ΚΩΔΙΚΩΝ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΩΔΙΚΩΝ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ     Χ.Καλιαλάκης   Ειδικός Επιστήμονας, ΕΕΤΤ

Περιεχόμενο Το πρόβλημα της κωδικοποίησης  Βασικά Στοιχεία από κώδικες και τα Μοντέλα Ising Περιγραφή της μεθοδολογίας Εφαρμογή σε συνελικτικούς κώδικες Εφαρμογή σε κώδικες LDPC Εφαρμογή σε κώδικες Turbo Συμπεράσματα-Σύνοψη

Εισαγωγή

Εισαγωγή Θεώρημα Shannon Σε ένα θορυβώδες κανάλι υπάρχει η δυνατότητα μετάδοσης χωρίς σφάλματα με την χρήση κατάλληλης κωδικοποίησης Αλλά Δεν δίνει τρόπους κατασκευής (non constructive)

Βασικά στοιχεία από κώδικες Κορυφαίοι κώδικες (πολύ κοντά στο όριο Shannon) Turbo (1993) Low Density Parity Check Codes (1999) Για να διαπιστωθεί ότι είχαν ανακαλυφτεί 30 χρόνια πριν (από τον Gallagher)

Βασικά στοιχεία από κώδικες Αλλά Δεν υπάρχει συστηματικός τρόπος κατασκευής και κατανόησης γιατί δουλεύουν οι κώδικες Όλα γίνονται με ευρετικές(heuristics) μεθόδους Πρόβλημα σε μεσαίες κλίμακες κωδίκων Πρόβλημα σε μεθόδους υπολογισμού πολύ χαμηλών BER

Βασικά στοιχεία από γραμμικούς κώδικες G δίνει τον γραμμικό συνδυασμό δίνει τον πλεονασμό του κώδικα Δίνει τους ελέγχους ισοτιμίας (parity check)

Βασικά στοιχεία από κώδικες mod 2 Μ=10 Γράφος Tanner Μητρώο Ελέγχου ισοτιμίας Κόμβοι ελέγχου ισοτιμίας

Βασικά στοιχεία από μοντέλα Ising

Περιγραφή της μεθοδολογίας   Βασική ιδέα (Sourlas 1989)

Περιγραφή της μεθοδολογίας Εύρεση μορφής πιθανότητας Αντιστοίχιση σε πλέγμα τύπου Ising Μελέτη του πλέγματος Eρμηνεία των αποτελεσμάτων για τον κώδικα

Περιγραφή της μεθοδολογίας Μαγνήτιση ↔ Πιθανότητα σφάλματος κατά την αποκωδικοποίηση Βασίζεται στην συμμετρία gauge των πλεγμάτων Ising

Μετασχηματισμοί φάσης Σιδηρομαγνητική φάση παραμαγνητική φάση

Εφαρμογή: Συνελικτικοί κώδικες η Χαμιλτονιανή μονοδιάστατης αλυσίδας spin

Εφαρμογή: Κώδικες LDPC μια Χαμιλτονιανή με εξωτερικό πεδίο που αντιστοιχεί σε μοντέλο spin με διαλυμένο γράφο (dilute graph)

Εφαρμογή:κώδικες Turbo

Εφαρμογή:κώδικες Turbo Οι δυο πρώτοι όροι αντιστοιχούν στην αλυσίδα spin τ ενώ ο τρίτος όρος στην αλυσίδα s. Η σύζευξη επιτυγχάνεται μέσω των σταθερών Jout. k

Μετασχηματισμος «φάσης» σε κώδικες Turbo

Συμπεράσματα(1) α/α Θεωρία Επικοινωνιών Μοντέλα Ising 1 Ψηφιακή λέξη από Ν Bits Πλέγμα από Ν Spin 2 Λέξη κώδικα Μεταβλητή σύζευξης J 3 Κώδικας διόρθωσης Σφάλματος Χαμιλτονιανή 4 Γεννήτρια Κώδικα G Πίνακας Συνδετικότητας C 5 Ρυθμός κώδικα Κ/Μ Λόγος τάξης πίνακα συνδετικότητας προς αριθμό συναρμογής 6 Λόγος Σήματος Προς Θόρυβο J2/σ2 7 Αποκωδικοποίηση ML (MAP) Εύρεση βασικής κατάστασης

Συμπεράσματα(2) α/α Θεωρία Επικοινωνιών Μοντέλα Ising 8 Πιθανότητα σφάλματος ανά bit Μαγνήτιση 9 Συνελικτικοί κώδικες Μονοδιάστατο Μοντέλο 10 Κώδικες LDPC Διαλυμένο Μονοδιάστατο Μοντέλο 11 Κώδικες Turbo Συζευγμένες αλυσίδες 12 Αποκωδικοποίηση Viterbi Αλγόριθμος Τransfer Matrix Τ=1 13 Αποκωδικοποίηση BCJR Αλγόριθμος Τransfer Matrix Τ=0 14 Κατώφλι σφάλματος Θερμοκρασία μετασχηματισμού

Συμπεράσματα (3) Εφαρμογή της Στατιστικής Φυσικής μπορεί να δώσει μια εναλλακτική και ενδεχομένως βαθύτερη κατανόηση των κωδίκων διόρθωσης Ανοιχτό πεδίο: Εύρεση ακόμη καλλίτερων κωδίκων με ανάλογες μεθόδους