτης F(x,y,y΄,y΄΄,…,y(n))=0 (Ι) λέγεται ομογενής ως προς y,y΄,…y(n) αν ικανοποιείται η σχέση: F(x,λy,λy΄,λy΄΄,…,λy(n))=λμF(x,y,y΄,y΄΄,…,y(n)) Τότε, η δ.ε. (Ι) παίρνει την μορφή και για να την επιλύσουμε θέτουμε τότε, Παραγωγίζοντας στη συνέχεια την πρώτη παράγωγο έχουμε:

με όμοιο τρόπο έχουμε, κ.λ.π. τότε, δηλαδή, προκύπτει μια δ.ε. στην οποία λείπει το z !

Αν στη συνέχεια θέσουμε, z΄=ω, τότε προκύπτει μια διαφορική εξίσωση H(x,ω,ω΄ω΄΄ , …, ω(η-1))=0 της οποίας η τάξη είναι κατά μονάδα μικρότερη της τάξης της αρχικής και συνεπώς η λύση της είναι απλούστερη !!

F(x,y,y΄,y΄΄)= xyy΄΄ - x(y΄)2 –yy΄ και επιπλέον Λύση: Παρατηρούμε ότι F(x,y,y΄,y΄΄)= xyy΄΄ - x(y΄)2 –yy΄ και επιπλέον F(x,λy,λy΄,λy΄΄)=x(λy)(λy΄΄)-x(λy΄)2-(λy)(λy΄)= =λ2 [(x yy΄΄)-x(y΄)2-yy΄]= λ2 F(x,y,y΄,y΄΄) και συνεπώς η δ.ε. είναι μια ομογενής δ.ε. 2ης τάξης ως προς y,y΄,y΄΄ Υποθέτοντας ότι προφανώς ισχύει y0, διαιρούμε τα μέλη της δ.ε. με y2 , δηλαδή, Θέτουμε,

χωριζόμενων μεταβλητών τότε, σύμφωνα με τα παραπάνω και η δ.ε. μετασχηματίζεται ως εξής: Στη συνέχεια θέτουμε, χωριζόμενων μεταβλητών

αντίστροφα, επιπλέον, γενική λύση