Η Έννοια της τυχαίας Διαδικασίας Σεραφείμ Καραμπογιάς Η Έννοια της τυχαίας Διαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας, βασίζεται στην επέκταση της έννοιας της τυχαίας μεταβλητής, ώστε να συμπεριλάβει το χρόνο. Σε κάθε αποτέλεσμα sk ενός πειράματος τύχης αντιστοιχούμε, σύμφωνα με κάποιο κανόνα, τη χρονική συνάρτηση xk(t). Η οικογένεια όλων αυτών των συναρτήσεων καλείται τυχαία διαδικασία και δηλώνεται με X(t). δειγματικός χώρος Με άλλα λόγια μια τυχαία διαδικασία είναι μια απεικόνιση του δειγματοχώρου S σε ένα σύνολο από συναρτήσεις που ονομάζονται δείγμα συνάρτησης ή μέλος συνόλου ή πραγματοποίηση της διαδικασίας.

Στατιστικές Mέσες Τιμές Σεραφείμ Καραμπογιάς Στατιστικές Mέσες Τιμές Για τη χρονική στιγμή t0 ορίζεται η τυχαία μεταβλητή X(t0) με στοιχεία με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή Η μέση τιμή συνόλου, ή η στατιστική μέση τιμή μίας τυχαίας διαδικασίας X(t) είναι μία νομοτελειακή συνάρτηση του χρόνου mX(t) η οποία σε κάθε χρονική στιγμή t0 είναι ίση με τη μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής X(t0) Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-2

Η χρονική μέση τιμή συμβολίζεται και ως Σεραφείμ Καραμπογιάς Εξετάζοντας μία επί μέρους πραγματοποίηση της τυχαίας διαδικασίας έχουμε μία νομοτελειακή συνάρτηση του χρόνου την xk(t) ή την x(t; ωk). ίσα εμβαδά Βασιζόμενη στη συνάρτηση αυτή μπορούμε να βρούμε τη χρονική μέση τιμή της τυχαίας διαδικασίας x(t; ωk) ως Η χρονική μέση τιμή συμβολίζεται και ως Η χρονική μέση τιμή είναι ένας πραγματικός αριθμός ανεξάρτητος του χρόνου t αλλά, ενγένει, εξαρτάται από την επιμέρους πραγματοποίηση η οποία επιλέχθηκε. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-3

Συναρτήσεις Συσχέτισης Τυχαίας Διαδικασίας Σεραφείμ Καραμπογιάς Συναρτήσεις Συσχέτισης Τυχαίας Διαδικασίας Για τις χρονικές στιγμές t1 και t2 ορίζoνται οι τυχαίες μεταβλητές X(t1) και X(t2) με στοιχεία η δεύτερης τάξης συνάρτηση πυκνότητας πιθα-νότητας είναι ή Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης συνόλου τυχαίας διαδικασίας X(t) ορίζεται ως ή Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-4

Στατικές Διαδικασίες σταθερή Σεραφείμ Καραμπογιάς Μία τυχαία διαδικασία είναι στατική με την ευρεία έννοια (WSS Wide Sense Stationary) ή απλά στατική όταν σταθερή Για όλα τα t και τ. Μία τυχαία διαδικασία X(t) με μέση τιμή mX(t) και συνάρτηση αυτοσυσχέτισης RXX(t, t + τ) ονομάζεται κυκλοστατική όταν Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-5

Τυχαίες Διαδικασίες και Γραμμικά Συστήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Τυχαίες Διαδικασίες και Γραμμικά Συστήματα Υποθέτουμε ότι μία στατική διαδικασία X(t) είναι η είσοδος στο γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα που έχει κρουστική απόκριση h(t), και η τυχαία διαδικασία εξόδου δηλώνεται με Y(t) Για τη μέση τιμή συνόλου της εξόδου έχουμε Για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης εξόδου έχουμε Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της εξόδου εξαρτάται μόνο από το τ επομένως η διαδικασία εξόδου είναι στατική. Δεδομένου ότι και η συνάρτηση διασυσχέτισης των διαδικασιών εισόδου-εξόδου εξαρτάται μόνο από το τ οι διαδικασίες είναι και συνδυασμένες στατικές. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-6

Φασματικά Χαρακτηριστικά Τυχαίας Διαδικασίας Σεραφείμ Καραμπογιάς Φασματικά Χαρακτηριστικά Τυχαίας Διαδικασίας Για ένα νομοτελειακό σήμα x(t) οι φασματικές ιδιότητες περιγράφονται από το μετασχηματισμό Fourier όπου X ( f ) είναι η φασματική πυκνότητα τάσης (voltage density spectrum) Το σήμα x ( t ) μπορεί να ανακτηθεί με τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier Η περιγραφή τυχαίας διαδικασίας μέσω του φάσματος πυκνότητας τάσης δεν είναι πάντα εφικτή. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε τη φασματική πυκνότητα ισχύος της τυχαίας διαδικασίας SXX( f ) Η μέση ισχύς της διαδικασίας βρίσκεται με το ολοκλήρωμα Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-7

Τυχαίες Διαδικασίες και Γραμμικά Συστήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Τυχαίες Διαδικασίες και Γραμμικά Συστήματα Για τη μέση τιμή συνόλου της εξόδου έχουμε Για τις συναρτήσεις φασματικής πυκνότητας ισχύος έχουμε Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-8

Ιδιότητες της Φασματικής Πυκνότητας Ισχύος Σεραφείμ Καραμπογιάς Ιδιότητες της Φασματικής Πυκνότητας Ισχύος όταν η X(t) είναι πραγματική Αν η X(t) είναι τουλάχιστον στατική (με την ευρεία έννοια) τότε Η SXX ( f ) είναι πραγματική Η χρονική μέση τιμή συνάρτισης είναι Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-9

Το Φάσμα Ισχύος Ψηφιακά Διαμορφωμένων Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Το Φάσμα Ισχύος Ψηφιακά Διαμορφωμένων Σημάτων Το Φάσμα Ισχύος του Σήματος Βασικής Ζώνης όπου αn είναι η ακολουθία τιμών που επιλέγονται από ένα αστερισμό PAM, PSK ή QAM και αντιστοιχούν στα σύμβολα πληροφορίας της πηγής, και gT(t) είναι η κρουστική απόκριση του φίλτρου εκπομπής. Το ισοδύναμο χαμηλοπερατό σήμα (βασικής ζώνης) ενός ψηφιακού PAM, PSK ή QAM γράφεται γενικά ως Επειδή η ακολουθία πληροφορίας {αn} είναι τυχαία, η υ(t) είναι μία συνάρτηση δείγμα μίας τυχαίας διαδικασίας V(t). Η μέση τιμή της τυχαίας διαδικασίας, V(t) είναι Παρατηρούμε ότι η μέση τιμή της είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-10

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας, V(t) είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας, V(t) είναι Ενγένει, υποθέτουμε ότι η ακολουθία πληροφορίας {αn} είναι στατική υπό την ευρεία έννοια με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Ra(n) = E[a*m an + m] επομένως επομένως η τυχαία διαδικασία V(t) είναι κυκλοστατική. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι περιοδική συνάρτηση. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-11

Η χρονική μέση τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς Η φασματική πυκνότητα ισχύος, SV( f ), της κυκλοστατικής τυχαίας διαδικασίας, V(t), προσδιορίζεται αφού πρώτα βρεθεί η χρονική μέση τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης RV(t + τ, t), για μία περίοδο Τ, και στη συνέχεια υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier της μέσης χρονικής τιμής της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Η χρονική μέση τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι Τ 2 Τ 2 nΤ+T 2 τελικά Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-12

Σεραφείμ Καραμπογιάς Ο μετασχηματισμός Fourier της χρονικής μέσης τιμής της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, δηλαδή, η φασματική πυκνότητα ισχύος του μεταδιδόμενου σήματος είναι Αν Sa( f ) είναι η φασματική πυκνότητα ισχύος της ακολουθίας πληροφορίας {αn}, δηλαδή, ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας πληροφορίας. και |GT( f )|2 είναι ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της gT(t). Επίσης GT( f ) είναι η απόκρισης συχνότητας του φίλτρου εκπομπής έχουμε Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-13

όπου είναι η διακύμανση των συμβόλων πληροφορίας. Σεραφείμ Καραμπογιάς Η φασματική πυκνότητα ισχύος, SV( f ), της κυκλοστατικής τυχαίας διαδικασίας, V(t) είναι λοιπόν Για να ελέγξουμε τη μορφή της φασματικής πυκνότητας του μεταδιδόμενου σήματος πρέπει να σχεδιασθούν κατάλληλα τα φασματικά χαρακτηριστικά του φίλτρου εκπομπής, |GT ( f )|2, και τα φασματικά χαρακτηριστικά της ακολουθίας πληροφορίας {αn}, Sa( f ). Αν τα σύμβολα πληροφορίας στην ακολουθία {an} είναι αμοιβαία ασυσχέτιστα τότε όπου είναι η διακύμανση των συμβόλων πληροφορίας. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-14

Το περιοδικό σήμα αναπτύσσεται σε σειρά Fourier Σεραφείμ Καραμπογιάς Το περιοδικό σήμα αναπτύσσεται σε σειρά Fourier Επομένως η φασματική πυκνότητα μπορεί να εκφραστεί ως Η φασματική πυκνότητα ισχύος του μεταδιδόμενου σήματος υ(t) όταν η ακολουθία συμβόλων πληροφορίας είναι ασυσχέτιστη είναι Συνεχές τμήμα του φάσματος Διακριτό τμήμα του φάσματος Σε ψηφιακά σήματα PAM, PSK ή QAM αν τα σημεία του αστερισμού είναι συμμετρικά τοποθετημένα ως προς την αρχή των αξόνων στο μιγαδικό επίπεδο η μέση τιμή ma = 0 έτσι η φασματική πυκνότητα είναι Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-15

Όταν το gT(t) είναι ο ορθογώνιος παλμός του σχήματος Σεραφείμ Καραμπογιάς Όταν το gT(t) είναι ο ορθογώνιος παλμός του σχήματος Ορθογώνιος παλμός gT ( t ). Ο μετασχηματισμός Fourier είναι και η φασματική πυκνότητα ενέργειας είναι Φασματική πυκνότητα ενέργειας |GT ( f )|2 του gT ( t ). Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-16

Η φασματική πυκνότητα ισχύος του μεταδιδόμενου σήματος υ(t) είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς Η φασματική πυκνότητα ισχύος του σήματος υ(t) Η φασματική πυκνότητα ενέργειας του παλμού gT(t) Η φασματική πυκνότητα ισχύος του μεταδιδόμενου σήματος υ(t) είναι Παρατηρούμε ότι όλες οι διακριτές φασματικές συνιστώσες εξαλείφονται λόγω των φασματικών μηδενισμών του GT( f ) εκτός από μία για f = 0. Φασματική πυκνότητα ισχύος του μεταδιδόμενου σήματος Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-17

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας {αn} είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς Δίνεται η δυαδική ακολουθία {bn} που αποτελείται από ασυσχέτιστες δυαδικές (±1) τυχαίες μεταβλητές μηδενικής μέσης τιμής και μοναδιαίας διακύμανσης. Δημιουργούμε τα σύμβολα an = bn + bn – 1 τα οποία και μεταδίδουμε. Να καθοριστεί η φασματική πυκνότητα ισχύος του διαμορφωμένου σήματος. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας {αn} είναι Η φασματική πυκνότητα ισχύος του σήματος εισόδου είναι και η αντίστοιχη φασματική πυκνότητα ισχύος του διαμορφωμένου σήματος είναι Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-18

Σεραφείμ Καραμπογιάς Φασματική πυκνότητα ισχύος της ακολουθίας πληροφορίας. Φασματική πυκνότητα ισχύος του αντίστοιχου PAM διαμορφωμένου σήματος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-19

Το Φάσμα Ισχύος ενός Σήματος Διαμορφωμένου Φέροντος Σεραφείμ Καραμπογιάς Το Φάσμα Ισχύος ενός Σήματος Διαμορφωμένου Φέροντος Αν υ(t) είναι το σήμα βασικής ζώνης ενός PAM το αντίστοιχο ζωνοπερατό σήμα είναι u(t) = υ(t) cos(2π fc t) και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας U(t) = V(t) cos(2π fc t) είναι Η μέση τιμή του RU (t + τ, t) για μία περίοδο διάρκειας T δίνει Η φασματική πυκνότητα ισχύος του ζωνοπερατού σήματος είναι Η ίδια έκφραση ισχύει και για τα QAM και PSK σήματα. Τα τρία ζωνοπερατά σήματα διαφέρουν μόνο στη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Ra(m) της ακολουθίας {αn} και επομένως στο φάσμα ισχύος Sa( f ) της εισόδου {αn}. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων 7-4-20