Ημι-κλασσική θεωρία – ηλεκτρόνια σε περιοδικό δυναμικό Η θεωρία Bloch γενικεύει τη θεωρία του ελευθέρου ηλεκτρονίου (Sommerfeld) για τα μέταλλα θεωρώντας περιοδικό δυναμικό. Θεωρήσαμε μέχρι τώρα τη δυναμική των ελευθέρων ηλεκτρονίων μέσω κλασικής μηχανικής και κβαντικής μηχανικής. Τα ηλεκτρόνια Bloch, δηλαδή ηλεκτρόνια σε ένα περιοδικό δυναμικό, θεωρούνται σαν ενδιάμεση προσέγγιση, ικανή για ικανοποιητικές απαντήσεις (ημικλασσικό μοντέλο), ακόμα σε συνθήκες εκτός ισορροπίας (παρουσία εξωτερικού πεδίου).

Ηλεκτρόνια Bloch και αγωγιμότητα Drude  τα ηλεκτρόνια συγκρούονται με τα σταθερά ιόντα Προβλήματα σχετικά με τις μεγάλες ελεύθερες διαδρομές (πειραματικά) και την εξάρτησή τους με τη Τ. Bloch  Τα επίπεδα Bloch = στάσιμες καταστάσεις της εξίσωσης Schroedinger, παρουσία του περιοδικού δυναμικού των ιόντων. Αν ένα ηλεκτρόνιο έχει μία μη μηδενική ταχύτητα αυτή διατηρείται. Η αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου ιόντος είναι μέσα στη λύση του Schroedinger (μέσω του περιοδικού δυναμικού), άρα δεν μπορούμε να επικαλεστούμε απώλειες μέσω κρούσεων με ιόντα. Η αντίσταση ενός τέλειου περιοδικού κρυστάλλου είναι μηδέν. Τα εφαρμοζόμενα εξωτερικά πεδία τα αντιμετωπίζουμε κλασσικά, αλλά το περιοδικό πεδίο των ιόντων κβαντικά.

Κυματικά μεγέθη στο ημι-κλασσικό Ένα ηλεκτρόνιο περιγράφεται πλήρως γνωρίζοντας τη θέση του και το κυματάνυσμά του. Αυτό είναι ένα κυματοπακέτο. Η πρόβλεψη της κίνησής του σε ένα πεδίο βασίζεται στη γνώση των

Εξωτερικά εφαρμοζόμενο πεδίο Ο δείκτης ζώνης, n, είναι μια σταθερά της κίνησης. Το ημικλασσικό μοντέλο αγνοεί την πιθανότητα μετάβασης του ηλεκτρονίου από μια ενεργειακή ζώνη σε άλλη. Η χρονική εξέλιξη της θέσης και του κυματανύσματος ενός ηλεκτρονίου με ζώνης n προσδιορίζονται από τις κλασικές εξισώσεις κίνησης

παρατηρήσεις Σε κατάσταση ισορροπίας (ή κοντά σε ισορροπία) οι ενεργειακές ζώνες με ενέργεια αρκετά μεγαλύτερη από την ενέργεια Fermi , θα είναι άδειες και μπορούν να αγνοηθούν. οι ενεργειακές ζώνες που βρίσκονται αρκετά κάτω από την ΕF δηλαδή ενεργειακές ζώνες που είναι πλήρως γεμάτες μπορούν επίσης να αγνοηθούν! Άρα, μόνο ένας μικρός αριθμός ενεργειακών ζωνών χρησιμοποιείται για την περιγραφή ενός μετάλλου ή ημιαγωγού. Η ορμή δεν είναι η ορμή του ηλεκτρονίου Bloch Πράγματι:

Αν Εφαρμογή του τελεστή της ορμής δίνει όπου

περιορισμοί περιοδικό δυναμικό = μηδέν  ημικλασσικό μοντέλο αποτυγχάνει. Στο όριο αυτό το ηλεκτρόνιο θα είναι ένα ελεύθερο σωμάτιο και η κινητική του ενέργεια, σε ένα σταθερό εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο, μπορεί να αυξάνεται συνεχώς, με αποτέλεσμα να μεταπηδά από μια ενεργειακή ζώνη σε άλλη. ημικλασσικό μοντέλο  ΟΧΙ μεταβάσεις σε άλλη ζώνη. Η ενέργεια όλων των ηλεκτρονίων είναι περιορισμένη στην περιοχή της ενεργειακής ζώνης στην οποία βρίσκονται. Η απαίτηση αυτή παραβιάζεται κάθε φορά που το κυματάνυσμα του ελευθέρου ηλεκτρονίου διαπερνά ένα επίπεδο Bragg, γιατί τότε το ηλεκτρόνιο πηδάει από τη χαμηλότερη ενεργειακή ζώνη στην υψηλότερη.

Η αδρανοποίηση των γεμάτων Ενεργειακών ζωνών Γεμάτη ενεργειακή ζώνη  εi < ΕF Ημικλασσικό μοντέλο  καμία μετάβαση ηλεκτρονίων από μια ενεργειακή ζώνη σε άλλη  μια γεμάτη ενεργειακή ζώνη παραμένει γεμάτη σε όλους τους χρόνους, ακόμη και παρουσία χωρικά και χρονικά εξαρτώμενων ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων.

Τα ολοκληρώματα αυτά είναι μηδενικά πιθανότητα κατάληψης ενός ενεργειακού επιπέδου δίνεται από τη κατανομή Fermi-Dirac: Οπότε η πυκνότητα ηλεκτρονίων σε ένα όγκο dk3 Θα είναι Ηλεκτρικό ρεύμα με και άρα πυκνότητα ρεύματος από μία γεμάτη ζώνη όπου ολοκλήρωμα της κλίσης μιας περιοδικής συνάρτησης πάνω σε κάθε θεμελιώδη κυψελίδα , άρα Τα ολοκληρώματα αυτά είναι μηδενικά

Κίνηση Ηλεκτρονίου σε DC Ηλεκτρικό Πεδίο Λύση της ημικλασσικής εξίσωσης Ταχύτητα θέση Όταν το εξωτερικό πεδίο είναι παράλληλο προς ένα άνυσμα του αντιστρόφου πλέγματος η ταχύτητα θα είναι ταλαντούμενη!

Οπές Θεωρούμε μισογεμάτη ζώνη και στατικό εξωτερικό πεδίο. Σε ένα στοιχειώδη όγκο γύρω από κ Τα ηλεκτρόνια αυτά συνεισφέρουν στη πυκνότητα ρεύματος κατά Συνολικά Αφού μία γεμάτη ζώνη δεν μεταφέρει ρεύμα

επομένως το ρεύμα που δημιουργείται από τα κατειλημμένα με ηλεκτρόνια επίπεδα είναι ακριβώς το ίδιο με το ρεύμα που παράγεται από τα μη-κατειλημμένα αν θεωρήσουμε ότι αυτά καταλαμβάνονται από σωματίδια θετικού ηλεκτρικού φορτίου (αντίθετο του φορτίου των ηλεκτρονίων). Τα φανταστικά αυτά σωματίδια, που θεωρούμε ότι βρίσκονται στα μη-κατειλημμένα επίπεδα, ονομάζονται οπές.

Ενεργός μάζα αδρανειακή μάζα Ενεργός μάζα m* Γενική περίπτωση Εξαρτάται από το κ αλλά Και από τη κατεύθυνση Μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές