Διακριτά Μαθηματικά ΣΥΝΟΛΑ

Ένα στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α: αΑ Βασικές Έννοιες Σύνολο καλείται μία καλώς ορισμένη συλλογή διακεκριμένων στοιχείων (ή αντικειμένων). Συνήθως τα σύνολα συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα ενώ τα στοιχεία που τα αποτελούν με μικρά. Ένα στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α: αΑ Το στοιχεί α δεν ανήκει στο σύνολο Α: α∉Α

Ω: καθολικό ή βασικό σύνολο, περιέχει όλα τα στοιχεία. Βασικές Έννοιες Συνήθως Α={α1,α2,…,αν,…} Α={α: α έχει την ιδιότητα Ι} όπου Ι είναι μία χαρακτηριστική ιδιότητα των στοιχείων του Α. Ω: καθολικό ή βασικό σύνολο, περιέχει όλα τα στοιχεία. ∅: κενό σύνολο, δεν περιέχει κανένα από τα υπό μελέτη στοιχεία.

Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α καλείται δυναμοσύνολο P (Α). Υποσύνολα Ένα σύνολο Β καλείται υποσύνολο ενός συνόλου Α αν και μόνο εάν κάθε στοιχείο του Β ανήκει στο Α. Συμβολίζεται ΒΑ Αν Β  Α και υπάρχει α∈Α τέτοιο ώστε α∉Β, τότε το Β καλείται γνήσιο υποσύνολο του Α. Συμβολίζεται ΒΑ Εάν Β  Α και Α  Β τότε Α=Β Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α καλείται δυναμοσύνολο P (Α). Αν το Α έχει n στοιχεία το δυναμοσύνολο του έχει 2n στοιχεία.

Διάγραμμα Venn Ω Α Β

Α Β και Α Β αν Α= {α,β} και Β= {α,{α,β},β} Παραδείγματα {α,β} {α,β,γ,δ} {α,β} {α,{α,β},γ} {α,β} {α,{α,β},γ} Α Β και Α Β αν Α= {α,β} και Β= {α,{α,β},β} P ({α,β})={{}, {α}, {β}, {α,β}}

Πράξεις Συνόλων - Ένωση Ένωση δύο συνόλων ονομάζεται το σύνολο που περιέχει στοιχεία που ανήκουν είτε στο ένα είτε στο άλλο είτε και στα δύο. Η ένωση των Α και Β συμβολίζεται ΑΒ. {α,β,γ}  {β,γ,δ} = {α,β,γ,δ} {α,β,γ}   = {α,β,γ} Ω Β Α

Πράξεις Συνόλων - Ιδιότητες Ένωσης Πράξεις Συνόλων - Ιδιότητες Ένωσης Α  Α = Α Α   = Α Αν ΒΑ τότε Α  Β = Α Α  Β = Β  Α (Α  Β)  Γ = Α  (Β  Γ) = Α  Β  Γ Η έννοια της ένωσης μπορεί να επεκταθεί για ν σύνολα ή για άπειρο πλήθος συνόλων. A1  A2  A3  …  Aν = Uki=1 Ai Ui=1 Ai

Η τομή των Α και Β συμβολίζεται Α  Β. {α,β,γ}  {β,γ,δ} = {β,γ} Πράξεις Συνόλων - Τομή Τομή δύο συνόλων ονομάζεται το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν και στα δύο σύνολα. Η τομή των Α και Β συμβολίζεται Α  Β. {α,β,γ}  {β,γ,δ} = {β,γ} {α,β}  {γ,δ} =  {α,β,γ}   =  Ω Β Α Α  Β

Πράξεις Συνόλων – Ιδιότητες Τομής Α  Α = Α Α   =  Αν ΒΑ τότε Α  Β = Β Α  Β = Β  Α (Α  Β)  Γ = Α  (Β  Γ) = Α  Β  Γ Η έννοια της τομής μπορεί να επεκταθεί για ν σύνολα ή για άπειρο πλήθος συνόλων. A1  A2  A3 … Aν =  ki=1Ai Ui=1 Ai

Επιμεριστική ιδιότητα Ιδιότητες Συνόλων Επιμεριστική ιδιότητα Α  (Β  Γ) = (Α  Β)  (Α  Γ) Α  (Β  Γ) = (Α  Β) (Α  Γ) A A B B Γ Γ

Α-Β ονομάζεται και συμπλήρωμα του Β ως προς το Α. Διαφορά Συνόλων Διαφορά δύο συνόλων Α και Β ονομάζεται το σύνολο Α-Β που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α αλλά δεν ανήκουν στο Β. Α-Β ονομάζεται και συμπλήρωμα του Β ως προς το Α. {α,β,γ,δ}-{β,γ}={α,δ} {α,β,γ}-{β,γ,δ}={α} {α,β,γ}-{δ,ε,ζ}={α,β,γ} Ω Β Α-Β

Συμπλήρωμα - Κανόνες De Morgan Α΄ συμπλήρωμα του Α Α’  Α = Ω (Α  Β)΄ = Α΄  Β΄ (Α  Β)΄ = Α΄  Β΄ Ω Α Α΄

Συμμετρική Διαφορά Συμμετρική διαφορά ΑΒ δύο συνόλων Α και Β ονομάζεται το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν είτε στο ένα είτε στο άλλο αλλά όχι και στα δύο. {α,β,γ}  {β,γ,δ} = {α,δ} Ιδιότητες Α  Β = Β  Α Α  Β = (Α  Β) – (Α  Β) Α  Β = (Α - Β)  (Α - Β)

Αποδείξτε ότι Α  Β = (Α - Β)  (Α - Β) Παράδειγμα Αποδείξτε ότι Α  Β = (Α - Β)  (Α - Β) Δείχνουμε ότι Α  Β  (Α - Β)  (Α - Β) Έστω x Α  Β άρα ανήκει είτε στο Α είτε στο Β αλλά όχι και στα δύο. Έχουμε δύο περιπτώσεις xA τότε xΒ. Άρα xA-Β που συνεπάγεται x(A-Β)(Β-Α) xA τότε xΒ. Άρα xΒ-Α που συνεπάγεται x(A-Β)(Β-Α) Άρα αν x Α  Β τότε x(A-Β)(Β-Α) Δείχνουμε ότι (Α - Β)  (Α - Β)  Α  Β Έστω x(A-Β)(Β-Α) τότε έχουμε δύο περιπτώσεις xA-Β που σημαίνει xA και xΒ άρα x Α  Β xA-Β που σημαίνει ότι xΒ-Α επομένως xΒ και xA άρα xΑΒ Σε κάθε περίπτωση αν x(A-Β)(Β-Α) τότε x Α  Β

Παράδοξα Έστω Σ = {ααα}. Ανήκει το Σ στον εαυτό του; Αν Σ  Σ τότε από τον ορισμό του Σ ισχύει Σ  Σ (άτοπο). Αν ΣΣ τότε από τον ορισμό του Σ δεν ισχύει Σ  Σ άρα ισχύει ΣΣ (άτοπο). Σε ένα χωριό υπάρχει ένας κουρέας ο οποίος ξυρίζει όποιον δεν ξυρίζεται μόνος του. Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του; Ένα επίθετο λέγεται ετερολογικό αν δεν έχει την ιδιότητα την οποία περιγράφει. Το επίθετο ετερολογικό είναι ετερολογικό;