Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #9: Λύση Εξισώσεων Εσωτερικής Κατάστασης με Χρήση Μετασχηματισμού Laplace Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί Ενότητας Υπολογισμός εσωτερικών σημάτων συστήματος εκφρασμένου στο χώρο κατάστασης. Χρήση μετασχηματισμού Laplace σε μητρωικές εξισώσεις για υπολογισμό αποκρίσεων. 4

Περιεχόμενα Ενότητας Υπολογισμός απόκρισης από τις εξισώσεις κατάστασης με μετασχηματισμό Laplace Παράδειγμα

Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης Μετασχηματισμός LAPLACE

Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης - Μετασχηματισμός Laplace - 1 Από τα προηγούμενα (ενότητα 8) δύο μέρη τόσο στο διάνυσμα κατάστασης X(s) όσο και στη μεταβλητή εξόδου: Το ελεύθερο μέρος της απόκρισης Xα(s) ή Yα(s) που οφείλεται στην αρχική συνθήκη x(0): (1)

Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης - Μετασχηματισμός Laplace - 2 Το ελεύθερο μέρος της απόκρισης Xα(s) ή Yα(s) που οφείλεται στην αρχική συνθήκη x(0): (1) και το εξαναγκασμένο μέρος της απόκρισης Xε(s) ή Yε(s) που οφείλεται στην είσοδο u(t): (2)

Υπολογισμός Απόκρισης από τις Εξισώσεις Κατάστασης - Μετασχηματισμός Laplace - 3 Για το ελεύθερο κομμάτι της απόκρισης ισχύει ότι: (3) με το μητρώο Φ(t) να ονομάζεται μητρώο μετάβασης. Συγκρίνοντας την (3) με την (2) προκύπτει λοιπόν ότι: (4) Άρα με χρήση της (4) η ολική λύση των εξισώσεων κατάστασης: (5)

Παράδειγμα

Παράδειγμα (1) Παράδειγμα: Έστω το κύκλωμα RL-RL, να βρεθούν η ελεύθερη και η εξαναγκασμένη απόκριση σε είσοδο u(t)=1.

Παράδειγμα (2) Παράδειγμα: Έστω το κύκλωμα RL-RL, να βρεθούν η ελεύθερη και η εξαναγκασμένη απόκριση σε είσοδο u(t)=1. Οι εξισώσεις, από την προηγούμενη ενότητα είναι:

Παράδειγμα (3) Το μητρώο Φ(s) υπολογίζεται ως εξής: (6)

Παράδειγμα (4) Οπότε και η Xε(s) και τελικά Xε(t) υπολογίζεται αρκετά εύκολα: (7)

Παράδειγμα (5) Πρέπει λοιπόν να γίνει ανάλυση σε απλά κλάσματα για κάθε στοιχείο του διανύσματος στην (7): Οπότε και με χρήση πινάκων με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace θα έχουμε: (8)

Παράδειγμα (6) (8) και εφόσον (9)

Παράδειγμα (7) Αν η αρχική συνθήκη x(0)=[1 1]T με χρήση των (1), (6) το ελεύθερο μέρος της απόκρισης θα είναι: Οπότε με ανάλυση σε απλά κλάσματα και χρήση πινάκων με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace (10)

Παράδειγμα (8) (37) και το ελεύθερο μέρος της εξόδου (προφανώς με χρήση u(t)=0!) θα είναι

Τέλος Ενότητας